vollständige induktion

30.10.2006, 21:15

lena2

vollständige induktion

kann mir jemand beim lösen einer induktion helfen....

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^n~a_k) *(\sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k})\geq n^2 \end{eqnarray*}$

wäre sehr dankbar wenn ich tipps bekäme

30.10.2006, 21:24

tigerbine

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RE: vollständige induktion
was wäre denn der Induktionsanfang n = 1

30.10.2006, 21:41

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Zwei Anmerkungen:

1. Du solltest schon noch die Voraussetzung mit angeben, dass alle $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ positiv sind. Für beliebig reelle $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ist die Aussage nämlich falsch.

2. Muss es unbedingt Vollständige Induktion sein? Mit der CSU (Cauchy-Schwarzsche Ungleichung) ist der Beweis nämlich nur ein Einzeiler.

30.10.2006, 21:46

lena2

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uopppssss
ok es heißt beweisen für reelle zahlen a_1,...,a_n >0 die ungleichung....

30.10.2006, 21:47

lena2

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...
aber cauchy schwarzsche ungleichung hatten wir noch nicht
aber wäre trotzdem interessant zu sehen

30.10.2006, 21:53

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Ok, dann lass das lieber und befolge zunächst die Empfehlung von tigerbine.

Für den Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} n \to (n+1) \end{eqnarray*}$ geht man natürlicherweise von der Summenzerlegung

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^{n+1}~a_k\right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{a_k} \right) = \left( \sum_{k=1}^n~a_k~ + ~ a_{n+1} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} ~ + ~ \frac{1}{a_{n+1}}\right) \end{eqnarray*}$

aus und multipliziert dann aus...

30.10.2006, 22:05

tigerbine

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$\begin{eqnarray*} a_1,....,a_n > 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (\sum_{k=1}^1~a_k) \cdot (\sum_{k=1}^1~\frac{1}{a_k})\geq 1^2 \end{eqnarray*}$ ???

$\begin{eqnarray*} a_1 \cdot \frac{1}{a_1}\geq 1^2 \end{eqnarray*}$ ??? Augenzwinkern

30.10.2006, 22:20

lena2

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...
1 >= 1 und stimmt demnach

und man kann das auch alles nur behaupten weil diese a1,..., an eben >0 sind stimmt das?

30.10.2006, 22:26

tigerbine

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Re: ...
Na 0 dürfte es schon mal nicht sein!

Hier würde sich das Vorzeichen noch wegheben. Die Probleme müßten beim Induktionschritt /schluss kommen

30.10.2006, 22:32

lena2

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hmm ja jetzt hab ich ein problem.... ich kann ja nun nicht einfach was ersetzten so wie es bei 'einfachen induktionen der fall ist

30.10.2006, 22:37

tigerbine

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??? Was einsetzten??? FÜr was???

30.10.2006, 22:42

lena2

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...
na is jetzt schwer zu erklären
also nehme mal an die aufgabe ist summe von k=1 bis n von i = a
aber beim induktionsschritt behauptet man ja dann dass es auhc gilt für n+1
und kann die summe durch das a ersetzten sodass es dann heißt
a+ n+1

aber wie mache ich das denn nun ...

30.10.2006, 22:46

tigerbine

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Für den Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} n \to (n+1) \end{eqnarray*}$ geht man natürlicherweise von der Summenzerlegung

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^{n+1}~a_k\right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{a_k} \right) = \left( \sum_{k=1}^n~a_k~ + ~ a_{n+1} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} ~ + ~ \frac{1}{a_{n+1}}\right) \end{eqnarray*}$

aus und multipliziert dann aus...

Da hatte der Arthur ja schon was dazu geschrieben Augenzwinkern

also Du behauptest, dass die Formel für n stimmt. Und daraus muss dann folgen, dass sie auch für n+1 stiimt

30.10.2006, 22:48

lena2

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...

Zitat:

Original von Arthur Dent
Ok, dann lass das lieber und befolge zunächst die Empfehlung von tigerbine.

Für den Induktionsschluss $\begin{eqnarray*} n \to (n+1) \end{eqnarray*}$ geht man natürlicherweise von der Summenzerlegung

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^{n+1}~a_k\right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{a_k} \right) = \left( \sum_{k=1}^n~a_k~ + ~ a_{n+1} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} ~ + ~ \frac{1}{a_{n+1}}\right) \end{eqnarray*}$

aus und multipliziert dann aus...

30.10.2006, 22:50

tigerbine

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Re: ...
??? Jo, dann multiplizier mal aus!

