Kovergenz einer Reihe

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31.05.2010, 17:56	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Kovergenz einer Reihe Aloha. Ich soll folgende Reihe auf Konvergenz überprüfen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{2n^{2}-n } \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun, ob ich diese Reihe durch folgende Majorante abschätzen kann/darf: $\begin{eqnarray} \frac{1}{n^{2} } \end{eqnarray}$ Dann hätte ich ja Konvergenz gezeigt,denn es gilt ja: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{q} } \end{eqnarray}$ konvergiert wenn q > 1. Vielen Dank für eure Hilfe
31.05.2010, 18:02	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kovergenz einer Reihe Darfst du, aber dass es wirklich eine Majorante sollte man zeigen, weil wenigstens ich es nicht auf den ersten Blick gesehen hab.
31.05.2010, 18:25	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie beweise ich das den am besten? Bzw. gibt es noch eindeutigere Majoranten, die ich vielleicht übersehn hab?
31.05.2010, 18:35	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bist du denn auf die Abschätzung gekommen, wenn du nicht weißt, ob/wann/wie sie gilt? Du musst eben zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{1}{2n^2-n} \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n \geq n_0 \in \mathbb N \end{eqnarray}$ gilt. air
31.05.2010, 18:41	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Auf die Abschätzung bin ich durch herumprobieren und einsetzen gekommen Also hätte ich ja hier im Endeffekt: $\begin{eqnarray} n^{2}-n \geq 0 \end{eqnarray}$ Und kann mir als $\begin{eqnarray} n_{0} \end{eqnarray}$ 1 wählen, also gilt die Abschätzung sogar für alle Glieder der Summe. (theoretisch ja auch für n=0 aber liegt ja nicht im Bereich des Laufindex). Passt das so? Oder ist noch'n gedanklicher Fehltritt drin?
31.05.2010, 18:44	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Grunde passt es, sauberer wäre der Aufschrieb aber so: $\begin{eqnarray} n \geq 1 ~\Leftrightarrow~ n^2 \geq n ~\Leftrightarrow~ n^2-n \geq 0 ~\Leftrightarrow~ 2n^2-n \geq n^2 ~\Leftrightarrow~ \frac{1}{2n^2-n} \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray}$ air
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31.05.2010, 18:52	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Super, danke für die Hilfe. Mal noch ne Frage allgemein zu Majorante und Minorante: Gibts irgendein Schema um auf die zu kommen, oder muss man die mehr oder weniger "erraten" und dann durch einsetzen/probieren sein n_0 feststellen?
31.05.2010, 18:54	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibt es kein "Verfahren". Im Übrigen kann man sogar beweisen, dass es keine Majorante gibt, die für jede Reihe funktioniert und als "allentscheidende Majorante" fungiert. Das ist aber auch eine etwas andere Frage. Majoranten zu finden beruht auf Neugier, 'Spieltrieb' und vor allem auf Erfahrung. Wenn man so eine Reihe wie du hat, sieht man idR sofort, welche Majorante in Frage kommen könnte, da die Ähnlichkeit (ein reziprokes Polynom vom Grad 2) ja schon sehr einladend ist. air
31.05.2010, 18:59	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, hab ich mir ja fast gedacht. Dass es die "universelle" Majorante nicht gibt, ist ja klar. Also hilft nur vergleichen mit bekannten Folgen, die von der Struktur her ähnlich sind, oder wie seh ich das?
31.05.2010, 19:03	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, zum Beispiel. Wie gesagt, auch Erfahrung und Fingerspitzengefühl spielt da manchmal eine Rolle. Kommt natürlich auch auf den Aufgabensteller an, wie 'fies' er unter Umständen ist. Außerdem muss man erstmal wissen, dass eine Majorante der bessere Weg ist. Gibt ja auch andere Möglichkeiten. air
31.05.2010, 19:10	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, dann muss ich noch den Abschätzer in mir entdecken Setze mich mal an die zweite zu untersuchende Reihe $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{3n^{2}+1 }{4n^{3}-3n^{2}+2 } \end{eqnarray}$ Sieht schon etwas komplizierter aus, da was abzuschätzen...
