Untervektorraum einer quadratischen Matrix

31.05.2010, 12:04

Bella20

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Untervektorraum einer quadratischen Matrix

Hallo, ich habe folgende Aufgabe zu bearbeiten:

Eine quadratische Matrix A heißt smmetrisch, falls A^t=A, d.h. A=(aij) gilt aji=aij für alle i,j=1.....,n. Zeigen Sie, dass symmetrische Matrizen:
Sym(n;K)={A€M(nxn;K): A^t=A}
einen Untervektorraum von M(nxn;K) bilden. Geben Sie die Dimension und eine Basis von Sym(n;K) an.

Überlegung:

bin hierfür die 3 Bedingungen für Untervektorräume durchgegangen.

1.) Sym nicht leer, d.h. eine Matrix aus 0en ist enthalten in der Menge. Würde sagen das stimmt, denn wenn man daraus die transponierte Matrix erstelle sind die beiden logischerweise gleich.

2.) u,v€Sym --> u+v€Sym
also wenn ich hier Beispielmatrizen nehmen klappt es, aber wie schreibe ich das allgemeiner auf?

3.)
u€Sym, l€K--> u*l € Sym
auch hier klappt es mit einem Beispiel aber wie schreibt man das korrekt auf?

31.05.2010, 12:26

Mulder

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Nimm dir zwei allgemeine quadratsche, symmetrische Matrizen.

$\begin{eqnarray*} A=(a_{ij}) \text{ und } B = (b_{ij}) \end{eqnarray*}$

Dann ist ja für alle i,j:

$\begin{eqnarray*} a_{ij} = a_{ji} \text{ und } b_{ij}=b_{ji} \end{eqnarray*}$

Nun definiere dir die Matrix

$\begin{eqnarray*} C:=A+B=(c_{ij}) \end{eqnarray*}$

Was kannst du über $\begin{eqnarray*} c_{ij} \end{eqnarray*}$ sagen?

31.05.2010, 12:32

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
also C= A+B=aij+bij=aji+bji=cji=cij

31.05.2010, 12:38

Mulder

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Von der Reihenfolge her würde ich eher

$\begin{eqnarray*} c_{ij}=a_{ij}+b_{ij}=a_{ji}+b_{ji}=c_{ji} \end{eqnarray*}$
vorschlagen, aber im Prinzip okay. Die Idee ist dir jedenfalls klar, oder? smile

smile

Die Abgeschlossenheit bezüglich Skalaprmultiplikation ist noch trivialer. Das kriegst du hin.

31.05.2010, 12:43

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Und wie geht das mit der Dimension und Basis?

31.05.2010, 12:48

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
achso noch ne Frage zur Bedingung 1

wie zeig ich formal richtig, dass null enthalten ist?
schreib ich dann einfach nur eine Matrix mit 0en auf oder geht das auch irgendwie mit der schreibweise aji?

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31.05.2010, 13:06

Mulder

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Du kannst ruhig eine Matrix mit lauter Nullen aufschreiben.

Welche Dimension hat denn der Vektorraum der nxn-Matrizen? Die Dimension ist ja gleich der Anzahl der Elemente der Basis dieses Vektorraumes. Die kann man sofort angeben. Die kanonische (und damit einfachste) Basis besteht ja aus lauter Matrizen, die nur an einer Stelle eine 1 und an allen anderen Stelle eine 0 stehen haben. Damit solltest du auch bei dem UVR der symm. Matrizen arbeiten. NUr haben dort eben die meisten Elemente der Basis gleich an zwei Stellen eine 1 stehen, eben wegen der Symmetrieeigenschaft.

Spiel das ruhig mal für die Fälle n=2 und n=3 durch, zur Vorstellung. Zu dem Thema findet man auch schon einige Themen hier im Board, zum Beispiel hier.

03.06.2010, 08:26

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
ist die basis für 2x2 matrix dann

(10)
(01)

und

(01)
(10)

und

(00)
(00)

?

also wir hatten nur in der vorlesung aufgeschrieben dass die Dimension für nxn sym-Matrix
(n*(n+1))/2 ist. aber wie genau zeig ich das?

ich kann ja nicht einfach bloß diese antwort aufschreiben, würd es ja auhc gern verstehen.

03.06.2010, 15:09

Reksilat

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Also die Nullmatrix gehört nicht zur Basis. Auch allgemein ist jede Menge, die den Nullvektor enthält linear abhängig.
Die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist schon mal gut, die passt gut in die Basis. Ansonsten solltest Du Dir überlegen, dass ja zum Beispiel auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ schon symmetrisch ist. Eine Matrix fehlt dann noch.

Gruß,
Reksilat.

03.06.2010, 15:23

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
(10)
(01) ist auch noch eine basis oder?

also ist die dimesnion einer 2x2 matrix 3
das passt ja dann mit der formel (n*(n+1))/2

ist ja in de fall 6/2=3

reicht das so als bergündung? aber eigentlich müsste ich das ja auch noch allg. aufschreiben, oder?

03.06.2010, 15:32

Reksilat

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix

Zitat:

(10)
(01) ist auch noch eine basis oder?

Nein, eine Basis ist eine Menge von Matrizen. Du hast nur eine einzelne Matrix aufgeschrieben.

Zitat:

also ist die dimesnion einer 2x2 matrix 3

Nein, auch das ist Quatsch! Der Begriff "Dimension" bezieht sich auf Unterräume.

