Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte mit Konstante

28.05.2010, 22:27

Fiddi

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Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte mit Konstante

Meine Frage:
Bestimme die Konstanten a_{k} für festes Q \in (0,1) jeweils so, dass f_{k} eine DISKRETE Verteilungsdichte ist!

f1_{k}:= $\begin{eqnarray*} \frac{a_{1} \cdot Q^{k} }{2^{k}\cdot k } \end{eqnarray*}$ ; k = 1, 2, ?

f2_{k}:= $\begin{eqnarray*} a_{2}^{-1/2}\cdot Q^{2k} \end{eqnarray*}$ ; k = 0, 1, ?

f3_{k}:= $\begin{eqnarray*} \frac{\lambda ^{k}}{a_{3} \cdot k!} \end{eqnarray*}$ ; k = 0, 1, ?

f4_{k}:= $\begin{eqnarray*} \frac{a_{4}}{(k-1)\cdot k\cdot (k +1)} \end{eqnarray*}$ ; k = 2, 3, ?

f5_{k}:= $\begin{eqnarray*} \frac{a_{5}}{k^{2}} \end{eqnarray*}$ ; falls k = j^2 für ein j \in \mathbb N

Meine Ideen:
Ich weiß, die Summe der diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte beträgt 1 und es handelt sich in der Aufgabe um unendliche Reihen, sobei man die Konstante a mit Hilfe der Summenformel lösen kann.
Mich verwirrt dabei das feste Q \in (0,1), wie gehe ich da vor?

Hab die Frage in einem anderen Forum gepostet, jedoch keine Hilfe bekommen...

28.05.2010, 22:57

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Ich nehme an, die Fragezeichen "?" bei der Indexaufzählung sollen eher "..." bedeuten, nicht wahr?

Das $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ bedeutet nur insofern etwas, dass die entsprechenden Reihenwerte eben von $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ abhängig sein werden.

Jetzt ein paar konkrete Tipps:

$\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ kennst du vom Typ her schon aus dem anderen Thread (geometrische Reihe).

Bei $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ schau dir mal einige Potenzreihen bekannter Funktionen an

Bei $\begin{eqnarray*} f_4 \end{eqnarray*}$ gebe ich mal das Stichwort "Teleskopreihe".

Und bei $\begin{eqnarray*} f_5 \end{eqnarray*}$ läuft es auf die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1}^{\infty} \frac{1}{j^4} \end{eqnarray*}$ hinaus, siehe "Zetafunktion".

29.05.2010, 09:53

Fiddi

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Hast vollkommen Recht! (Übrigens, mein anderer Thread war noch nicht ganz fertig traurig

traurig

)

So, meine bisherigen Ansätze bzw. Lösungen:

$\begin{eqnarray*} f1_{k} = ln (1 + x) = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k +1}\cdot \frac{x^{k}}{k} <br /> <br /> = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k +1}\cdot \frac{a\cdot Q^{k}}{2^{k}\cdot k } = (-1)^{1}\cdot \frac{a}{2^{k} \cdot k} = \frac{-a}{-2^{k}\cdot -k } = 1 <br /> <br /> <br /> f2_{k} = a\cdot \frac{1-Q^{2k} }{1-Q} = \lim_{n \to \infty } a^{1/2} \cdot \frac{1}{1-Q} = 1<br /> <br /> <br /> <br /> f3_{k} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{n!} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda ^{k}}{a\cdot k!} = \frac{exp(k)}{a} = 1\Rightarrow a= exp(k)<br /> <br /> <br /> f4_{k} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a}{k\cdot (k+1)...(k+j-1)} = \frac{a}{(k-1)\cdot (k-1)} = \frac{a}{(0-1)\cdot (0-1)} = \frac{a}{1} \Rightarrow a= 1<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> f5_{k} = \sum\limits_{j=1}^\infty \frac{a}{k^{2} } = \frac{a\cdot pi^{2} }{6} = 1 \Rightarrow a= \frac{pi^{2} }{6} \end{eqnarray*}$

29.05.2010, 11:28

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Ein paar richtige Ideen dabei, aber in der Umsetzung einfach nur grässlich zu nennen:

Du veränderst nach Willkür die Reihenglieder und Summationsbereiche, verwechselst die Variablen, und und und ... Von auch nur einigermaßen vernünftigen Umformungen kann keine Rede sein.

Bösartig formuliert würde ich sagen: Nochmal, aber in nüchternem Zustand.

29.05.2010, 11:30

Fiddi

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Was ist denn richtig und was muss ich nochmal machen?