31.05.2010, 19:14	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Abschätzung muss ja nicht vom Himmel fallen, man kann da schon gewissermaßen konstruktiv vorgehen. Verusche z.B. hier den Zähler nach oben und den Nenner nach unten abzuschätzen, bis du eine Form erreicht hast, die man besser handhaben kann. Dann kann man vielleicht irgendwann mal was kürzen, eine Summe auseinanderziehen, ... Wie gesagt, es gibt meist viele Möglichkeiten. air
31.05.2010, 19:27	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du damit, eine Majorante für den Zähler und eine Minorante für den Nenner zu finden? Oder etwas anderes?
31.05.2010, 19:29	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewissermaßen ja. Letztlich willst du den gesamten Bruch nach oben abschätzen, d.h. den Zähler nach oben und den Nenner nach unten. air
31.05.2010, 19:43	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, wenn mans hört klingts logisch. Um eine Majorante zu finden muss der Ausruck ja größer werden, was ja bei einem größeren Zähler / kleineren Nenner der Fall wäre
31.05.2010, 19:47	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Korrekt. Und wenn du Polynome hast lohnt es sich natürlich Ausschau zu halten, dass man kürzen kann etc. und so am Ende wieder etwas wie 1/n² als Majorante hat. air
31.05.2010, 20:52	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmpff.... Komme irgendwie auf kein befriedigendes Ergebnis aus meiner Sicht. Hab mal versucht (also ein Bsp.) $\begin{eqnarray} 3n^{2} +1 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 3n^{2} + n^{2} \end{eqnarray}$ abzuschätzen und $\begin{eqnarray} 4n^{3} -3n^{2} +2 \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} 4n^{3} -4n^{2} \end{eqnarray}$ Am Ende komm ich dadurch auf $\begin{eqnarray} \frac{1}{n-1} \end{eqnarray}$ Ist das in Ordnung so abgeschätzt? Ich kann nicht sagen warum, aber irgendwie hab ich das Gefühl da hakts irgendwo...
31.05.2010, 21:53	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hast du eher das Problem, dass du eine divergente Majorante hast. Die bringt dir natürlich gar nichts. Du brauchst eine divergente Minorante oder eine konvergente Majorante. Es ist also nicht unsinnvoll, sich erst zu überlegen, was einem das Gefühl über die Reihe sagt. Lautet die Aufgabe "Zeigen Sie die Konvergenz", so ist das Ergebnis natürlich eigentlich schon vorgegeben. "Untersuchen Sie auf Konvergenz" ist dagegen viel offener. Vielleicht habe ich dich vorhin leider verwirrt. Die zu untersuchende Reihe ist divergent, wie einem das Gefühl schnell sagt, denn offensichtlich verhält sich die Reihe etwa wie eine Reihe vom Typ 1/n. Insofern hätte ich nicht alles auf die Majorante beziehen sollen - habe da vorher nicht drüber nachgedacht, sorry! Suche also lieber eine divergente Minorante, d.h. schätze genau andersrum ab. air
31.05.2010, 22:03	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau das mit der divergenten Majorante, die ich da eigentlich hätte, hat mich auch stutzig gemacht ^^ Ok, also Zähler kleiner schätzen und Nenner größer Und ja, Aufgabe lautet "Untersuchen Sie auf Konvergenz". Dann versuch ich mal ne Minorante zu finden.
