Bernoulli-Experiment |
| 31.05.2010, 16:06 | mja_nerven | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Bernoulli-Experiment Hallo, sitze gerade über einer Aufgabe und benötige mal etwas Hilfestellung. Die Aufgabe lautet: Ein Schütze schießt 100-mal auf eine Klapp-Fall-Scheibe und trifft diese 76-mal. Von welcher Trefferwahrscheinlichkeit ist bei den Schützen auszugehen? Wie groß ist die Standardabweichung Bei einer Wiederholung der Schießübung soll berechnet werde, mit welcher Wahrscheinlichkeit der Schütze 90 Treffer erzielt. Meine Ideen: Allgemein wird die Trefferwahrscheinlichkeit mit berechnet, oder? In diesem Fall wäre Meine Frage ist nun, was wäre denn Oder ist die Trefferwahrscheinlichkeit Über Hilfe wäre ich sehr dankbar! |
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| 31.05.2010, 16:35 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also ... es handelt sich doch um ein LaPlace Experiment ... denn die erzielten Treffer ändern ja nichts an der künftigen Trefferwahrscheinlichkeit, die immer gleich bleibt. Und für solche Experimente gilt p = Anzahl günstige Fälle / Anzahl aller Fälle = .... Das sollte man im Kopf ausrechnen können. Jetzt kennen wir also (hoffentlich) die Trefferwahrscheinlichkeit. 
Jetzt schießt der Knabe noch einmal 100 mal. Und es wird nun gefragt, dass der Schütze 90 Treffer erzielt. Bei gleichbleibender Wahrscheinlichkeit p ist die Anzahl der Treffer nach Bernoulli binomial verteilt. Also gilt für die Anzahl von k Treffern aus n Schüssen P(k Treffer) = (n über k) * p ^k * (1-p) ^(100 - k) Na und jetzt setzt du n und k ein und schaust dann nach, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist. Dazu kann man einen Taschenrechner, ein Tafelwerk oder ein CAS System bzw. einen PC verwenden ... Grüße |
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| 31.05.2010, 16:39 | mja_nerven | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Leider habe ich das mit der Trefferwahrscheinlichkeit noch immer nicht verstanden ... Welche Rolle spielen die 76 Treffer? Ich finde leider keinen Lösungansatz ... |
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| 31.05.2010, 17:29 | Calculator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, ich schalte mich mal kurz in eure Diskussion ein, da ich eine kleine Korrektur habe: als Laplace Experimente bezeichnet man solche, bei denen die W'keit für das Eintreten eines Ereignisses und die W'keit für das Nichteintreten jeweils 50% ist. Das ist hier aber nicht der Fall, hier nimmt man als W'keit die bei der Schussserie ermittelte relative Häufigkeit 0,76. Damit hast Du dann die Trefferw'keit p und kannst Barneys Formel anwenden. lg |
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| 31.05.2010, 17:34 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein, das ist nicht üblich. Wenn nur endlich viele Elementarereignisse möglich sind und alle mit der gleichen Wahrscheinlichkeit eintreten, spricht man von einem Laplace-Experiment. |
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| 31.05.2010, 17:37 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na, da nimmst du die 76 Treffer und dividierst durch die 100 Schüsse. Das ergibt eine Wahrscheinlichkeit von p = 76/100 = 0,76 Und das hast du ja selbst schon richtig vermutet! Na, mal sehen, ob du jetzt weiter kommst ....
