Kronecker-Delta / Levi-Civita-Tensor

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Tobi' Auf diesen Beitrag antworten »
Kronecker-Delta / Levi-Civita-Tensor
Es gilt (mit Einsteinscher Summenkonvention):

Frage: Wie beweise ich das? Ich komme so weit:

Nach Einstein wird über doppelt auftretende Indizes summiert, also:



Und jetzt?

Zu LC kommen später auch noch Fragen. smile

PS:

Also ich kann's nachvollziehen. Die verbleibenden Indizes, nach dem man es ausgeschrieben hat, sind j und k. j und k können nur die Werte 1, 2, 3 annehmen. Und nur wenn j und k den gleichen Wert annehmen, steht da eine 1, ansonsten eine 0. Das ist aber gerade die Definition des Kronecker-Deltas mit den Indizes j und k . Aber ein Beweis ist das doch nicht oder kann ich das so schreiben und das reicht?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kronecker-Delta / Levi-Civita-Tensor
Deine Formel ist ok:



Diese Rechnungen mit Delta-Funktionen sehen kompliziert aus. Sie sind es aber nicht. Durch formale Rechnung kann man da nix mehr vereinfachen. Um die Formel zu überprüfen, mache einfach eine Fallunterscheidung:

Fall 1: .
Wenn z.B. j=k=1 verschwinden der 2. und 3.Summand und der 1.Summand ergibt .

Analgoges ergibt sich wenn oder


Fall 2:
Dann verschwinden alle 3 Summanden.
---------------------------
Insgesamt ergeben der Fälle 1 und 2 gerade die Definition der Deltafunktion
Tobi' Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort. Ich hatte es mittlererweile auch schon selber gelöst und stecke jetzt beim Levi-Civita-Tensor fest. Wie beweise ich denn nun z. B.:



Geht man hier genau so vor? Also summieren über j?



Hier mit Fallunterscheidungen zu arbeiten wäre ja ein Riesenaufwand. Alleine schon, weil es nun 4 verschiedene Indizes sind, die alle miteinander verglichen werden müssten. Gibt's hier irgendeinen Trick?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Um derartige Rechnungen, die z.B. in der Allgemeinen Relativitätstheorie zu Hauf' vorkommen, durchzuführen, ist es von Vorteil, den Levi-Civita-Tensor wie folgt als Determinante von Delta-Funktionen darzustellen:



Mach' dir mal anhand von Beispiel die Richtigkeit dieser Darstellung klar.

Auf den 1.Blick scheint es, als ob man den Levi-Civiat-Tensor damit künstlich kompliziert darstellt. Der große Vorteil ist jedoch, dass man mit dieser Darstellung viele Rechnungen sehr bequem und formal durchführen kann, indem man die bekannten Rechenregeln für Determinanten anwendet.

Nehmen wir dein Beispiel. Zu berechnen ist also



Wir benutzen die Tatsache, dass das Produkt zweier Determinanten mit der Determinante des Produktes übereinstimmt, also



Die einzelnen der 9 Matrixelemente fassen wir mit derjenigen Formel zusammen, die du in deinem ersten Beitrag genannt hast, also mit . Offenbar habe alle 9 Matrixelemente genau diese Form. Wir fassen also zusammen und erhalten



Das obere linke Matrixelement ergibt hierbei , also



Diese Determinante entwickeln wir mit dem Laplaceschen Entwicklungssatz für Determinaten (nach der 1.Zeile), also



Die beiden Faktoren vor den letzten beiden Determinanten multiplizieren wir jeweils in die erste Spalte hinein, was nach den Rechenregeln mit Determinanten erlaubt ist, also



In den ersten Spalten der beiden letzten Determinanten summieren wir über j ab, wobei wir wieder die Formel benutzen. Das ergibt:



Nun vertauschen wir in der letzrten Determinante die beiden Spalten und ändern zum Ausgleich das Vorzeichen.



Nun sind alle 3 Determinanten identisch und können zusammengefasst werden zu



Das ist genaus das Ergebnis, was rauskommen soll.
Tobi' Auf diesen Beitrag antworten »

Grandios! Wirklich. Ich kann gerade nicht ausdrücken, wie sehr du mir mit diesem Beitrag weitergeholfen hast. Vielen vielen Dank für diese überaus ausführliche Darstellung. Freude Mit Zunge
nanobyte Auf diesen Beitrag antworten »

hallo
der Thread ist zwar schon ein bisschen älter aber vielleicht könnt ihr mir ja trotzdem helfen.
ich schau mir grad für eine Prüfung dieses Problem an und hab noch ein kleines Verständnis problem:
Wenn jetzt der linke obere Eintrag der Matrix 3 ist dann müsste doch das ergebnis für die erste Aufgabe bei k=l auch 3 sein?!

lg
 
 
nanobyte Auf diesen Beitrag antworten »

k=j meinte ich natürlich
Besucher Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank Ehos!
Du hilfst auch heute noch mit deiner ausführlichen Antwort weiter ! Freude
Don'tPanicRegenerate Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, ich weiß, dass das Thema alt ist aber ich habe eine Frage dazu:

Ich muss den Beweis der Levi Civita Multiplikation auch erbringen aber ich darf keine Determinanten verwenden sondern muss das ganze mit dem Spatprodukt der Basisvektoren machen.

Jetzt kommen bei mir leider 36 Terme raus, die sich alle in Kronecker Deltas umwandeln lassen, wobei sich jedoch am Ende nichts rausstreichen lässt.

Gibt es irgendwelche Dinge die ich beachten muss?
Denn wenn ich das ganze für die beiden Epsilon Tensoren nach den Regeln für das Kreuzprodukt durchexerziere, bekomme ich ja pro epsilon 6 Terme (bzw 3 nach ausklammern)

viele Grüße
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