31.05.2010, 22:04	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber Achtung vor einem Trugschluss: Nur weil du eine divergente Majorante findest heißt das nicht, dass die Reihe divergiert. Das klingt jetzt sehr banal, ist es auch, wird manchmal aber gerne übersehen. "Zu großzügig" abschätzen kann schneller passieren als einem lieb ist. air
31.05.2010, 22:14	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, das ist wohl Übungssache Hab den Zähler jetzt mal durch $\begin{eqnarray} 3n^{2}-n^{2} \end{eqnarray}$ und den Nenner durch $\begin{eqnarray} 4n^{3}+3n^{2} \end{eqnarray}$ abgeschätzt. Wenn ich damit ein wenig rumrechne komm ich auf: $\begin{eqnarray} \frac{2}{4n+3} \end{eqnarray}$ Dann kann ich (in der Summe) die 2 ja vorziehen und habe ja quasi eine harmonische Reihe ( $\begin{eqnarray} \frac{1}{4n+3} \end{eqnarray}$ ) , die divergiert... Meinungen?
31.05.2010, 22:20	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht gut aus Für meinen Geschmack schätzt du stellenweise doch sehr heftig ab. Ging hier gut. Wenn sowas halt nicht klappt muss man etwas delikater abschätzen, so dass man nicht über die Grenze von Konvergenz und Divergenz fällt. Ich hätte jetzt z.B. einfach $\begin{eqnarray} 3n^2 + 1 > 3n^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 4n^3-3n^2+2 \leq 4n^3 \end{eqnarray}$ Womit man zur Minorante $\begin{eqnarray} \frac34 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ kommt. Wie du siehst mache ich mir fast weniger Gedanken und schätze wesentlich weniger "brutal" ab. Man muss eben genug abschätzen um eine Aussage über die Vergleichsreihe machen zu können, aber auch wenig genug um auch noch eine sinnvolle Aussage zu haben. air
31.05.2010, 22:37	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
DSuper, immerhin war die Abschätzung vom Prinzip her korrekt. Dann hab ich das so langsam doch mal kapiert mit den beiden Kriterien Zur Abschätzung: War mir nicht sicher ob es reicht die 1 einfach zu "streichen", also ob die Abschätzung nach unten dadurch bereits erlaubt ist, aber mit dem Nenner, das hätte ja auch mit meinen $\begin{eqnarray} 2n^{2} \end{eqnarray}$ gut gepasst. Ist wohl wie du sagst, das Gespür wirds wohl machen Da wir hier gerade so schön dabei sind, hätt ich noch eine Frage zu nem Grenzwert: In unserem Aufgabenteil a) sollten wir folgende Formel aufstellen und beweisen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n kq^{k}= \frac{nq^{n+2}-\left(n+1\right)q^{n+1}+q }{\left(q-1\right)^{2} } \end{eqnarray}$ In Teil b) sollte der Grenzwert dieser Reihe berechnet werden für $\begin{eqnarray} \|q\| < 1 \end{eqnarray}$ . Stimmt meine Rechnung, dass der GW $\begin{eqnarray} \frac{q}{\left(q-1\right)^{2} } \end{eqnarray}$ ist? Alle Terme mit $\begin{eqnarray} q^{n} \end{eqnarray}$ gehen ja bei $\begin{eqnarray} \|q\|<1 , n > 1 \end{eqnarray}$ gegen 0 und das oben genannte müsste ja dann übrig bleiben, oder?
31.05.2010, 22:43	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Versteh mich bitte nicht falsch - dein Vorgehen war absolut korrekt. Ich wollte lediglich ein paar grundlegende Dinge erwähnen und eine Alternative präsentieren. An deiner Version war absolut nichts falsch. Zur anderen Aufgabe: Sehr schön kann man das beweisen, wenn man bedenkt, dass das einfach die Ableitung der geometrischen Reihe ist ... Auch dein Grenzwert stimmt. air
31.05.2010, 23:00	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja hab dich nicht falsch verstanden, nur du sagtest ja, dass man mit etwas Pech auch zu extrem abschätzen kann, daher meinte ich, dass die Übung das wohl macht Hätte noch ein paar kleine Fragen bezüglich Majorante und Minorante allgemein: 1) Muss ich immer schauen, dass bei solchen Termen Zähler- und Nennergrad beim Abschätzen erhalten bleiben? 2) Kann ich durch eine grobe Rechnung Zählergrad/Nennergrad die angestrebte Form der Majorante/Minorante erkennen? (in dem Bsp. das wir hatten $\begin{eqnarray} \frac {n^{2}}{n^{3}} = n^{1} \end{eqnarray}$ also, das die angestrebte Form wohl Ähnlichkeit mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ haben muss/sollte?) 3) Ich hatte ja zuerst eine "divergente Majorante" konstruiert. Wenn ich also eine "div. Majorante" konstruieren sollte, bzw. das geschieht, kann ich dann davon ausgehn, dass keine Konvergenz vorliegt, sondern Divergenz (also eine div. Minorante existiert)? Bzw. im Falle einer "konv. Minoranten" Konvergenz vorliegt (also eine konv. Majorante existiert)?
