Basis |
| 01.06.2010, 20:13 | Gabi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Basis V=span(v1,v2,v3,v4), wobei v1=(1,0,0,1) , v2=(0,1,1,0), v3= (-1,0,0,-1) v4=(1,1,1,1) a) Bestimmmen Sie eine Basis von V. b) Geben Sie alle möglichen Basen von V aus v1,...,v4 an. Meine Ideen: a)So ich habe aus den 4 Vektoren eine Matrix erstellt und Nullzeilen erhalten, s.d die 4 Vektoren nicht linear unabhängig sind. Aber wie mache ich dann weiter? Sind nicht e1,e2,e3,e4 eine Basis? |
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| 01.06.2010, 20:18 | nore | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hallo Gabi, überleg dir vielleicht erstmal genau, wovon du eine Basis suchst. Gruß David |
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| 01.06.2010, 20:57 | Gabi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also ich suche ja die Basis vom span. Das ist ja schon ein erzeugendes System. Also brauch ich ja nur noch linear unabhängige Vektoren finden. v1 und v2 sind ja linear unabhängig. Aber sie bilden allein doch keine erzeugendes System mehr.aber noch zu a) dann sind doch die einheitsvektoren eine basis oder? |
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| 01.06.2010, 21:11 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Warum bilden sie kein Erzeugendensystem mehr? |
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| 01.06.2010, 22:07 | Gabi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
also doch? achso, man kann ja alle anderen auch mit den beiden erzeugen. ok, das ist dann doch dann aber schon die antwort auf b. ist B=(v1, v2) dann die einzige antwort bei b? was ist mit meiner antwort auf a? mit der einheitsbasis? |
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| 01.06.2010, 22:21 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich finde die Aufgabenstellung auch etwas komisch. Was man in a) machen muss, ist in b) nämlich eigentlich auch schon enthalten. Das ist doch der originale Wortlaut der Aufgabe, oder? Falls ja: Dann hast du a) nun schon gelöst, denn v1 und v2 bilden ein minimales Erzeugendensystem von V, genau. Und das ist ja gerade die Definition einer Basis. In der b) musst du nun nur noch alle zusätzlichen Kombinationen von v_i finden, die auch wieder eine Basis bilden. Das ist schnell erledigt, denn alle Basen bestehen logischerweise aus der gleichen Anzahl von Elementen, weil die Dimension von V dadurch definiert ist. |
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| 01.06.2010, 22:29 | Gabi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, so lautet der originale Wortlaut. wir hatten solch eine ähnliche Aufgabe schon einmal, da war bei a) dann die Antwort, dass die einheitsvektoren eine mögl. basis bilden und bei b) dann, das, was wir hier zusammen gemacht haben. ja gut, dann ist ja nur noch v3,v4 eine mögliche basis. kann man sich eigentlich den span dieser 4 vektoren anschaulich vorstellen? |
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| 01.06.2010, 22:37 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zu den Einheitsvektoren: Damit ist hier nichts zu holen. Bzw. natürlich spannen die vier Einheitsvektoren e1,e2,e3,e4 auch den Raum V auf, sind also ein Erzeugendensystem. Sie bilden in diesem Fall aber keine Basis. Denn wir haben ja schon festgestellt, dass dim(V)=2 sein muss. Kann also nicht hinhauen. Nochmal: Die Anzahl der Elemente der Basis von V bestimmt die Dimension von V.
Ich finde noch drei weitere Basen, also insgesamt fünf.
Wenn man V jetzt als Teilmenge (Unterraum) des auffassen würde, dann könnte man sich V als eine Ebene vorstellen, die durch diesen vierdimensionalen Raum läuft. Denn eine Basis von V besteht aus zwei Elementen, also aus zwei Richtungsvektoren, wenn man so will. Und die spannen ja eine Ebene auf. |
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| 01.06.2010, 22:48 | Gabi90 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok, also (v1,v2), (v1,v4), (v3,v4), (v3,v2), (v2,v4) das sind alle möglichen Basen. vielen dank für deine erklärungen. |
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| 01.06.2010, 22:50 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau. 
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