Träger, Verteilungsfunktion und Dichte bestimmen

02.06.2010, 13:12

Fiddi

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Träger, Verteilungsfunktion und Dichte bestimmen

Meine Frage:
Die Zufallsvariablen X und Y seien unabhängig und diskret gleichverteilt auf {1,...,m}. Weiterhin sei c > 0

1) Bestimmen Sie die Träger von X^2, c*X, X + Y, X*Y und min (X,Y)
2) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktionen von X^2 und c*X
3) Bestimmen Sie die Dichte und Verteilungsfunktion von min (X,Y)

Meine Ideen:
also ich weiß bisher:
- die Wahrscheinlichkeiten sind wegen der Gleichverteilung immer 1/m
- die Summe aus allen Wahrscheinlichkeiten ergibt 1, da es diskret ist.
- durch die Konstante c sind die Werte immer positiv

Jedoch weiß ich nichts mit dem Träger anzufangen, der als Wertemenge definiert wird!

02.06.2010, 14:08

Lord Pünktchen

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RE: Träger, Verteilungsfunktion und Dichte bestimmen
Eine Zufallsvariable ist insbesondere eine Abbildung.

Und als Abbildung gibt es eine zugehörige Wertemenge.

Diese ist manchmal expliziz und manchmal implizit gegeben, was aber nichts daran ändert, dass man mit ihr rechnen kann.

Wo liegt also etwas genauer ausformuliert das Problem?

02.06.2010, 14:11

Fiddi

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Ich weiß nicht wie ich auf die Berechnung komme

02.06.2010, 14:22

Lord Pünktchen

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X ist ja diskret gleichverteilt auf {1,...,m}

Also gilt: $\begin{eqnarray*} X(w) = 0 <=> w \in \{w\in \Omega | X(w) = 0\} = \{w\in \Omega | X(w) \in \{1,...,m\}\}^c \end{eqnarray*}$

Desweiteren gilt: $\begin{eqnarray*} X^2(w) = 0 <=> X(w) = 0 \end{eqnarray*}$

Wie kann man also den Träger von $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ schreiben?

02.06.2010, 14:32

Fiddi

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wenn X diskret gleichverteilt mit Träger {1,..., m} gilt:

E[x]= m+1/2 und E[X^2]= (m+1)+(2m+1)/6

02.06.2010, 14:38

Fiddi

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P(X=xi) = 1/k

T={x1,...,xk)}

i = 1,...,k

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02.06.2010, 15:34

Lord Pünktchen

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Wie habt ihr den Träger definiert?

Schreib das doch mal bitte hin.

02.06.2010, 15:49

Fiddi

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Die Menge der xi mit P(X =xi) > 0 heißt auch Träger von P^X. Die durch

fx(x) =

0 falls x nicht Element von {xi, i \in I}

P(X = xi) falls x =xi, i Element von I

definierte Funktion fx: R -> R heißt die W'keitsdichte von X (bzw. von P^X)

02.06.2010, 16:19

Lord Pünktchen

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Der Träger von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ ist ja, wie du schon hingeschrieben hat

$\begin{eqnarray*} T_X = \{1, ... ,m\} \end{eqnarray*}$

Der Träger von $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ ist dann

$\begin{eqnarray*} T_{X^2} = \{1, 4, 9, ... ,m^2\} \end{eqnarray*}$

da ja $\begin{eqnarray*} P(X^2 = x) = P(X = \sqrt{x}) > 0 <=> \sqrt{x} \in \{1, ... ,m\} \end{eqnarray*}$

Edith: Sorry, in den obigen Posts hab ich was durcheinander gebracht *hust*

02.06.2010, 16:33

Fiddi

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okay, nach deinem Tipp wäre dann wie folgt:

$\begin{eqnarray*} T_{c\cdot X} = \left\{c\cdot 1, c\cdot 2, ..., c\cdot m\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{X+Y} = \left\{1+1,2+2, ..., m+m\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{X-Y} = \left\{1-1,2-2, ..., m-m\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{X\cdot Y} = \left\{1\cdot1 , 2\cdot 2, ..., m\cdot m\right\} \end{eqnarray*}$

und wie funktioniert das dann mit min (X,Y)?