31.05.2010, 23:16	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
1) Prinzipiell nicht. Aber du wirst durch sowas sehr schnell zu heftig abschätzen. 2) Ja, das ist so schon keine schlechte Idee. Allerdings sind gebrochenrationale Summanden ja nur ein spezieller Fall, es gibt ja viele, viele andere Reihen. 3) Das hatte ich vorher schon angesprochen - genau diesen Fehlschluss darf man nicht machen! Stell' dir die Folge der Partialsummen einer konvergenten Reihe einfach mal vor. Natürlich findest du Folgen, die immer größer sind und divergieren aber das bedeutet nicht im Geringsten, dass die zu untersuchende Folge divergiert! air
31.05.2010, 23:23	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal zu 1) Durch was schätz ich schnell zu heftig ab? Wenn ich den Grad verändere? Zu 2) Ok, dann kann ich mir so 'ne Grundidee zumindest für gebrochenrationale Summanden im Hinterkopf behalten Zu 3) Ok, werds mir merken, da hilft wohl nur probieren, bzw. erkennen in welche Richtung es gehn soll
31.05.2010, 23:49	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den Grad verändern kann schnell problematisch werden. Entweder du zerstörst etwaige Divergenz (indem du einen 1/n-Typ zu 1/n² änderst), oder du zerstörst Konvergenz (andere Richtung). Muss nicht passieren, kann aber. air
31.05.2010, 23:54	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, vielen Dank für deine Hilfe. Jetzt muss ich nur noch beweisen, dass das ganze auch eine Minorante is und dann wär die Aufgabe endlich erledigt
01.06.2010, 00:15	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Sollte ja nicht zu schwer sein air
01.06.2010, 00:19	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
/edit Sorry Doppelpost wegen Internethänger
01.06.2010, 00:21	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Also momentan steh ich auf dem Schlauch ^^ Soll ich wieder mit $\begin{eqnarray} n \geq 1 \end{eqnarray}$ beginnen? Find das irgendwie komplizierter wie beim orherigen Bsp. , da ich im Nenner im Nenner beider Terme den Summand mit der höchsten Potenz mit gleichem Vorfaktor vorliegen habe. Fand ich bei der "geometrischen Reihe" von vorhin einfacher zu erkennen bzw. die Ungleichung herzuleiten, da da auf einer Seite der Vorfaktor der höchsten Potenz um 1 kleiner war... und hier hab ich auf der einen Seite im Nenner auch noch 2 Summanden mehr, das macht mir gerade irgendwie ziemliche Probleme, die, wenn man weiß wie, wohl extrem einfach zu beheben sind
01.06.2010, 00:30	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Schreib doch erstmal sauber hin was du zeigen willst und wie weit du kommst. i.d.R. rechnet man das ganze schon so herum, wie du es auch gemacht hast. Es hinterher aber von "n >= 1" (oder wie auch immer) beginnend aufzuschreiben ist einfach etwas schöner (aber nicht unbedingt ein Muss). Edit: Du musst mir allerdings leider verzeihen, aber ich muss gleich schlafen gehen ... morgen gehts früh zur Uni. Vielleicht übernimmt ja jemand. air
01.06.2010, 00:39	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich werd auch erst morgen damit weitermachen, muss morgen auch raus und zur Uni, werd mir im Zug weitere Gedanken machen
01.06.2010, 19:31	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
So um meine Minorante zu zeigen, muss ich ja zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{3n^{2}}{4n^{3} } \leq \frac{3n^{2}+1}{4n^{3}-3n^{2}+2 } \end{eqnarray}$ ab einem gewissen n gilt. Nach umformen komm ich irgendwann auf: $\begin{eqnarray} 9n^{4}+4n^{3}- 6n^{2}\geq 0 \Leftarrow \Rightarrow n^{2}\cdot \left(9n^{2}+4n-6\right) \end{eqnarray}$ Dies gilt ja wie man doch eigentlich trivialerweise ( ) sieht ab n=1. Ist das so in Ordnung?