Zur Argumentation:
Im Fall n=2 ist es leicht, da die Menge der symmetrischen Matrizen nicht der ganze VR sein kann und insofern gilt $\begin{eqnarray*} \dim (sym(n,K))<4 \end{eqnarray*}$ . Wenn Du dann drei linear unabhängige Matrizen darin findest, bist Du fertig.

Für die anderen Fälle funktioniert das nicht mehr. Dort zeigt man dann einfach, dass die gefundene Menge alle symmetrischen Matrizen erzeugt.

Gruß,
Reksilat.

03.06.2010, 15:43

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
wieso bezieht sich bergiff dimension auf unterräume?

ich hab dimension so verstanden, dass die dimension die menge der basisvektoren ist bei 2x2 SymMatrizen istes dann 3

irgendwie bin ich durcheinander.

03.06.2010, 15:51

Reksilat

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Du hast von der Dimension einer 2x2-Matrix geschrieben. Das ist Unfug!

Zitat:

die dimension [ist] die menge der basisvektoren

Auch das ist falsch! Die Dimension ist keine Menge!
Die Dimension eines Unterraums ist die Anzahl der Elemente einer Basis dieses Unterraums.

Wenn Du die Begriffe nicht korrekt verwendest, dann kann auch niemand Deiner Argumentation folgen.

03.06.2010, 16:56

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
ja ok, sorry.
Meinte aber auch das gleiche, also die Anzahl an Basisvektoren.

Und wie kann ich das mit der Dimension von Sym(n;K) Matrizen schreiben?

03.06.2010, 17:05

Reksilat

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Du hast jetzt also eine Basis für 2x2.
Wie sieht es denn nun für 3x3 aus? Hast Du da eine Idee, welches die sechs Basiselemente sein könnten?

Tipp: Die Diagonalmatrizen (also nur Einträge auf der Diagonalen sonst Nullen) bilden einen Unterraum von Sym(n,k). Finde erst mal für diese eine Basis, für die restlichen Basisvektoren reicht es dann, Matrizen zu untersuchen, die auf der Diagonalen nur noch Nullen haben.

03.06.2010, 18:02

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Irgendwie bekomm ich das nicht hin.

also wenn nur die Diagonale Zaheln haben, und alle anderen null.
dann ist nur a11,a22,a33....,ann eine zahl.

aber was sagt mir das jetz?
ich habe leider gar keine ahnung.
ist die basis davon dann, dass nur diese dieagonale 1 ist?

03.06.2010, 18:14

Reksilat

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Eine Basis ist und bleibt eine Menge. Mit einem Satz wie:

Zitat:

ist die basis davon dann, dass nur diese dieagonale 1 ist?

kann ich nichts anfangen.

Versuche doch auch, die Matrizen mit Hilfe der $\begin{eqnarray*} e_{ij} \end{eqnarray*}$ auszudrücken. Das sind die Matrizen, die an der Stelle (i,j) eine 1 und sonst nur Nullen haben.
Welche Matrizen bilden dann eine Basis für den Raum aller Diagonalmatrizen?

03.06.2010, 18:22

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
die basis sind dann die matrizen die an a11 eine 1 haben, dann die matrix die an a22 eine 1 hat, .... , und die die an ann eine 1 hat?

Tut mir leid, dass ich so schwierig bin.
Aber Matrizen fallen mir irgendwie sehr schwer.

03.06.2010, 18:58

Reksilat

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Richtig, und mit obiger Schreibweise ist dann $\begin{eqnarray*} \{e_{11},e_{22},\ldots,e_{nn}\} \end{eqnarray*}$ eine Basis für die Menge der Diagonalmatrizen und somit auch schon ein erster Teil für die gesuchte Basis von Sym(n,K).
Nun machen wir uns an die restlichen Matrizen, wieder am Beispiel 3x3:
Drei Matrizen aus der Basis haben wir schon: $\begin{eqnarray*} e_{11},e_{22},e_{33} \end{eqnarray*}$
Eine weitere Matrix für die Basis wäre zum Beispiel:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}=e_{12}+e_{21} \end{eqnarray*}$

Kannst Du nun die fehlenden zwei Matrizen für die Basis finden?

03.06.2010, 19:20

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
(100)
(000)
(001)

also a11 und a33=1

(001)
(000)
(100)

a13 und a31 = 1

03.06.2010, 19:58

Bella20

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix
Das snd die weiteren Basisvektoren für 3x3 Matrizen, oder?

Und wie komm ich jetz auf die Dimension der nxn?
irgendwie weiß ich nciht wie das für nxn ist.

man muss ja immer nur das dreieck der Matrix a11-a1n-ann kennen und dort müssen dann jeweils 1en auftauchen für die basis.
da es eine symmetrische matrix ist brauch ich ja nur das dreieck. aber wie komm ich da auf die formel (n*(n+1))/2?

04.06.2010, 12:59

Reksilat_gast

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RE: Untervektorraum einer quadratischen Matrix

Zitat:

Original von Bella20
(100)
(000)
(001)

also a11 und a33=1

(001)
(000)
(100)

a13 und a31 = 1

Mach doch erst mal das richtig zu Ende. Die zweite Matrix ist richtig, aber die erste ist doch schon durch die ganzen Diagonalmatrizen abgedeckt. Da fehlt also noch eine.

Wegen der Formel: Das ist die "Gaußsche Summenformel".

Gruß,
Reksilat.

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