Grüße |
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| 31.05.2010, 17:48 | Calculator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, Wisili, und deshalb handelt es sich hier eben nicht um ein Laplace Exreriment, weil es hier nur die zwei Ereignisse "Treffer" und "Nichttreffer" gibt. lg |
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| 31.05.2010, 17:57 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ja, du hast recht; da hatte ich eine sehr schwache Minute ... . Sorry! |
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| 31.05.2010, 18:20 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bernoulli-Experiment
Solche Aufgaben können mich mächtig aufregen. Der Aufgabensteller hat sich als Lösung mit Sicherheit genau das vorgestellt, was BarneyG ausgeführt hat. Tatsächlich ist diese Frage aber im Rahmen der klassischen Statistik (= Häufigkeitsstatistik) gar nicht beantwortbar. Wenn die Trefferwahrscheinlichkeit des Schützen p = 0,76 beträgt, kann man natürlich gemäß BarneyG die Wahrscheinlichkeit für 90 Treffer bei 100 Schüssen ausrechnen. Kann man aber schließen, dass die Trefferwahrscheinlichkeit des Schützen 0,76 ist? Natürlich nicht! Das ist nur ein Schätzwert! Es ist in verschiedener Hinsicht der 'beste' Schätzwert, aber eben doch nur ein Schätzwert. Wäre die Trefferwahrscheinlichkeit des Schützen p = 0,6 oder p = 0,9 hätte er in einer 100er Serie durchaus auch 76 mal treffen können. Man müsste also aus der zufälligen Trefferzahl 76 auf eine Wahrscheinlichkeit für die unbekannte Trefferwahrscheinlichkeit p schließen. Genau das geht aber im Rahmen der klassischen Statistik nicht. Denn p ist zwar unbekannt, aber keine Zufallsgröße. Der Schütze kann schießen so oft er will, das führt zwar zu unterschiedlichen Trefferrzahlen, ändert aber nichts an seiner Trefferwahrscheinlichkeit. Das ist zumindest die Annahme. Wenn man aber der unbekannten Trefferwahrscheinlichkeit p aufgrund der zufälligen Trefferzahl 76 eine Wahrscheinlichkeit zuordnet, was die Bayesianer machen, dann sieht die Lösung der Aufgabe etwas anders aus. Dann muss man über die Wahrscheinlichkeitsdichte von p multipliziert mit der Wahrscheinlichkeit vo 90 Treffern bei gegebenem p integrieren. |
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| 31.05.2010, 19:21 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bernoulli-Experiment
Was kommt dann raus? Eine andere W'keit? Ohne zusätzliche Modellannahmen? |
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| 31.05.2010, 20:37 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment Ich habe es nicht gerechnet. Das dürfte auch etwas Aufwand erfordern, wie man schon daran sieht, dass die exakte Berechnung des Konfidenzintervalls für den Parameter p einer Binomialverteilung nicht ganz trivial ist. Die Bayesianer würden so vorgehen: Zunächst weiß man über die Trefferwahrscheinlichkeit p des Schützen nichts. Alle Werte für p sind daher zunächst gleichwahrscheinlich, d.h. man beginnt mit der priori-Verteilung P(p) = Gleichverteilung in [0, 1]. Aufgrund der beobachteten Trefferzahl 76 berechnet man dann mit der bekannten Bayes-Formel die posteriori-Verteilung für p. Die sollte in diesem Fall mit der Konfidenzverteilung für p nach klassischer Rechnung übereinstimmen. Das Wort Konfidenzverteilung habe ich ad-hoc erfunden, weil das Konfidenzintervall, wenn man es Funktion einer Grenze betrachtet, die mathematischen Eigenschaften einer Verteilungsfunktion hat. Nur darf es im Rahmen der klassischen Statistik nicht als Wahrscheinlichkeit für den unbekannten Parameter interpretiert werden. Die Wahl der priori-Verteilung bei völligem Unwissen ist einer der kritischen Punkte in der Bayes-Statistik. Das simple Prinzip völliges Unwissen = Gleichverteilung funktioniert bekanntlich nicht generell. |
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| 31.05.2010, 20:54 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment Ich kann mir noch nicht vorstellen, dass wirklich ohne weitere Modellannahmen etwas Anderes als oben rauskäme. Und wenn, würde ich wohl nur noch misstrauischer. Die Aufgabe mag etwas ungeschickt formuliert sein, aber es ist doch klar, dass die Frage «Von welcher Trefferwahrscheinlichkeit ist bei den Schützen auszugehen?» darauf abzielt, man solle sich aufgrund der einzigen vorliegenden absoluten Häufigkeit 76 gefälligst das vertretbarste aller Modelle machen. |
