Frage zu span

31.05.2010, 23:11

imag

Frage zu span

Ich habe eine Frage:
Ist $\begin{eqnarray*} span(x,Ix)=span(x,\lambda x)=span(x,\lambda x, \lambda^2x)=...=span(x) \end{eqnarray*}$ ?
Falls ja kann mir jemand erklären warum?
Danke schonmal.

01.06.2010, 00:14

tigerbine

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RE: Frage zu span
1. Was ist span -> Definition anschauen.

2. Was sind die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ?

3. Warum ist lineare Abhängigkeit hier ein wichtiger Begriff, den man verstanden haben muss?

01.06.2010, 07:50

imag

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RE: Frage zu span
1. Definition von span:
Die Menge aller Linearkombinationen einer Familie $\begin{eqnarray*} (v_1,v_2,...,v_n) \end{eqnarray*}$ in einem K- Vektorraum bezeichnet man als span.
2. Die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kommen daher:
ich hatte zum Beispiel das hier: $\begin{eqnarray*} span(x, Ax) A\in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} A^k=\lambda^k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwerte von A sind (den Beweis habe ich), bin darauf gekommen:
$\begin{eqnarray*} span(x, Ax)=span (x,\lambda x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} span(x, Ax, A^2x)=span (x,\lambda x, \lambda^2 x) \end{eqnarray*}$ und soweiter.
Jetzt müssen, damit mein Beweis aufgeht aber
$\begin{eqnarray*} span(x, Ix)=span(x,\lambda x)=span(x,\lambda x, \lambda^2 x)=...=span(x) \end{eqnarray*}$ sein.
3. Ist es so, dass wenn die Elemente des span alles linear abhängig sind der span gleich ist? Weil hier wären die Elemente ja alle linear abhängig oder?

01.06.2010, 08:36

Iorek

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RE: Frage zu span

Zitat:

Original von imag
2. Die $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ kommen daher:
ich hatte zum Beispiel das hier: $\begin{eqnarray*} span(x, Ax) A\in \mathbb R^{nxn} \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$ oder auch $\begin{eqnarray*} A^k=\lambda^k \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ Eigenwerte von A sind (den Beweis habe ich), bin darauf gekommen:
$\begin{eqnarray*} span(x, Ax)=span (x,\lambda x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} span(x, Ax, A^2x)=span (x,\lambda x, \lambda^2 x) \end{eqnarray*}$ und soweiter.

Wieso hast du das denn nicht von vornherein angegeben? Im Allgemeinen gilt natürlich $\begin{eqnarray*} \operatorname{span}(x)\neq\operatorname{span}(x,Ax) \end{eqnarray*}$ , Beispiel dafür ist auch leicht zu finden.
Und $\begin{eqnarray*} A^k=\lambda ^k \end{eqnarray*}$ ist Unsinn, dein $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist eine Matrix, dein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ eine reelle Zahl.

01.06.2010, 10:43

imag

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RE: Frage zu span
Da war ein Tippfehler drin:
Es sollte heißen
$\begin{eqnarray*} A^k x=\lambda^k x \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ist Eigenwert von A. Dann gilt das aber.

01.06.2010, 13:41

tigerbine

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RE: Frage zu span
Was ist der span? Die lineare Hülle der entsprechenden Vektoren, also der UVR aller Vektoren die sich daraus linear kombinieren lassen. Und ich kann da unendliche viele lineare abhängige reinschreiben, dennoch wird der span nicht größer.

Was ist nun die eigentliche Aufgabe? Was soll gezeigt werden? Bitte gib dir da ein wenig mehr Mühe beim posten.

Wenn x ein Eigenvektor von A ist, was ist dann Ax?

$\begin{eqnarray*} Ax=\lambda x \end{eqnarray*}$

Also ein skalares Vieldfaches von x, und x und $\begin{eqnarray*} \lambda x \end{eqnarray*}$ sind linear abhängig. Es ist doch dann egal, wie oft ich da noch die Matrix A drauf loslasse, es kommt wieder nur ein skalares Vielfaches raus, was schon in span{x} lag. Augenzwinkern

I.A. gilt das nicht, denn Urbild und Bild müssen nicht linear abhängig sein.

01.06.2010, 19:21

imag

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RE: Frage zu span
Danke das hat mir sehr weitergeholfen. Konnte mein Problem jetzt lösen. Danke

01.06.2010, 19:22

tigerbine

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RE: Frage zu span
Schön, auch wenn ich noch nicht sicher bin, was das eigentliche Problem war. Wink

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