01.06.2010, 19:37	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Nunja - jein. Du multiplizierst mit dem rechten Nenner durch. Dafür musst du auch sichergehen, dass er größer als Null ist (was er offensichtlich zumindest ab einem gewissen n ist). Deine Trivialität sehe ich da leider auch nicht. Letztlich ist es auch egal, ab welchem n das gilt. Du musst diesen nicht bestimmen. Man weiß, wie sich ein solches Polynom für große n verhält und das genügt, um zu wissen, dass es dieses n gibt. air
01.06.2010, 19:50	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Also reicht es prinzipiell schon, wenn ich einfach die Abschätzung mache oder wie? Es muss doch sicher noch ein "formaler" Beweis erfolgen oder wird es normalerweise akzeptiert einfach zu sagen, dass meine Ungleichung gilt, da man dies ja leicht sieht?
01.06.2010, 19:54	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein - du musst schon begründen, dass die Abschätzung korrekt ist. Aber es ist ja egal, ob sie erst ab n=1 oder n=1000 gilt - Hauptsache es gibt solch ein endliches n. Und wenn ich z.B. $\begin{eqnarray} 9n^4 +4n^3 - 6n^2 \geq 0 \end{eqnarray}$ begründen will, dann muss ich nicht unbedingt (man kann natürlich dennoch) rumrechnen bis ich weiß ab welchem n das nun gilt. Das Polynom auf der linken Seite divergiert offensichtlich gegen $\begin{eqnarray} +\infty \end{eqnarray}$ und ist damit ebenso offensichtlich irgendwann immer größer als Null. air
01.06.2010, 20:10	m0pf	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, so war das gemeint Ok, danke. Da dieses Problem jetzt geklärt werde, käme, leider gerade das nächste, mit dem diese beiden Aufgaben wohl auch machbar gewesen wären (zumindest hat ein Bremser das erwähnt). Es seien zwei Folgen $\begin{eqnarray} a_{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b_{n} \end{eqnarray}$ mit n € \|N gegeben, sodass ein Grenzwert $\begin{eqnarray} c:= \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n}}{b_{n}}\neq 0 \end{eqnarray}$ existiert. Nun soll man zeigen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty a_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert $\begin{eqnarray} \Leftarrow \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^\infty b_{n} \end{eqnarray}$ konvergiert. Da ich absolut keinen Plan hatte&habe, wie ich das beweisen soll, hab ich eben mit der Abschaetzerei begonnen, was mich ja dan ein wenig aufgehalten hat /edit: Vergessen zu erwähnen: Ne Hilfestellung für den Beweis wäre nett
01.06.2010, 20:17	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Nimm mal an, die Reihe über die (b_n) konvergiert. Du musst zeigen, dass dann auch die Reihe über die (a_n) konvergiert. Formuliere jetzt erstmal, was es denn bedeutet, dass der Quotient der beiden Folgen konvergiert. Bedenke, dass wenn die Reihe über die b_n konvergiert, b_n eine Nullfolge sein muss. Aus dem Ausformulieren des gegebenen Grenwzertes kannst du eine Abschätzung basteln. air

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