30.10.2006, 22:51

lena2

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...
das heißt ich mulipliziere meine zwei klamemrn aus ? was für ein ergebnis soll ich da erhalten?

30.10.2006, 23:00

tigerbine

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Re: ...
$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^{n+1}~a_k\right) \cdot \left( \sum_{k=1}^{n+1}~\frac{1}{a_k} \right) = \left( \sum_{k=1}^n~a_k~ + ~ a_{n+1} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} ~ + ~ \frac{1}{a_{n+1}}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \left( \sum_{k=1}^n~a_k \right) \cdot \left(\sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} \right) + \left( \sum_{k=1}^n~a_k \right) \cdot \left(\frac{1}{a_{n+1}} \right) + \left(a_{n+1} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} \right) + \left(a_{n+1} \right) \cdot\left(\frac{1}{a_{n+1}}\right) \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 23:01

lena2

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Re: ...
$\begin{eqnarray*} = 1 + 1 + \sum_{k=1}^n~a_k~ *~ \frac{1}{a_{n+1}}+ \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} ~ <br /> * ~ {a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

ansatz richtig?

30.10.2006, 23:03

tigerbine

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Re: ...
???

Gehen wir mal die einzelnen summanden durch:

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^n~a_k \right) \cdot \left(\sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} \right) \end{eqnarray*}$

Was weißt Du hierrüber?

30.10.2006, 23:03

lena2

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...
@ tigerbine bist zu schnell für mich komm ja nich nach mim posten habe den arm in gips

30.10.2006, 23:05

lena2

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...
das ist die reihe a_1+a_2+...+ a_n / a_1+a_2+...+ a_n gibt alos 1

30.10.2006, 23:05

tigerbine

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Re: ...
Sorry traurig

Nö, dass ist die Induktionsvoraussetzung, also $\begin{eqnarray*} \geq n^2 \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 23:12

tigerbine

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Re: ...
$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^n~a_k \right) \cdot \left(\frac{1}{a_{n+1}} \right) = ??? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a_{n+1} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} \right) = ??? \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a_{n+1} \right) \cdot\left(\frac{1}{a_{n+1}}\right) = 1 \end{eqnarray*}$

30.10.2006, 23:12

lena2

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...
hmm stimmt das ist sie ...
aber kann ich das dann so einfach ersetzten ist ja eine ungleichung damit habe ich so meine probleme

30.10.2006, 23:16

tigerbine

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Re: ...
Wir wollen ja auch wieder auf eine Ungleichung raus. Daher versuchen wir eine abschätzung für jeden summanden zu finden. bleiben noch 2 übrig.

Wir wollen am ende auf $\begin{eqnarray*} \geq (n+1)^2 = n^2+2n +1 \end{eqnarray*}$ raus

30.10.2006, 23:20

lena2

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...
demnach müssen die beiden zusammen die 2n ergeben
hmm also jede n??
ich seh das den summen nicht an was sie ergeben
glaube ich muss mich mal mit den grundrechenregeln vertraut machen hihi

30.10.2006, 23:21

tigerbine

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Re: ...
Dann schlaf mal ne Nacht drüber Augenzwinkern

Bis morgen?

30.10.2006, 23:26

lena2

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-...
gerne und danke für dein bemühen hatte zumindest ein paar erfolge bei mir :-)

31.10.2006, 00:16

tigerbine

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Re: ...
$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^n~a_k \right) \cdot \left(\frac{1}{a_{n+1}} \right) = \frac{a_1}{a_{n+1}} + ...+\frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \left(a_{n+1} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} \right) = \frac{a_{n+1}}{a_1} + ...+\frac{a_{n+1}}{a_{n}} \end{eqnarray*}$

Da stehen jetzt immer Bruch und Kehrbruch. Überleg Dir mal, da hier alles positive Variblen, dass dann immer einer von den Beiden $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1 ist und für den anderen $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 gilt.

Fassen wir die beiden Summen zusammen, so kann ich einfach mal schreiben:

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^n~a_k \right) \cdot \left(\frac{1}{a_{n+1}} \right) + \left(a_{n+1} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^n~\frac{1}{a_k} \right) = \frac{a_1}{a_{n+1}} + ...+\frac{a_n}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+1}}{a_1} + ...+\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =(\frac{a_1}{a_{n+1}} + \frac{a_{n+1}}{a_1}) + ... + (\frac{a_n}{a_{n+1}}+\frac{a_{n+1}}{a_{n}}) \end{eqnarray*}$

Wie Du sieht ist in den Klammern also immer ein Summand $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 1 und einer $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ 1 . Den größeren Nennen wir jetzt $\begin{eqnarray*} b_k \end{eqnarray*}$ den kleineren $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b_k} \end{eqnarray*}$ , da es ja Kehrbrüche sind.