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| 31.05.2010, 21:01 | Calculator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment @ wisili, huggy eure Diskussion ist ja recht spannend (für mich), aber was mag wohl mja_nerven davon halten? Ich denke, sie/er ist Schüler/in und es handelt sich im Schulrahmen um eine "ganz normale" Aufgabe zur Binomialverteilung. mja_nerven hat sich ja wohl schon verabschiedet, wir sollten ihr/ihm lieber bei ihrem/seinem Problem helfen. lg |
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| 31.05.2010, 21:18 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment Deine Umsicht in Ehren, aber die Threaderstellerin hat sich seit bald 5 Stunden nicht mehr gemeldet. Ihre letzte Frage wurde von BarneyG ausreichend beantwortet. |
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| 31.05.2010, 21:22 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment @ Calculator Zur Fragestellung, wie sie vom Aufgabensteller gemeint ist, hat ja BarneyG erchöpfend geantwortet. Wenn der Fragesteller da noch Unklarheiten sieht, hindert ihn diese Diskussion hoffentlich nicht, Zusatzfragen zu stellen. Aber die Statistik ist ja sehr anwendungsorientiert. Und da scheint es mir schon wichtig, dass man nicht nur lernt, etwas irgendwie auszurechnen. Man sollte auch wissen, ob die Rechnung für die Fragestellung wirklich ein sinnvolles Ergebnis liefert. Da geht es nicht um mathematische Schlussfolgerungen aus Axiomen, sondern darum, welche Beziehung mathematische Definitionen in der Statistik zur realen Welt haben. Und das ist nicht so trivial, wie es manchmal erscheint |
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| 31.05.2010, 21:27 | Calculator | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment @Huggy seh ich genau so, nur halte ich es für einen stochastischen Anfänger für überfordernd. ok, ich mach jetzt Feierabend. lg |
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| 31.05.2010, 21:35 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment @Huggy Ich sehe das auch so. Deshalb interessiert es mich nun schon noch, wie du die Aufgabe abschliessend lösen würdest. a) Kannst du die klassische Lösung (die Ergebniszahl) nicht gutheissen? b) Oder kritisierst du die Aufgabenstellung als solche? c) Würde es einen Unterschied machen, wenn anstelle von «Bei einer Wiederholung der Schießübung soll berechnet werde, mit welcher W'keit der Schütze 90 Treffer erzielt.» stehen würde «Vor einer Wiederholung der Schießübung soll berechnet werde, mit welcher W'keit der Schütze 90 Treffer erzielt.» oder «Nach einer Wiederholung der Schießübung soll berechnet werde, mit welcher W'keit der Schütze genau die 90 Treffer erzielte.»? (Bei der allerletzten Version hätte ich auch Probleme.) |
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| 31.05.2010, 21:47 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment @ wisili Ich stimme mir dir überein, dass die Aufgabe so gemeint ist, wie sie BarneyG interpretiert hat. Das ändert aber nichts an der Tatsache, dass man p nicht wirklich kennt. Um die Problematik zu verdeutlichen, ein anderes Beispiel. Es gibt 2 Urnen A und B. Die eine enthalte 3 weiße und 7 schwarze Kugeln, die andere enthalte 6 weiße und 4 schwarze Kugeln. Zunächst werde eine der beiden Urnen zufällig gewählt, die Urne A mit Wahrscheinlichkeit pA. Dann werde aus der gewählten Urne zufällig mit Zurücklegen 3 Kugeln gezogen. Es seien 2 weiß und 1 schwarz. Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommen die Kugeln aus der Urne A? Diese Frage ist im Rahmen der klssischen Statistik einfach und sinnvoll über die Bayes-Formel zu beantworten. Das Ergebnis hängt natürlich von pA ab. Und Bayesianer kommen hier zu demselben Ergebnis. Was ist aber, wenn nicht bekannt ist, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Urne A bzw. B im ersten Schritt gewählt wurde. Kann man dann noch sinnvoll berechnen, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Kugeln aus der Urne A kommen? |
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| 31.05.2010, 21:49 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also bei der Diskussion kann man sicher eine ganze Menge lernen. Auch als Schüler. Und deshalb halte ich diese Diskussion für richtig und wichtig! Erst mal habe ich gelernt, dass die Sache mit dem Laplace Experiment nix zu tun hat. Ich werde mir diesbezügliche Bemerkungen künftig verkneifen.