29.05.2010, 11:36

AD

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Alles nochmal.

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29.05.2010, 11:38

Fiddi

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Mehr weiß ich wirklich nicht, sonst hätte ich mehr gepostet geschockt

geschockt

29.05.2010, 11:43

AD

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Na fangen wir bei der ersten Zeile an: Da hast du

$\begin{eqnarray*} \ln(1+x) = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k+1}\cdot \frac{x^k}{k} \end{eqnarray*}$

aufgeschrieben, was richtig ist. Aber das ist doch nicht gleich dem von $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty f_1(k) \end{eqnarray*}$ herrührendem

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{Q^k}{2^k\cdot k} \end{eqnarray*}$ ,

wenn du nicht einen Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ herstellst. unglücklich

unglücklich

Das meine ich damit: Ein Körnchen von der Lösung ist drin, aber diese Gleichungsketten sind so ganz einfach falsch bzw. unzureichend.

29.05.2010, 11:53

Fiddi

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Das ist ja die ganze Zeit mein Problem, ich weiß nix mit dem Q anzufangen!
Ich weiß ja, dass es in (0,1) liegt

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{Q^{k}}{2^{k} \cdot k} \end{eqnarray*}$

dann mit dem Grenzwert?

und dann hab ich noch:

$\begin{eqnarray*} f3_{k} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{n!} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda ^{k}}{a\cdot k!} = a \cdot exp(k) \end{eqnarray*}$

29.05.2010, 12:23

Fiddi

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da man a als Konstante vor die Summe ziehen kann, sorry, es muss wohl 1/a * exp(k) heißen und nicht a * exp (k)

29.05.2010, 12:39

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Und vor allem ist es $\begin{eqnarray*} \exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \exp(k) \end{eqnarray*}$ - das ist es, was ich mit Variablenverwechslungen meine.

Und so zieht sich das durch jede Teilaufgabe, jede Zeile. Außerdem solltest du das Gleichheitszeichen nur verwenden, wenn du auch Gleichheit meinst. Du kannst nicht

$\begin{eqnarray*} f_1(k) = \sum_{k=1}^{\infty} \ldots \end{eqnarray*}$

schreiben, wenn du da eigentlich über $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} f_1(k) = \sum_{k=1}^{\infty} \ldots \end{eqnarray*}$ sprichst. Das ist einfach furchtbar, FURCHTBAR zu lesen und sollte einer mit Hochschulreife (und damit ja eigentlich auch Abitur in Mathe) unterlassen. unglücklich

unglücklich

29.05.2010, 12:51

Fiddi

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Okay, ich schaue es mir nochmal an, für f3 wäre also

$\begin{eqnarray*} f3_{k} = \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{n!} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\lambda ^{k}}{a\cdot k!} = \frac{1}{a} \cdot exp(\lambda ) \end{eqnarray*}$

richtig?

und wie komme ich dann zu a?

29.05.2010, 12:56

Fiddi

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$\begin{eqnarray*} f1 (k) = ln (1 + k) = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k +1}\cdot \frac{x^{k}}{k} = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k +1}\cdot \frac{a\cdot Q^{k}}{2^{k}\cdot k } \end{eqnarray*}$

wie stelle ich hier den zusammenhang von x und Q fest?

29.05.2010, 12:59

AD

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Na dann wiederholen wir es einfach nochmal, vielleicht geht es irgendwann in den Schädel rein:

Zitat:

Original von Arthur Dent
Außerdem solltest du das Gleichheitszeichen nur verwenden, wenn du auch Gleichheit meinst. Du kannst nicht

$\begin{eqnarray*} f_1(k) = \sum_{k=1}^{\infty} \ldots \end{eqnarray*}$

schreiben, wenn du da eigentlich über $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} f_1(k) = \sum_{k=1}^{\infty} \ldots \end{eqnarray*}$ sprichst.

Und nicht nur das erste, auch das zweite Gleichheitszeichen in deiner letzten Formel ist falsch - dies dann, weil plötzlich das $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ (welches sowieso eigentlich ein $\begin{eqnarray*} a_3 \end{eqnarray*}$ sein müsste) im Nenner auftaucht, was im zweiten Term noch gefehlt hat.

Du kannst das gern als Schikane ansehen, aber wenn du so einen Bullshit-Aufschrieb in einer Prüfung ablieferst, wirst du sehen, was passiert. unglücklich

unglücklich

29.05.2010, 13:09

Fiddi

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Find ich total super, dass ihr mir helfen wollt, aber ich bin mehr als verwirrt! Hammer

Hammer

in der Aufgabenstellung stand

und f3 (k) :=
$\begin{eqnarray*} ln (1 + k) = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k +1}\cdot \frac{x^{k}}{k} \end{eqnarray*}$

hab ich als sozusagen Vorraussetzung gelegt...

