Steckbrief und Extremwertaufgaben |
| 30.05.2010, 14:05 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Steckbrief und Extremwertaufgaben Hallo. ich bin im Mathe-Gk und wir haben folgende Aufgabe als Hausaufgabe auf: Welche Maße müsste eine Dose mit dem Fassungsvermögen 750ml besitzen, wenn zu ihrer Herstellung (mit Boden und Deckel) möglichst wenig Material verbraucht werden soll? Meine Ideen: Im Prinzip heißt das ja, dass O, also der Oberflächeninhalt so klein wie möglich sein soll oder? Das wäre dann ja ein Extremwert. Aber wie komm auf die Punkte und überhaupt fehlen mir nicht noch ein paar Zahlen.Wie rechne ich das? Bitte helft mir Vielen Dank im Voraus(: lg |
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| 30.05.2010, 14:08 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Fangen wir dochmal mit dem Oberflächeninhalt an, was für einen Körper hast du vorliegen, und wie lautet die Formel zur Berechnung der Oberfläche? |
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| 30.05.2010, 15:34 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
die formel lautet doch: O=2 pi r mal (r+h) oder? |
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| 30.05.2010, 15:39 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, das ist die Formel für den Oberflächeninhalt, und dieser soll jetzt minimal werden. Wir haben also schon unsere Extremalbedingung gefunden, jetzt brauchen wir eine Nebenbedingung, was haben wir dafür gegeben? 
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| 30.05.2010, 16:02 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das volumen, also das Fassungsvermögen 750 ml. Vielleicht sollten wir diese in cm³ umwandeln. Das wären einfach 750cm³. aber wie wende ich diese Zahl jetzt genau an..muss ich die mit einer formel gleichsetzen? lg (: |
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| 30.05.2010, 16:34 | Erwisch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Denk doch mal daran wie man das Volumen von einer Dose berechnet und welche Variablen da vorkommen. Damit bekommst du dein Fassungsvermögen dazu. |
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| 30.05.2010, 16:40 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dazu benötigt man pi und den radius. und die höhe, galube ich das volumen berechne ic h doch mit V= pi mal r² mal h und wenn ich die höhe raushabe, könnte ich diese Zahl dann ja in die oberfächenformel einsetzen, aber was habe ich dann? |
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| 30.05.2010, 16:42 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Huch, wieso wurde mir denn deine Antwort nicht angezeigt 
Aber Erwisch hat ja den nächsten Schritt angedeutet
Wenn wir das ganze in die Oberflächenformel einsetzen, haben wir ja da stehen, das kannst du jetzt z.B. nach r oder nach h auflösen
@Erwisch, ist ja kein Problem, mir wurde aus irgendeinem Grund nicht angezeigt, dass es neue Beiträge gibt
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| 30.05.2010, 16:44 | Erwisch | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
edit Iorek ist wieder da. Ich dachte er sei off weil ne halbe stunde nix kam. Dann lass ich mal ihn weitermachen :P |
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| 30.05.2010, 17:04 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok habh ich gemacht ..kann sein, dass ich auf dem schlauch stehe, aber wenn ich dann nach r oder h aufgelöst habe, muss ich doch auch eine zahl haben, die ich dafür einsetzen kann und die hab ich doch gar nicht, oder? dann könnte ich nämlich sagen wir r in die oberfächeninhaltformel setzen und nach h auflösen und hätte beide unbekannte.. ich habe nach h so aufgelöst: 750cm³ -bruchstrich- pi mal r²=h hoffe du weisst, was ich meine.(: |
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| 30.05.2010, 17:22 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du bist schon auf der richtigen Spur, du hast das jetzt nach h aufgelöst, also könntest du das doch mal in die Oberflächenformel für h einsetzen
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| 30.05.2010, 17:29 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
das wäre so: 2 pi mal r mal (r+ 750cm³ -bruchstrich- pi mal r²) ich denke, der nächste schritt ist, nach r aufzulösen..aber kannst du mir bei der gleichung helfen. muss ich die klammer erst auflösen? |
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| 30.05.2010, 17:35 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Na, nach r auflösen geht noch nicht 
, das haben wir jetzt da stehen, multiplizier zuerst mal die Klammer aus. Was haben wir denn jetzt damit gewonnen? Das ist jetzt eine Formel für den Oberflächeninhalt, die nur noch von einer Variablen abhängt (nämlich r). Also könntest du das ganze mal als Funktion betrachten und einen bestimmten Punkt davon bestimmen
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| 30.05.2010, 17:45 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok aber ich glaube ich habs irgendwie falsch gemacht O= 2pi r + 2pi r mal 750cm³ -bruchstrich- pi mal r² stimmt das? wie machst du das zeichen für pi und den bruchstrich? |
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| 30.05.2010, 17:48 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guck mal rechts in der Leiste, da ist ein Link zu unserem Formeleditor
Und ja, du hast einen kleinen Fehler gemacht, Und den Bruch kannst du noch etwas kürzen
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| 30.05.2010, 18:15 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hab den Link irgendwie nicht gefunden.. Als gekürzten bruch hätte ich folgendes raus: O= 2 pi r² + 1500 -bruchstrich- r Ichhabe die 750 mit 2 multipliziert und das r aus dem Zähler mit dem r² aus dem Nenner gekürzt. Wenn ich jetzt nach r auflöse, kann dann das r aus dem Nenner, das noch übrig bleibt mit dem r² nochmal kürzen? Ich glaube, das geht gar nicht..weißt du was ich meine? (: |
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| 30.05.2010, 18:19 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Guck mal auf dem Bild, da hab ich den Link markiert
Dein gekürzter Bruch ist richtig, aber wieso willst du nach r umstellen, davon hätten wir doch gar nichts. Lies nochmal das hier durch:
Wir betrachten diese Formel jetzt als Funktion, die uns in Abhängigkeit von r den Oberflächeninhalt O angibt. |
