Rang einer quadratischen Matrix aus den natürlichen Zahlen

01.06.2010, 17:06

Hm?

Rang einer quadratischen Matrix aus den natürlichen Zahlen

Hallo Leute,

meine Aufgabe ist:

Seien a,b,c Elemente aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n,1} \end{eqnarray*}$ mit n Element aus $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$

Bestimmen Sie Rang $\begin{eqnarray*} (ba^{T}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (ba^{T}) \end{eqnarray*}$ müsste element von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray*}$ sein, also eine quadaratische matrix die aus elementen der natrülichen zahlen besteht.

wie bestimme ich jetzt den rang? ich hab beim googeln was zu determinanten gelesen, aber die hatten wir noch nicht.
ich hab das gefühl dass der rang gleich n sein müsste, aber begründen kann ich es nicht.. könnt ihr mir helfen?

01.06.2010, 17:53

tmo

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Schreibe dir die Matrix doch mal hin.

Also mit $\begin{eqnarray*} b=(b_i)_{i=1, \dotsc, n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=(a_i)_{i=1, \dotsc, n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ba^T= ... \end{eqnarray*}$

01.06.2010, 18:15

Hm?

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Zitat:

Original von tmo
Schreibe dir die Matrix doch mal hin.

Also mit $\begin{eqnarray*} b=(b_i)_{i=1, \dotsc, n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a=(a_i)_{i=1, \dotsc, n} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} ba^T= ... \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} ba^{T}=((ba^{T})_p)_{i=1, \dotsc, n} \end{eqnarray*}$ (p=ii, konnte es nicht bei latex schreiben)

ich hoffe das kann ich so aus der definition der matrixmultiplikation ableiten, was bringt mir das im bezug auf den rang? das dargestellte schließt doch noch nicht aus das eine zeile oder spalte gleich null ist oder?

01.06.2010, 19:29

Elvis

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Das Ergebnis ist bestimmt eine quadratische Matrix, ihre Elemente sind relle Zahlen, ihr Rang ist fast immer <n . Augenzwinkern

01.06.2010, 20:04

Hm?

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achso, reele stimmt - verlesen, aber sollte glaube ich keinen großen unterschied machen.

wenn ich beide matrizen verknüpfe erhalte ich eine matrix.

bei der wäre die erste zeile zb 1*1...1*n und die letzte zeile n*1...n*n

heißt ich kann jede zeile so erweitern, dass cih in jeder zeile ein 1...n stehen habe, das heißt, dass mein rang 1 ist, richtig?

02.06.2010, 18:46

Elvis

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Ich glaube, du kommst von deinem Denkfehler nicht weg, dass $\begin{eqnarray*} ba^T\in \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray*}$ .
Sind Vektoren Spaltenvektoren, dann ist $\begin{eqnarray*} ba^T=\begin{pmatrix} b_1 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix} (a_1,...,a_n)=(b_1a_1,...,b_na_n)\in \mathbb R^{n,1} \end{eqnarray*}$ .
Sind Vektoren Zeilenvektoren, dann ist $\begin{eqnarray*} ba^T=(b_1,...,b_n)\begin{pmatrix} a_1 \\ ... \\ a_n \end{pmatrix}=(\sum_{i=0}^n {a_ib_i})\in \mathbb R^{1,1} \end{eqnarray*}$ .
Der Rang ist 0, wenn der Nullvektor dabei rauskommt, 1 sonst. Das ist fast immer kleiner als n, außer für n=1.

02.06.2010, 18:54

Manus

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Zitat:

Original von Elvis
Ich glaube, du kommst von deinem Denkfehler nicht weg, dass $\begin{eqnarray*} ba^T\in \mathbb R^{n,n} \end{eqnarray*}$ .
Sind Vektoren Spaltenvektoren, dann ist $\begin{eqnarray*} ba^T=\begin{pmatrix} b_1 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix} (a_1,...,a_n)=(b_1a_1,...,b_na_n)\in \mathbb R^{n,1} \end{eqnarray*}$ .

Entschuldige, wenn ich mich einmische, aber das stimmt so nicht.

Das Produkt einer $\begin{eqnarray*} n \times 1 \end{eqnarray*}$ -Matrix mit einer $\begin{eqnarray*} 1 \times n \end{eqnarray*}$ Matrix wird immer eine $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ Matrix ergeben.

Was nichts daran ändert, dass der Rang recht gering sein wird.

02.06.2010, 19:41

Elvis

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Wenn's nicht stimmt, nehme ich meinen unqualifizierten Beitrag mit Bedauern zurück. Hammer

02.06.2010, 22:43

Hm?

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vielen dank für die tollen hilfen. smile

ich hab am ende herausgebkommen das der rang entweder null oder 1 sein muss, null wenn a oder/und b = null ist und 1 wenn beides ungleich null ist.

allerdings habe ich es wohl etwas verquer aufgeschrieben ^^
ich hab eine matrix gemalt und wollte die dann in die normalform bringen, naja dabei habe ich jede zeile mit 1/a multipliziert und dann die unteren zeilen gelöscht. smile

02.06.2010, 23:46

Manus

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Dein Ergebnis stimmt.

Das Produkt von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a^{tr} \end{eqnarray*}$ ist eine $\begin{eqnarray*} n \times n \end{eqnarray*}$ -Matrix, deren i-te Spalte das $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ -fache von b ist. Insbesondere sind also schon jeweils zwei Spalten linear abhängig und der Rang ist somit 1 (oder eben in den Spezialfällen 0)

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