Dual- / Bidualräume |
| 28.05.2010, 17:52 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Dual- / Bidualräume
Hier ein Korollar: Ist das wörtlich zu nehmen oder meint das bloss, dass z.B. ihre darstellenden Matrizen gleich sind? Ich schätze mal zweiteres? Denn die beiden Abbildungen sind ja noch nicht mal auf denselben Räumen definiert... 
Danke für jeglichen Auskünfte.
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| 28.05.2010, 18:11 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist und damit (man beachte die Reihenfolge!). Zudem ist , analog air |
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| 28.05.2010, 18:26 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, und was heisst das nun? 
Wie muss ich das Gleichheitszeichen nun interpretieren? Weil eigentlich sind zwei Funktionen ja nur gleich wenn sie halt für jeden Wert den man einsetzt gleich sind. Ich weiss schon, dass die Bidualräume isomorph zu den Räumen sind, aber wieso schreibt der Typ (Gerd Fischer) denn F** = F ? 
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| 28.05.2010, 19:40 | ralph | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, da für jeden endlich dimensionalen Vektorraum V bzw. W über einen Körper K die Vektorräume V und V** gleich sind (bzw. W und W**) [bis auf Isomorphie], so folgt daraus sofort, dass F=F** gilt, wenn F eine lineare Abbildung von V nach W ist. Ein Algebraiker unterscheidet eben nicht mehr, wenn zwei Räume isomorph zueinander sind. Dann sind die für ihn nämlich gleich. Genauso wie für einen Topologen zwei Mengen, die sich durch einen Homöomorphismus ineinander abbilden lassen, gleich sind. Das ist anfangs vielleicht ein wenig verwirrend, aber man gewöhnt sich daran und erkennt auch die Vorteile, die sich aus dieser Sichtweise ableiten. MfG ralph |
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| 28.05.2010, 20:04 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@ ralph Danke. Wollte das auch sagen, aber das Internet hier spinnt schon den ganzen Tag und das ist seit vorhin eskaliert ... nun aber hoffentlich behoben.
air |
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| 28.05.2010, 21:35 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nicht. Danke euch beiden. 
Edit: Übrigens scheint mir das bei den Bidualräumen doch eine sehr spezielle Situation zu sein. Denn obwohl z.B. jeder n-dimensionale IR-VR isomorph zum ist, drückt man das (der Fischer jedenfalls) trotzdem nicht mit einem Gleichheitszeichen aus...
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| 28.05.2010, 22:38 | DGU | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alle n-dim VR sind insofern isomorph, als dass du einen Isomorphismus leicht dadurch angeben kannst, indem du Basiselemente des ersten VR auf solche des zweiten abbildest. Diese Isomorphismen sind i.A. aber immer von der Wahl von Basiselementen abhängig. Zwischen einem VR V und seinem Bidualraum gibt es aber einen kanonischen, von Basiselementen unabhängigen Isomorphismus. |
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| 28.05.2010, 23:23 | ralph | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Und genau diese kanonischen Isomorphismen, die sind besonders "wertvoll" und schön, weil sie eben basisunabhängig sind. Wenn man zwischen zwei Räumen einen kanonischen Homomorphismus /Isomorphismus findet, dann ist viel besser und schöner, als wenn das nur ein stinknormaler Homom/Isom. ist. Solche Sachen müssen einem auch mal klar werden, wenn man Algebra betreibt. Ich hab früher immer das Wort "kanonisch" in Büchern und in Skripten überlesen und hab nicht lange darüber nachgedacht. Aber nun weiß ich, dass da doch ein erheblicher Unterschied zwischen kanonisch und unkanonisch existiert. Gute Nacht Ralph |
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| 28.05.2010, 23:28 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich finde daher das Wort "natürlich" manchmal viel ansprechender. Unser Algebra-Professor betont bei einigen Dingen immer sehr gerne, dass sich gewisse Dinge auch mal nach der Ästhetik richten. Speziell bei den Dualräumen weiß ich noch gut, wie er das mehrfach betont hat. air |
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