Damit lautet deine Aufgabe:

Beweise mit Induktion über n folgende Behauptung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k}) \geq 2n \end{eqnarray*}$

31.10.2006, 10:07

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Re: ...
Genau genommen läuft alles auf den Gebrauch der zu beweisenden Hilfsaussage

$\begin{eqnarray*} x+\frac{1}{x} \geq 2\qquad \forall x>0 \end{eqnarray*}$

hinaus. Dann könnte man sich aber auch gleich die Induktion sparen, denn der Ausgangsterm ergibt umgeformt

$\begin{eqnarray*} \left( \sum_{k=1}^n ~ a_k \right) \cdot \left(\sum_{k=1}^n ~ \frac{1}{a_k} \right) = \sum_{k=1}^n ~ a_k \cdot \frac{1}{a_k} ~ + ~ \sum_{k=1}^n \sum_{\substack{j=1\\ j\neq k}}^n ~ a_k \cdot \frac{1}{a_j} = n ~ + ~ \sum_{1\leq k < j \leq n} ~ \left[ \frac{a_k}{a_j} + \frac{a_j}{a_k} \right] \end{eqnarray*}$ .

Rechts wird nun über genau $\begin{eqnarray*} \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} \end{eqnarray*}$ geordnete Paare $\begin{eqnarray*} (k,j) \end{eqnarray*}$ summiert.

31.10.2006, 10:24

therisen

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Verschoben smile

01.11.2006, 11:14

lena2

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...
@tigerbine

kann man da nich gleich behaupten dass es die 2n ergibt.....?

also ich hab jetzt einfach mal versucht die induktion zu lösen:

für n=1
$\begin{eqnarray*} b_1+\frac{1}{b_1} \geq 2 \end{eqnarray*}$
nehme also an gilt für alle n

$\begin{eqnarray*} A(n) \Rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k})+ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \end{eqnarray*}$
dann ersetzte ich das vordere summenzeichen durch diese 2n

also:
$\begin{eqnarray*} 2n+ \frac{1}{b_{n+1}} \end{eqnarray*}$
also ist auf jedenfall größer oder gleich 2n
ist das dann somit bewiesen oder hab ich wieder fehler??

01.11.2006, 11:52

tigerbine

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Re: ...
Viele Wege führen zum Ziel. Aber hier sehen wir, dass Du die Induktion noch nicht ganz draufhast.

IA - Richtig

Beim Induktionsschluss ist zu zeigen , dass aus der Annahme $\begin{eqnarray*} A(n) \geq 2n \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A(n+1) \geq 2(n+1) = 2n+ 2 \end{eqnarray*}$

Deine aufgliederung der Summe ist richtig, nur die Bewertung falsch. Du hast einen Term vergessen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k})+ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k}) \geq 2n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \geq 2 \end{eqnarray*}$

Damit folgt die Behauptung - fertig. Natürlich hätten wir das auch direkter schreiben können. Augenzwinkern

01.11.2006, 13:26

lena2

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superrrrr
ich danke dir... glaube das ist das erste beispiel das ich verstehe ;-)
aber unser lehrer kann auch überhaupt nicht erklären
du dagegen schon dankeeeee :-)

01.11.2006, 13:33

tigerbine

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RE: superrrrr
Gern geschehen. Viel Erfolg weiterhin!

05.11.2006, 20:00

chris85

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wieso kann man denn einfach hingehen und schreiben $\begin{eqnarray*} \geq 2n \end{eqnarray*}$ das habe ich nicht ganz verstanden!

und im letzten beitrag von tigerbiene: könnte mir da jemand nochmal kurz erklären wie das mit den Summen funktioniert hat?
Plötzlich fehlen Summanden und $\begin{eqnarray*} \geq 2n \end{eqnarray*}$ taucht auf.
Wie wurde das gemacht?
Danke

05.11.2006, 20:43

tigerbine

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So ganz habe ich deine Frage nicht verstanden.

Kannst Du eskopieren und zitieren, ["quote"] ... ["/quote"] dann kann ich Dir villeicht helfen

05.11.2006, 20:49

chris85

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Re: ...