02.06.2010, 20:47

Lord Pünktchen

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$\begin{eqnarray*} T_{c \cdot X} \end{eqnarray*}$ stimmt.

Aber der Rest ist Falsch.

$\begin{eqnarray*} P(X+Y=k) = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k>2m \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\leq 1 \end{eqnarray*}$

aber $\begin{eqnarray*} P(X+Y=k)>0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 2\leq k \leq 2m \end{eqnarray*}$

Bsp.: $\begin{eqnarray*} P(X+Y=3) > P(X=1, Y=2) >0 \end{eqnarray*}$

Kannst du $\begin{eqnarray*} T_{X+Y} = \{2, ... ,2m\} \end{eqnarray*}$ zeigen?

Edith: Auch beim Rest nicht vergessen, dass X und Y unabhängig sind.

Zum Minimum: $\begin{eqnarray*} P(\min \{X,Y\} = x) = P(X = x, Y < x) + P(X < x, Y = x) \end{eqnarray*}$
Weißt du, warum diese Identität gilt?

02.06.2010, 21:09

Fiddi

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Ne, deine Identität sagt mir gerade nix.

Warum ist Tvon X+Y denn nicht richtig?

und was bedeutet die Unabhängigkeit für mich? Hab ich jetzt alles dargestellt als abhängig oder wie?

02.06.2010, 21:40

AD

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Zitat:

Original von Fiddi
Warum ist Tvon X+Y denn nicht richtig?

Also ehrlich, das hat LordPünktchen gesagt, du musst die Beiträge auch lesen:

Zitat:

Original von Lord Pünktchen
Bsp.: $\begin{eqnarray*} P(X+Y=3) > P(X=1, Y=2) >0 \end{eqnarray*}$

Damit ist $\begin{eqnarray*} 3\in T(X+Y) \end{eqnarray*}$ , während die 3 in der von dir angegebenen Trägermenge fehlt.

Allgemein: Für diskrete unabhängige Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ gilt

$\begin{eqnarray*} T(X+Y) = T(X) \oplus T(Y) \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ die Minkowski-Summe darstellt. Allgemeiner kann man

$\begin{eqnarray*} T(g(X,Y)) = \{ g(x,y) \bigm| x\in T(X),y\in T(Y) \} \end{eqnarray*}$

schreiben.

02.06.2010, 22:02

Fiddi

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Sorry, ich dachte weil T von X+Y nochmal aufgegriffen wurde, wäre da irgendwie ein Körnchen richtig!

Und ich hab noch nie was von der Minkowski-Summe hab ich noch nie gehört! Hammer

Hammer

02.06.2010, 22:45

AD

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Deswegen habe ich es ja verlinkt. Ist auch nur ein Name, und nichts spannendes dabei. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.06.2010, 12:54

Fiddi

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okay, es gilt ja:

$\begin{eqnarray*} Minkowski-Summe: A\oplus B := {a + b | a \in A, b \in B}; \end{eqnarray*}$

Würde dann für X-Y gelten:

$\begin{eqnarray*} Minkowski-Differenz: A-B:= A\oplus (-B); \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} – B := {-b | b\in B} ? \end{eqnarray*}$

Bei T von X + Y hab ich doch das 1. Element des Trägers X mit dem 1. Element des Trägers Y addiert. Was mach ich nur falsch? unglücklich

unglücklich

Oder muss ich das als Zahlenpaare darstellen, heißt also : (1,1),..., (m,m)?