29.05.2010, 13:19

AD

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Also gut, dir fehlt das elementare Verständnis für einen auch nur einigermaßen vernünftigen mathematischen Aufschrieb - traurig, dass dir das nicht am Gymnasium (oder auf welchem Weg auch immer zum Abitur) vermittelt werden konnte. unglücklich

unglücklich

Am Beispiel von $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ zeige ich mal, wie das in etwa aussehen könnte:

Zitat:

Gegeben ist die Zähldichte

$\begin{eqnarray*} f_3(k) = \frac{\lambda^k}{a_3 \cdot k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k = 0, 1, \ldots \end{eqnarray*}$ .

Aus der Gesamtwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} 1 = \sum_{k=0}^{\infty} f_3(k) \end{eqnarray*}$ ergibt sich durch Einsetzen

$\begin{eqnarray*} 1 = \sum_{k=0}^{\infty} f_3(k) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{a_3 \cdot k!} = \frac{1}{a_3} \cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} = \frac{\exp(\lambda)}{a_3} \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

letzteres durch Nutzung der Exponentialreihe $\begin{eqnarray*} \exp(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=\lambda \end{eqnarray*}$ .

(*) ergibt dann umgestellt den Normierungsfaktor $\begin{eqnarray*} a_3 = \exp(\lambda) \end{eqnarray*}$ .

Es muss ja vielleicht nicht ganz so ausführlich sein, das gebe ich gern zu. Aber das was du da ablieferst, ist ganz einfach stillos.

29.05.2010, 13:37

Fiddi

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Okay, ich versuche es anhand deines Beispiel mal mit f4!

$\begin{eqnarray*} f_{4}(k) = \frac{a_{4}}{(k-k)\cdot k(k+1)} \end{eqnarray*}$ für k=2,3,...

$\begin{eqnarray*} 1 =\sum\limits_{k=1}^\infty f_{4}(k) \end{eqnarray*}$

es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n\cdot (n+1)...(n+k-1)} = \frac{1}{(k-1)(k-1)!} \end{eqnarray*}$

hier also:

$\begin{eqnarray*} f_{4}(k) = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a}{k\cdot (k+1)...(k+j-1)} = \frac{a}{(k-1)(k-1)!} \end{eqnarray*}$

so in der Art?

29.05.2010, 13:41

Fiddi

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$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{k \to \infty } \frac{a}{(k-1)(k-1)!} = \frac{a}{(0-1)(0-1)!} = \frac{a}{1} \Rightarrow a = 1 \end{eqnarray*}$

29.05.2010, 13:47

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Deine "..." im Nenner sind sehr seltsam, denn eigentlich geht es ja um

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt schreib mal auf, was bei dieser Summe rauskommt - und möglichst in Gleichungsketten, die auch solche sind. Ich möchte nämlich wenigstens einmal eine durchgängig vernünftige Gleichungszeile von dir sehen, sonst ist bei mir finito.

29.05.2010, 13:57

Fiddi

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Oh Sorry, hab die K's verwechselt!

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{1}{(k-1)k(k-1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{a}{(k-1)(k-2)!} \end{eqnarray*}$

wäre hier richtig?

29.05.2010, 13:57

Fiddi

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dann rechne ich damit gleich weiter!

29.05.2010, 14:18

AD

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Es reicht, da tränen einem die Augen: Zu berechnen ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} \qquad (**) \end{eqnarray*}$ ,

letzteres ist einfach eine Indexverschiebung $\begin{eqnarray*} n=k-1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt erst hat es die Struktur der dir anscheinend bekannten Summenformel

Zitat:

Original von Fiddi
es gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n\cdot (n+1)...(n+k-1)} = \frac{1}{(k-1)(k-1)!} \end{eqnarray*}$

und zwar für $\begin{eqnarray*} k=3 \end{eqnarray*}$ . Dies ist trotz Variablennamensgleichheit strukturell EIN VOLLKOMMEN ANDERES $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ als in Formel (**) !!!

Das Ergebnis ist also

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)k(k+1)} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)(n+2)} = \frac{1}{2\cdot 2!} = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

Das war's dann auch für mich hier im Thread, noch schönes Wochenende. Wink

Wink

29.05.2010, 14:24

Fiddi

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1000x danke, setze mich damit nochmal auseinander, also ergibt es a = 4

aber du hast mir noch nicht erklärt wie ich x in Relation zu Q bringe in f1(k)!