Zitat:

Original von lena2
@tigerbine

kann man da nich gleich behaupten dass es die 2n ergibt.....?

also ich hab jetzt einfach mal versucht die induktion zu lösen:

für n=1
$\begin{eqnarray*} b_1+\frac{1}{b_1} \geq 2 \end{eqnarray*}$
nehme also an gilt für alle n

$\begin{eqnarray*} A(n) \Rightarrow A(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k})+ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \end{eqnarray*}$
dann ersetzte ich das vordere summenzeichen durch diese 2n

also:
$\begin{eqnarray*} 2n+ \frac{1}{b_{n+1}} \end{eqnarray*}$

also ist auf jedenfall größer oder gleich 2n
ist das dann somit bewiesen oder hab ich wieder fehler??

Hier verstehe ich das fettgedruckte nicht!

Zitat:

Original von tigerbine
Viele Wege führen zum Ziel. Aber hier sehen wir, dass Du die Induktion noch nicht ganz draufhast.

IA - Richtig

Beim Induktionsschluss ist zu zeigen , dass aus der Annahme $\begin{eqnarray*} A(n) \geq 2n \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A(n+1) \geq 2(n+1) = 2n+ 2 \end{eqnarray*}$

Deine aufgliederung der Summe ist richtig, nur die Bewertung falsch. Du hast einen Term vergessen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k})+ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k}) \geq 2n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \geq 2 \end{eqnarray*}$

Damit folgt die Behauptung - fertig. Natürlich hätten wir das auch direkter schreiben können. Augenzwinkern

Hier verstehe ich nicht wie plötzlich die Summanten verschwinden und $\begin{eqnarray*} \geq 2n bzw. 2 \end{eqnarray*}$ auftaucht.

Kannst du mir das schnell erklären?

05.11.2006, 21:13

tigerbine

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Re: ...
Zu 1:

IIm Grunde folgt aus dem Wissen, dass die Summe einer positiven rellen Zahl und ihres Kehrwertes größer gleich 2 ist, auch dass die Summe von n positiven reellen Zahlen und ihrer Kehrwerte dann größer als 2n ist.

Wir haben diese Folgerung hier als induktion geschrieben, um das Verfahren an einem einfachen Beispiel zu üben.

In 2) haben wir die im Induktionsschluss zu untersuchende Summe aufgeteilt und die Sumanden einzeln abgeschätzt. Daraus folgt das zu beweisende $\begin{eqnarray*} \geq 2(n+1) = 2n +2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n+1}~(b_k+\frac{1}{b_k})=\sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k})+ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Falls du an unserem Induktionsanfang zweifelst:

Sei $\begin{eqnarray*} b_1 \geq 1 \end{eqnarray*}$ dann gilt offensichtlich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{b_1} \leq {1} \end{eqnarray*}$ Von Interesse sind dann eigentlich nur die $\begin{eqnarray*} 1<b_1 < 2 \end{eqnarray*}$ , da sonst die Ungleichung schon allein von $\begin{eqnarray*} b_1 \end{eqnarray*}$ erfüllt wird oder $\begin{eqnarray*} b_1=\frac{1}{b_1}=1 \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} b_1 = 1 + c \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0<c<1 \end{eqnarray*}$ . Dann gilt:

$\begin{eqnarray*} 1+c+\frac{1}{1+c} \geq 2 \\ c+\frac{1}{1+c} \geq 1 \\ \frac{c^2+c+1}{1+c} \geq 1 \\ c² + c + 1 \geq c+1 \end{eqnarray*}$

genau dann wenn $\begin{eqnarray*} c^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$ Mit obiger Definition von c ist die Behauptung also richtig.

Ist das jetzt was klarer?

05.11.2006, 21:28

chris85

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Re: ...

Zitat:

Original von tigerbine
Viele Wege führen zum Ziel. Aber hier sehen wir, dass Du die Induktion noch nicht ganz draufhast.

IA - Richtig

Beim Induktionsschluss ist zu zeigen , dass aus der Annahme $\begin{eqnarray*} A(n) \geq 2n \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} A(n+1) \geq 2(n+1) = 2n+ 2 \end{eqnarray*}$

Deine aufgliederung der Summe ist richtig, nur die Bewertung falsch. Du hast einen Term vergessen

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k})+ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \end{eqnarray*}$

Hier sind noch alle Summanden da!

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(b_k+\frac{1}{b_k}) \geq 2n \end{eqnarray*}$

Und hier fehlen die beiden letzten! Wie das? wo sind sie hin?

$\begin{eqnarray*} \ b_{n+1}+\frac{1}{b_{n+1}} \geq 2 \end{eqnarray*}$

Damit folgt die Behauptung - fertig. Natürlich hätten wir das auch direkter schreiben können. Augenzwinkern

Den Rest hab ich verstanden bis auf das jetzt halt

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