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| 30.05.2010, 18:37 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok..da ja in der Aufgabe O ein Extrempunkt sein soll (ich denke Tiefpunkt, weil O so klein wie möglich sein soll) müssten wir die erste Ableitung machen...? |
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| 30.05.2010, 18:38 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nicht nur die erste Ableitung
Aber genau das müssen wir jetzt machen, den Tiefpunkt dieser Funktion bestimmen
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| 30.05.2010, 18:44 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok.. also ..ich schnall das mit dem Link nicht(: O´(x)= 4 pi r (der Bruch müsste doch ganz wegfallen oder?) O"(x)= 4 pi
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| 30.05.2010, 18:45 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Rechts gibt es 2 Listen, über der einen steht "Navigation", über der zweiten steht "Werkzeuge", und da ist der Link zum Formeleditor. Und nein, der Bruch fällt nicht weg, du musst die Quotientenregel anwenden. |
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| 30.05.2010, 19:03 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jetzt hab ich es auch gesehen, danke! Aber die Quotientenregel haben wir wirklich noch nicht durchgenommen...hab mal in meinem mathebuch geguckt, aber leider keine Beispiele gefunden.. |
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| 30.05.2010, 19:06 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm...du könntest dir das mit den Potenzregeln umschreiben, und dann mit der Potenzregel ableiten wenn ihr die Quotientenregel noch nicht hattet
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| 30.05.2010, 19:10 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
okay, also ich hätte dann: O`(x)= 4 \pi + 1500 hoch minus r
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| 30.05.2010, 19:12 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Überleg da nochmal etwas, du wendest ja diese Regel an: . Was ist jetzt hier dein a und was ist dein n? |
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| 30.05.2010, 19:20 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also mit ner zahl wäre das doch so: sagen wir 1500 hoch minus 2, ist abgeleitet -3000 hoch minus 3 und wäre das dann mit r nich einfach nur -1500 (steht vor dem r nicht noch eine 1) hoch minus r -1..ich hoffe, du kannst es nachvollziehen |
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| 30.05.2010, 19:30 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ne, da werde ich jetzt nicht so ganz schlau draus
Du hast ja den ersten Teil richtig abgeleitet, die gleiche Regel wenden wir jetzt auch an. Wir ziehen den Exponenten nach vorne und multiplizieren damit, danach subtrahieren wir eins im Exponenten: Wir ziehen die (-1) nach vorne und multiplizieren damit, danach ziehen wir im Exponenten 1 ab
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| 30.05.2010, 19:36 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
stimmt...okay das ist klar(: O´(x)= 4 pi r - 1500r hoch minus 2 O"(x)= 4 pi + 3000r stimmt das? Dann müssen wir doch die 1. Ableitung gleich 0 setzen und später noch die Nullstellen bzw x-Werte in die 2. Ableitung einsetzen...? |
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| 30.05.2010, 19:40 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habs dir mal farbig markiert, da ist noch ein kleiner Fehler drin. Aber ansonsten gehts so weiter wie du es sagst
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| 30.05.2010, 19:48 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber die 3000 stimmen doch..dann wären es 3000r hoch minus 3? sry, wenn ich so viel zeit in anspruch nehme.. aber wie soll man denn die Werte von der 1. ableitung ausrechnen, die in die 2. eingesetzt werden, dass wegen dem pi alles so anders. |
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| 30.05.2010, 19:53 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das "hoch minus 3" fehlte, genau
Setzen wir erste Ableitung mal gleich 0: , hier habe ich das wieder in einen Bruch umgeformt, weil man damit leichter rechnen kann (Potenzgesetze). Das r² im Nenner aber natürlich, wie könnten wir das wegbekommen? |
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| 30.05.2010, 19:57 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
man könnte die r² aus dem Nenner mit dem Zähler kürzen: -1500 bruchstirch r und dann wieder -1500 hoch minus r schreiben..aber bringt das was? |
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| 30.05.2010, 19:57 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, du kannst nichts kürzen, du hast ja kein Produkt sondern eine Differenz hier. Probier mal mit r² zu multiplizieren
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| 30.05.2010, 20:17 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann hätte ich 4 pi r - 1500 mal r³,oder? |
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| 30.05.2010, 20:20 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Reden wir von der gleichen Funktion?
, das haben wir, und jetzt wollen wir die gesamte Gleichung mit r² multiplizieren, . |
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| 30.05.2010, 20:22 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
o je .okay und was haben wir davon?
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| 30.05.2010, 20:28 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das frage ich ja dich, multiplizier das ganze doch mal aus. |
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| 30.05.2010, 20:37 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
4 pi r³ - 1500r² =0 da der term, den wir ausmultiplizieren in dem fall ein produkt ist, kürzt sich dohc diesmal das r² mit dem r² aus dem nenner oder? |
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| 30.05.2010, 20:41 | Iorek | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das wäre der Fall (allerdings steht bei dir immer noch 1500r²), und das wollten wir ja auch erreichen. Jetzt können wir das ganze nach r auflösen. |
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| 30.05.2010, 20:47 | whitney99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ich würde r² ausklammern oder zuerst die 1500 mit + 1500 auf die andere seiter bringen..geht das? |
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