30.05.2010, 17:57

gottfried

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Könnte wer noch Tipps zu f1 und f2 geben? Wie man den Zusammenhang zwischen Q und xherstellt, ist mir leider auch nicht klar.

30.05.2010, 17:59

AD

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Die Potenzgesetze gelten nicht nur an der Schule, sondern auch an der Hochschule/Universität:

$\begin{eqnarray*} \frac{Q^k}{2^k} = \left( \frac{Q}{2} \right)^k \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Q^{2k} = (Q^2)^k \end{eqnarray*}$

30.05.2010, 21:28

gottfried

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Zu f1, wäre das bis hierhin richtig?
$\begin{eqnarray*} 1 = \sum\limits_{k=1}^\infty f1(k) = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{a1*Q^{k}}{2^{k}*k} = a1 * \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{Q^{k}}{2^{k}*k} = a1 * \sum\limits_{k=1}^\infty (\frac{Q}{2})^{k} * \frac{1}{k} = a1 * \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(0,5Q)^{k}}{k} \end{eqnarray*}$

Jetzt hätte man eine Form die analog zur Potenzreihe für den natürlichen Logarithmus wäre, oder?
$\begin{eqnarray*} ln (1 + k) = \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k +1}\cdot \frac{x^{k}}{k} \end{eqnarray*}$

30.05.2010, 22:33

gottfried

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Und f2 habe ich mir folgendes überlegt:
$\begin{eqnarray*} 1 = \sum\limits_{k=0}^\infty f2(k) = \sum\limits_{k=0}^\infty a2^{-0,5} * Q^{2k} = a2^{-0,5} * \sum\limits_{k=0}^\infty (Q^{2})^{k} \end{eqnarray*}$

Soweit ich weiß gilt für den Grenzwert folgendes:
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} a^i \text{ mit } |a| < 1 \text{ beträgt: } \frac{1}{1-a} \end{eqnarray*}$
Insofern durch Einsetzen:
$\begin{eqnarray*} 1 = a2^{-0,5} * \frac{1}{1-Q^{2}} \end{eqnarray*}$

Durch einige Umformungen:
$\begin{eqnarray*} a2 = (\frac{1}{1-Q^{2}})^{2} \end{eqnarray*}$

30.05.2010, 22:37

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$\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ ist richtig. Freude

Freude

Und bei $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ : Da hast du immer noch nicht mit der Sprache rausgerückt, was denn nun für ein passendes $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für diese $\begin{eqnarray*} \ln(1+x) \end{eqnarray*}$ -Reihe einzusetzen ist - gleich doch einfach mal die Terme ab!

30.05.2010, 23:18

gottfried

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Danke, dass Du drüberguckst!

Waren die Umformungen bei f1 denn soweit richtig?
Es tut mir Leid, ich stehe gerade wirklich auf dem Schlauch, soll ich hier für x bloß 0,5Q einsetzen? Das erscheint mir zu einfach.

30.05.2010, 23:31

AD

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Mit "scheint" hat das nichts zu tun - wenn's passt, dann passt's.

Aber mit $\begin{eqnarray*} x = 0.5Q \end{eqnarray*}$ passte es (noch) nicht, denn da ist ja noch der alternierende Term $\begin{eqnarray*} (-1)^{k+1} \end{eqnarray*}$ , der dann in der einen Reihe vorhanden ist, in der anderen aber nicht. Wie ist dieser Konflikt lösbar? Streng dich doch mal an, so schwer kann das doch nicht sein!

30.05.2010, 23:54

gottfried

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Vermutlich muss man diesen alternierenden Term irgendwie bei
$\begin{eqnarray*} a1 * \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{(0,5Q)^{k}}{k} \end{eqnarray*}$
hinzufügen um dann sowas wie
$\begin{eqnarray*} a1 * ln (1+0,5Q) = 1 \end{eqnarray*}$
zu erhalten?

Tut mir Leid, falls das an Überlegungen zu wenig ist, die "Kniffe" des typischen Mathestudenten sind mir nicht bekannt, ich studiere VWL und nicht Mathe Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.05.2010, 13:49

AD

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Vielleicht hilft es dir, die Logarihmuspotenzreihe mal für $\begin{eqnarray*} -x \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ zu betrachten, dann erhält man durch Einsetzen

$\begin{eqnarray*} \ln(1-x) = - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{x^k}{k} \end{eqnarray*}$ .

01.06.2010, 10:42

Fiddi

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Nochmals danke, hat mir wirklich geholfen!

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