Tja, und dann ist anzumerken, dass es sich beim Quotienten 76/100 um keine Wahrscheinlichkeit p handelt, sondern um die relative Häufigkeit h. Und wie Huggy angemerkt hat, kann man p nicht so ohne weiteres gleich h setzen. Tatsächlich gibt es in der Schulmathematik sehr viele Aufgaben, die darauf basieren, dass man dies tut. Erst neulich habe ich sowas kommentiert. Da schießt jemand viermal auf eine Torwand und trifft viermal daneben. Und schon wird unterstellt, dass er NIE trifft. Das ist natürlich Blödsinn. Trotzdem wird erwartet, dass man solche Aufgaben eben auf diese Weise löst. Und wenn man so eine Aufgabe im Abitur serviert bekommt? Na, dann sollte man halt hinschreiben, dass es sich bei der Zahl 0,76 um eine relative Häufigkeit handelt. Und dass man mangels besserem Wissens (und mangels ausgefeilterer Rechentechniken) diese Zahl nun als Wahrscheinlichkeit zu Grunde legt. Wenn das Kultusministerium an diese Zahl glaubt, warum sollte das ein Schüler noch anzweifeln!
Grüße |
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| 31.05.2010, 21:53 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment Meine Antwort hat sich jetzt mit deiner überschnitten. Zu deinen letzten Fragen: Ich kritisiere die Aufgabenstellung als solche! Ich meine, dass sie im Rahmen der klassischen Häufigkeitsinterpretation von Wahrscheinlichkeit nicht beantwortbar ist. Im Rahmen der Bayes-Statistik geht das schon. Aber da habe ich auch ein gesundes Mißtrauen, ob das eine sinnvolle Interpretation ist. |
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| 31.05.2010, 22:09 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bernoulli-Experiment
Ja, das ist so, dass man p nicht wirklich kennt, aber das ist immer so! Man ist immer gezwungen, ein Modell zu machen, gestützt auf Beobachtungen. Die W'keit, mit der ein U235-Atom im nächsten Jahr zerfällt, basiert auf relativen Häufigkeiten: Man beobachtet ein Mikrogramm Uran mit Geigerzähler. (Vielleicht ist es bei der Laplace-Annahme etwas anders: Man postuliert dort «bloss» Symmetrie; wichtig etwa in der statistischen Mechanik.) |
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| 01.06.2010, 08:27 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Bernoulli-Experiment Ja, ein Modell muss man immer machen. Das Modell sollte aber begründet sein. Mit einem schlecht oder gar nicht begründeten Modell sollte man keine Rechnungen machen, jedenfalls keine, auf deren Ergebnisse man sich in der realen Welt stützen möchte. Wenn ich einen Schützen habe, dessen relative Trefferhäufigkeit aufgrund langjähriger Erfahrung bei 0,76 liegt, ist die Annahme p = 0,76 sicher ein gut begründetes Modell. Wenn ich diesen Schützen jetzt viele 100er Serien schießen lasse, kann ich davon ausgehen, dass die relative Häufigkeit von 90 Treffern sich auf lange Sicht der theoretisch berechneten Wahrscheinlichkeit für 90 Treffer nähern wird. Wenn ich einen Schützen habe, von dem ich nur weiß, dass er in einer einzelnen 100er Serie 76 Treffer hatte, kann ich nicht davon ausehen, dass sich, wenn ich ihn viele 100er Serien schießen lasse, die relative Häufugkeit von 90 Treffern der mit p = 0,76 berechneten Wahrscheinlichkeit nähern wird. Das wäre ein großer Zufall, wenn es das täte. Es kann ebenso gut passieren, dass sich dann die beobachte relative Häufigkeit der mit p = 0,6 oder einem anderen p berechneten Wahrscheinlichkeit nähert. Deshalb ist das ein sehr sehr schlecht begründetes Modell. Und das ist der Kern meines Einwandes gegen die Aufgabenstellung. Wenn man Übungsaufgaben formuliert, sollte ihre Lösung nicht voraussetzen, ein derart wenig begründetes Modell zu verwenden. |
