Ideal im Polynomring

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Simooon Auf diesen Beitrag antworten »
Ideal im Polynomring
Ja ich hab mal wieder ne Frage, iwie hat das bei mir noch nicht richtig Klick gemacht...

Also K sei ein Körper und der Polynomring.
ein Polynom vom Grad

Ein Ideal das von f erzeugte Ideal.

So weit so gut. Ein Ideal ist definiert als Unterring mit obiger Eigenschaft.

Ich hab halt ne Aufgabe zu dem Sachverhalt, die in letzter Konsequenz darauf aufbaut, dass eine Basis vom Ideal das durch f erzeugt wird ist.
Aber warum??
Das bedeutet ja das elemente aus I von erzeugt werden.
Und wieso ist dann f*g ein element von I?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Basis eines Rings ??? Kannst du vielleicht mal deine Aufgabe posten ?
Wieso fragst du, warum fg in I liegt ? Das ist dir doch schon 4 Zeilen weiter oben nach Definition eines Ideals klar.
Simooon Auf diesen Beitrag antworten »

in der Aufgabe geht es um den Faktorring A/I.
Ich soll beweisen, dass der Ring A/I ein endlich dimensionaler Vektorraum über K ist und
eine Basis von A/I ist.
ist die kanonische Abbildung A nach A/I.

Mir ist halt iwie nicht klar wie man vom Ring auf einen Vektorraum kommt und naja daher dachte ich halt das wir auch eine Basis von I formulieren müssen könnten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Addition und skalare Multiplikation in (K,A/I,+,*) definieren und zeigen dass diese Definitionen wohldefiniert sind. Dann kannst du an die Vektorraumaxiome gehen und alle nachweisen. Wenn du das geschafft hast, ist die Basis kein Problem mehr.
Simooon Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, ja ok, ich glaub jetzt macht das alles mehr sinn, ich hab bei der Aufgabe die Begriffe Ring und Vektorraum nicht so richtig beachtet, also könnt man das wie folgt definieren:



mit

mit

Ich zeige Wohldefiniertheit und prüfe die Axiome nach. So weit so gut.

Aber die Elemente von dem Vektorraum zugrunde liegenden Menge sind ja die des Faktorrings



Ich kann mir nu aber immer noch nicht so richtig ein Element daraus vorstellen.

Ich glaub ich hab iwie nen Brett vorm Kopf, aber ich komm beim besten Willen nicht auf einen Zusammenhang zwischen diesem hier und der mir angegebenen Basis von A/I
Simooon Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, wenn ich einen Vektorraum wie oben für den Vektorraum der Polynome nehme, dann ist eine Basis von dem Vektorraum

Und da mir die Basis von A/I ja quasi vorgegeben ist, muss eine Basis von dem Vektorraum über I sein, welcher ein Untervektorraum von A ist.
Ist das soweit richtig?

Aber dann weis ich immer noch nicht warum t^n jetzt eine Basis vom Vektorraum über I ist
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Zur Definition des Vektorraums gehört die Addition und die skalare Multiplikation. Letztere definiert man durch und zeigt ihre Wohldefiniertheit und die Vektorraumaxiome. Ein Element des Vektorraumes ist ganz einfach ein Element des Faktorrings, also für eine Nebenklasse . f halten wir während der Betrachtung fest, sonst kommen wir mit den Bezeichnungen durcheinander.

In einer Nebenklasse liegen alle für die gilt .

Das gibt den Hinweis für die Berechnung der Basis: .
Dass eine Basis von ist, weisst du ja schon.
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