Diagonalisierung von Matrizen |
| 31.05.2010, 11:13 | jimmyt | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Diagonalisierung von Matrizen Ich habe immer gedacht, dass eine n x n -Matrix genau dann diagonalisiert werden kann, wenn sie genau n Eigenwerte hat. Ich habe jetzt aber eine Aufgabe vor mir, bei der eine Matrix diagonalisiert werden soll, deren Anzahl an Eigenwerten nicht mit der Dimension der Matrix übereinstimmt. Es sind weniger Eigenwerte. Genau sind es 2 Eigenwerte bei einer 3 x 3 -Matrix. Könnt ihr mir das erklären? Also stimmt der Satz mit dem Zusammenhang zwischen Eigenwerten und Diagonalisierung nicht? Oder wie findet man ganz sicher immer raus, ob eine Matrix diagonalisiert werden kann oder halt nicht? Meine Ideen: ??? |
||||
| 31.05.2010, 11:20 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Diagonalisierung von Matrizen
Falsch gedacht. Wenn sie genau n paarweise verschiedene Eigenwerte hat, dann ist sie diagonalisierbar. Aber wie du leicht an der Einheitsmatrix siehst, hat diese nur den Eigenwert 1, ist aber trotzdem diagonalisierbar. Es kann eben sein, daß es zu einem Eigenwert einen Eigenraum gibt, dessen Dimension größer als 1 ist. |
||||
| 31.05.2010, 12:01 | tata28 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Diagonalisierung von Matrizen Hi Hast du schon etwas von algebraischer und geometrischer Vielfachheit gehört? Eine Matrix ist genau dann diagonalisierbar wenn die oben genannten für jeden Eigenwert übereinstimmen. Unter der algebraischen Vielfachheit versteht man die Vielfachheit der jeweiligen Nullstelle im char. Polynom und unter der geometrischen die Dimension des jeweiligen Eigenraums. Beispiel: char. Polynom: p(x)=(x-2)^2*(x-1) eigenwert 1: 2 algeb. Vielfachheit=2 eigenwert 2: 1 algebr. Vielfachheit=1 Wenn diese dann noch mit der geometrischen Vielfachheit übereinstimmen, ist die Matrix zu diesem char. Polynom diagonalisierbar. |
||||
|
|
Verwandte Themen
| Die Beliebtesten » |
| Die Größten » |
|
| Die Neuesten » |
|