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| 01.06.2010, 10:02 | mja_nerven | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Puuuh, da habe ich nun also eine Diskussion gestartet ... Sorry ... Tatsächlich ist es so, dass so eine Aufgabe mir wohl morgen in der Mündlichen gestellt wird. Irgendwie bin ich nun total verwirrt ... Vielleicht nochmal zum Verständnis .... hätte da nun 87Treffer gestanden, hätte ich mit p=0,87 weiterrechnen müssen, richtig? In dieser Aufgabe war es ja nun aber so, dass nach der Standardabweichung gefragt wurde ... hier würde ich nun folgendes rechnen: 100*0,76*24 und dann die Wurzel ziehen ... Dann hätte ich eine Abweichung von 18,24 Ist das richtig? Und wie mache ich das nun mit den 90 Treffern? Danke für die Hilfe! |
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| 01.06.2010, 10:11 | mja_nerven | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Sehe meinen Fehler gerade selbst ... Es muss natürlich lauten: 100*0,76*0,24 und dann die Wurzel. Das Ergebnis wäre dann 4,27. Nun bleibt nur noich die Sache mit den 90 Treffern ... hier wird ja jetzt nach der Wahrscheinlichkeit dafür gefragt ... hier komme ich leider nicht weiter. |
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| 01.06.2010, 10:16 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das tut mir Leid und war nicht die Absicht.
Richtig. So hat der Autor der Aufgabe sich das vorgestellt.
Mache es, wie von BarneyG vorgeschlagen. Berechne mit der Binomialverteilung für n = 100 und p = 0,76 die Wahrscheinlichkeit P(X = 90). |
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| 01.06.2010, 10:26 | mja_nerven | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es tut mir wirklich leid, aber hier scheiter ich gerade ... 
Du sagtest, ich soll es mit der Binomialverteilung berechnen ... dann würde ich die Formel B(x,n,p)= (n über x) * p^x *q^n-x anwenden. n= 100 p= 0,76 q=0,24 und x wäre 90??? |
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| 01.06.2010, 10:30 | Huggy | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Richtig! Und da kommt etwas ziemlich kleines heraus. Denn 90 ist ja mehr als von 76 weg. |
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| 01.06.2010, 10:31 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
RE: Bernoulli-Experiment
... und das wäre dann ein guter Grund, das Modell zu revidieren. Das ist der Normalfall. Andere Möglichkeiten hat man gar nicht. Die Revision des Modells ist nicht das Eingeständinis eines Methodenfehlers. Die Methode ist in Ordnung. Aber, da gebe ich Huggy schon recht, zu einer Prognose mit W'keiten gehört eine Aussage über die Vertrauenswürdigkeit des zugrundeliegenden Modells. |
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| 01.06.2010, 10:35 | mja_nerven | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Puuuh, dann habe ich die Aufgabe also doch richtig verstanden 
Wichtig ist also, dass ich immer mit der Wahrscheinlichkeit weiterrechne (auch wenn das sehr theoretisch ist und nicht unbedingt der Realität entspricht
Zur Vorgehensweise: 1. Den Erwartungswert ausrechnen (n*p) 2. Dann die Standardabweichung (Wurzel aus n*p*q) 3. Mit der Binomialverteilung die Wahrscheinlichkeit für x-Treffer ausrechnen. Ich danke euch allen sehr! |
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