03.06.2010, 17:03

Fiddi

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Hier bei Wiki steht das ja als Beispiel:

Gegeben A und B mit Elementen aus \mathbb R^2:
A = {(1,0), (0,1), (0,-1)}, B = {(0,0), (1,1), (1,-1)}

A+B = {(1,0),(2,1),(2,-1), (0,1),(1,2),(1,0), (0,-1),(1,0),(1,-2)}

hieße für meinen Träger doch:

(1+1, 1+2,..., 1+m, 2+1, 2+2,..., 2+m,..., m+m)wenn ich A mit dem Wert aus B addiere.

Verbesserung?

03.06.2010, 17:39

AD

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Zitat:

Original von Fiddi
hieße für meinen Träger doch:

(1+1, 1+2,..., 1+m, 2+1, 2+2,..., 2+m,..., m+m)wenn ich A mit dem Wert aus B addiere.

Verbesserung?

Das ist erst mal richtig. Aber diese Menge kann man natürlich auch einfacher schreiben, schließlich entsteht z.B. die 4 auf drei verschiedene Weisen

4 = 1+3 = 2+2 = 3+1 .

Also denk nochmal nach, wie man die an sich richtige Menge

{1+1, 1+2,..., 1+m, 2+1, 2+2,..., 2+m,..., m+m}

einfacher darstellen kann. Manchmal hilft auch ein Blick zurück im Thread.

03.06.2010, 18:11

Fiddi

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es läuft bei mir auf (2,3,..., m, 3, 4, ..., 2m,...2m) einfacher kann ich es mir gerade nicht vorstellen... verwirrt

verwirrt

03.06.2010, 18:15

Fiddi

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oder meinst du so:

(1*2, 2*3, 3*4,..., 2m)

03.06.2010, 18:20

AD

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Warum nicht gleich {2,3,...,2m-1,2m} ?

03.06.2010, 18:26

Fiddi

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Es fällt mir wie Schuppen von den Augen, so einfach und ich komme nicht drauf!

ach ja und was ich oben gepostet hab bezüglich Minkowski-Differenz, berechne ich nun auf gleiche Art T von X-Y?

03.06.2010, 18:28

AD

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Ja, $\begin{eqnarray*} T(X-Y) = T(X+(-Y)) = T(X) \oplus T(-Y) \end{eqnarray*}$ ist richtig.

03.06.2010, 19:05

Fiddi

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also für T(X-Y) wäre dann:

(0, -1, -2,..., 1-m, 1, 0, -1,... 2-m, m-m(=0))

?

und wie vereinfach man das? das gleich mit 1-m-1 statt 1-m und 2-m-1 statt 2-m?

03.06.2010, 19:30

AD

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Wenn du partout kein Verständnis für diese Art Mengen hast, dann musst du sie eben mal für ein paar m aufschreiben (m=2,3,4,...) bis du es dann raffst - was soll ich sonst sagen?

03.06.2010, 19:32

Fiddi

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aber der Ansatz war doch richtig nur die Vereinfachung nicht oder?

03.06.2010, 19:51

Fiddi

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nimmt man z. B. m=2 hat man:

(0, -1, -2, ..., -1,1, 0, -1, -2,..., 0, ... 0)

also wird m um +1 verschoben

08.06.2010, 11:52

Fiddi

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Kann mir wenigstens noch jemand beim min(X,Y) helfen? Ohne das kann ich c) nämlich garnicht erst angehen!

$\begin{eqnarray*} min(X,Y) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(min{X,Y} = x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X = x, Y < x) + P(X<x, Y = x) \end{eqnarray*}$

heißt das dann (2,1) + (1,2),..., (m,m-1)+ (m-1,m)

ein Beispiel wäre wirklich super zum Verständis!

13.06.2010, 18:12

gottfried

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Ist das so richtig?

X² -> {1,4,9,... m2}
cX -> {c,2c,3c,..., mc}
X+Y -> {2,3,4,...,2m}
X-Y -> {1-m,2-m,...,m-1}
XY -> {ab|1≤a≤b≤m}
min(X;Y) -> {1,2,3,...,m}

Wie müsste man dann weiter bei b und c vorgehen?

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