Irreduzibilität von Polynomen

31.05.2010, 00:15

Mulder

Irreduzibilität von Polynomen

Hallo,

ich könnte mal wieder die ein oder andere Anregung gebrauchen. Hier mal die ganze Aufgabenstellung:

$\begin{eqnarray*} \text{Betrachten Sie über } \mathbb Z \text { das Polynom} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f=t^6-5t^5+9t^4-6t^3+10t^2-10t-1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a) \quad \text{Untersuchen Sie, ob } f \text{ eine Nullstelle in } \mathbb Z \text{ hat}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) \quad \text{Bestimmen Sie die Primfaktorzerlegung des modulo } 2 \text{ reduzierten Polynoms } \overline{f} \in \mathbb F_2[t]. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) \quad \text{Zeigen Sie mithilfe von }a) \text{ und } b): \, f \text{ ist in } \mathbb Q[t] \text{ irreduzibel}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} d) \quad \text{Konstruieren Sie mit Hilfe ihres vorherigen Ergebnisses in } b) \text{ einen Körper mit } 32 \text{ Elementen} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \quad \text{ und geben Sie in diesem Körper zwei verschiedene Nullstellen von } \overline{f} \text{ an}. \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e) \quad \text{ Zeigen Sie, dass } \mathbb Q[t] / f \mathbb Q[t] \text{ isomorph ist zu einem in } \mathbb R \text{ enthaltenen Körper}. \end{eqnarray*}$

Soweit so gut. Bei der a) hatte ich jetzt einfach die beiden Nullstellen 1 und -1 untersucht, da das absolute Glied -1 ist. Wir sind ja hier noch in Z[t]. Beides ist aber keine Nullstelle von f, mehr gibt's da also wohl nicht zu tun.

Bei der b) ist ja das modulo 2 reduzierte Polynom:

$\begin{eqnarray*} \overline{f}=t^6+t^5+t^4+1 \end{eqnarray*}$

Hier findet man schnell die Nullstelle t=1. Division durch (t+1) liefert dann als Resultat erst einmal

$\begin{eqnarray*} \overline{f} = (t+1) \cdot (t^5+t^3+t^2+t+1) \end{eqnarray*}$

Weitere Nullstellen lassen sich nicht finden. Eine weitere Zerlegung des Faktors rechts ginge also wenn überhaupt nur in ein irreduzibles Polynom vom Grad 3 und ein irreduzibles Polynom vom Grad 2. Bei letzterem gibt es nur eines, das diese Bedingung erfüllt, nämlich

$\begin{eqnarray*} g=t^2+t+1 \, \in \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$

Division von f durch g lieferte nichts brauchbares, also gehe ich mal davon aus, dass ich die Primfaktorzerlegung nun schon gefunden habe. Oder habe ich etwas falsch gemacht?

Bei der c) stecke ich nun aber fest. Wir hatten mal einen Satz, dass ein über Z[t] irreduzibles Polynom, das zudem primitiv ist, auch über Q[t] irreduzibel ist. Das lässt sich hier aber nicht so direkt anwenden, weil ich die Irreduzibilität von f über Z[t] nicht nachgewiesen habe (und ja auch nicht sollte). Muss also anders gehen. Hier fehlt mir im Moment eine Idee. Ansonsten hatten wir eben dieses Reduktionsverfahren, bei dem man f eben modulo p betrachtet (mit p Primzahl) und in diesem endlichen Körper auf Irreduzibilität untersucht. Wäre f in F2 irreduzibel, wäre ich fertig. Ist es aber ja nicht. Welche Infos stecken da also versteckt in dieser Primfaktorzerlegung?

Bei d) und e) fehlt mir eigentlich jeglicher Ansatz. Da wäre ich für den ein oder anderen Ratschlag dankbar. Bei der d: Muss ich da einen wie auch immer gearteten Restklassenring mit dem einen Faktor der Primfaktorzerlegung von f konstruieren? Da ich f ja in ein Polynom der Form

$\begin{eqnarray*} \overline{f} =(t+1) \cdot g \end{eqnarray*}$

zerlegt habe, dass ich mir da sowas wie

$\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t] / g \, \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$

zusammenbastle? Stutzig macht mich aber die Sache mit den Nullstellen dabei. Ist sowieso mehr geraten als überlegt (was eigentlich scheiße ist, ich weiß). Und bei der e) ... auch wenn der Begriff "isomorph" wohl geläufig ist... da fehlt mir echt die Idee. Wichtiger wären mir da im Moment aber auch eher die c) und die d).

Danke schonmal für's Durchackern, es ist leider etwas länger geworden. Wink

31.05.2010, 03:22

akechi90

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Guten Abend, Mulder,

Zu a) muss ich wohl, denke ich nicht, nicht mehr viel sagen.

b) dürfte auch, soweit ich das sehe, richtig sein.

c) Wenn du zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[t] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist, kannst du auch zeigen, dass es in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[t] \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist. Das ist so weit richtig.
Nun weißt du, dass jede Zerlegung in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[t] \end{eqnarray*}$ zu einer Zerlegung in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2 \end{eqnarray*}$ reduziert werden kann. Du hast in b) jedoch gezeigt, dass in dieser Zerlegung dann ein linearer Faktor auftreten muss, sprich - wenn eine nichttriviale Zerlegung von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z[t] \end{eqnarray*}$ existiert, dann gibt es in dieser einen linearen Faktor, und folglich besitzt $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Aber haben wir nicht gerade das in a) ausgeschlossen?

d) Die Konstruktion des Restklassenrings sollte kein Problem machen - du hast in b) ein irreduzibles Polynom in $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$ gefunden, nämlich $\begin{eqnarray*} \bar f = t^5 + t^3 + t^2 + t + 1 \end{eqnarray*}$ .
Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t] / (\bar f) \end{eqnarray*}$ ein Körper (ein Körper deshalb, da $\begin{eqnarray*} \bar f \end{eqnarray*}$ irreduzibel ist!). Der Grad des Körpers über $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[t] \end{eqnarray*}$ ist der Grad von $\begin{eqnarray*} \bar f \end{eqnarray*}$ , wie viele Elemente enthält er folglich?
Nullstellen kannst du leicht finden. Eine ist kanonisch (nämlich $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ selbst), die anderen findest du mit einem kleinen Trick (Stichwort Frobenius).

e) Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[t] / (f) \end{eqnarray*}$ als Unterkörper von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ aufgefasst werden kann.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q[t] / (f) \end{eqnarray*}$ entsteht durch Adjunktion einer Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , d.h. du musst lediglich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine reelle Nullstelle besitzt - das erreichst du mit einem einfachen Analysis-Argument.

Ich hoffe, ich konnte dir damit helfen.

Gruß,
Carsten

Ergänzung: Mit $\begin{eqnarray*} K[x] / (f) \end{eqnarray*}$ meine ich natürlich $\begin{eqnarray*} K[x] / fK[x] \end{eqnarray*}$ .

01.06.2010, 11:58

Mulder

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RE: Irreduzibilität von Polynomen
So, ich bitte die verspätete Antwort zu entschuldigen. Ja - das hat mir sehr weiter geholfen. Freude

Zitat:

Original von akechi90
$\begin{eqnarray*} \mathbb Q[t] / (f) \end{eqnarray*}$ entsteht durch Adjunktion einer Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , d.h. du musst lediglich zeigen, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine reelle Nullstelle besitzt - das erreichst du mit einem einfachen Analysis-Argument.

Okay, mit dem Zwischenwertsatz ist das dann ja wirklich nicht mehr viel. Danke dir, die c) und die d) sind auch klar.

Wink

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