kombinatorik komplizierte Textaufgabe

03.06.2010, 01:54	negomi60	Auf diesen Beitrag antworten »
kombinatorik komplizierte Textaufgabe Meine Frage: die Aufgabenstellung: 25 Reisende wechseln über die Grenze. Hiervon sind 20 ganz brave Touristen und 5 Schmuggler. Die Zöllner greifen beliebige vier Personen heraus auf der Suche nach Schmugglern. a) wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den vier herausgegriffenen Personen mindestens 1 Schmuggler ist? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter den vier herausgegriffenen Personen mindestens 3 Schmuggler sind?f Meine Ideen: a) Jeder fünfte von 25 Personen ist ein Schmuggler, die erste "chance" ist also 5/25. Ich würde das jetzt gerne einfach mal vier nehmen, weil es vier Chancen gibt, kann mir das Ergebnis 4/5 auch als plausibel vorstellen, wenn ich mir vorstelle, dass alle vier gleichzeitig rausgeholt werden. Mir spukt aber störend im Kopf rum, dass beim ersten "Ziehen" die Chance 5/25 ist, beim nächsten 4/24 usw. Es würden sich die Möglichkeiten addieren, das wäre dann 1/5 plus 4/24 dann noch 3/23 und 2/22. Diese zweite Variante ergibt keine sinnvollen Lösungen - was ist bei der Überlegung falsch? b) Zum Annähern an das Problem habe ich mir ein Baumdiagramm gezeichnet und erst mal überlegt, wie die Wahrscheinlichkeit ist dafür, dass alle 4 ausgewählten Personen Schmuggler sind. Das wäre 5/25 mal 4/24 mal 3/23 mal 2/22. Das ergibt 120 /303600 = 1/ 2530 oder 0,000395 % Nun berechne ich es, weil Kombination ohne Wiederholung, Reihenfolge irrelevant, mit dem Binominalkoeffizienten. Ich berechne also 25 über 4 und erhalte dann für alle überhaupt denkbaren Möglichkeiten 303600 durch 24 = 12650. Wenn ich diese 12650 dann durch 5 teile, kommt als Anzahl der Möglichkeiten, dass alle fünf Schmuggler sind, 2530 raus. Wäre ja okay, wenn ich wüsste, warum ich durch 5 teile - habe es nur so nach Gefühl mal probiert.... Um jetzt die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass mindestens drei von den vier ausgewählten Personen Schmuggler sind, habe ich keine sinnvolle Idee. Es muss weniger schwierig sein, drei Schmuggler bei den vier gezogenen Personen zu haben. Die sich ergebende Wahrscheinlichkeit muss also höher sein. Entweder muss also der Zähler grösser werden oder der Nenner kleiner. Ich habe hier eine abgeschriebene Formel, die ich überhaupt nicht peile - derjenige, der sie von der Tafel abgeschrieben hat, ahnt auch nicht, was es zu bedeutzen hat Im Zähler: Binominalkoeffizient 25 über 4 ( das verstehe ich noch) Im Nenner : Binominalkoefizient 5 über 1 ( siehe oben bei a, das ist gleiche Problem) mal Binominalkoeffizient 20 über 3. die 20 über 3 -- ich vermute, dass da was nicht stimmen kann - die 3 ist ja noch vielleicht erklärbar, aber die 20??? Bitte verweist mich nicht auf Wikepedia usw. -- ich habe mich sehr bemüht und viel Material gefunden und mir ausgedruckt, habe auch viele Aufgaben gelöst, aber die hier, da geht in meinem kopf alles durcheinander und ich habe das Gefühl, garnix mehr zu verstehen. Wahrscheinlich ist es ja garnicht schwer, aber komme nicht auf lösungsweg. negomi60
03.06.2010, 02:10	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Negomi, ich hab mal kurz reingesehen und weiss aus eigener Erfahrung, dass die Kombinatorik Kopfzerbrechen bereiten kann. Ich möchte erst einmal auf den Teil a) eingehen, überleg zu Beginn einmal wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, genau einen Schmugler bei 4 herausgeholten Personen zu haben. Beachte den Unterschied : "genau einen" und "mindestens einen".
03.06.2010, 04:48	negomi60	Auf diesen Beitrag antworten »
mindestens einer ist dann 4/5. genau einer? dann darf ich nur einen ziehen und alle anderen müssen brave Touristen sein. ich muss also eine geringere Wahrscheinlichkeit als für mindestens einer bekommen. Von 1/5 also alle die Möglichkeiten abziehen, in denen noch ein Schmuggler drin ist???? das wäre 5/25 minus 4/24 minus 3/23 minus 2/22. Oder ist dieses "genau einer" 5/25 mal 4/24 usw. Kommt mir beides merkwürdig vor. bin noch nicht schlauer für die gestellte frage... du wolltest mir sicherlich auf die sprünge helfen, ich habs aber nicht gerafft.. Bitte hilfe1 negomi 60
03.06.2010, 12:19	ObiWanKenobi	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil FaustFrankenstein nicht online ist, möchte ich gerne weiterhelfen. Wenn in der Aufgabenstellung steht "Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens ..." dann solten sofort alle Alarmglocken läuten, denn dann ist meißtens die Lösung über das Gegenereignis weitaus einfacher. So auch hier! Betrachte es so: a) Mindestens ein Schmuggler könnte heißen: 1 S. oder 2 S. oder 3 S. oder 4 S. Also P(1) + P(2) + P(3) + P(4) Mindestens ein Schmuggler bedeutet aber auch: NICHT KEIN Schmuggler Also 1 - P(0) b) hier ist der "direkte Weg" kürzer: P(3) + P(4) ist kürzer als 1 - (P(0) + P(1) + P(2)) Grundsätzlich mußt du beachten entlang der Pfade zu MULTIPLIZIEREN und dann die Ergebnisse zu ADDIEREN
03.06.2010, 14:55	negomi60	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt sicherlich aber über"Gegenereignis" wurde noch garnix gemacht, der Begriff fiel garnicht. Ist die Lösung für mindestens ein Schmuggler denn richtig mit 4/5? zu drei: wo kommt den bloss die 20 über drei her. Ist das "Gegenereignis" Aber wieso dann 20 - gegenereignis - 3 ?? Ach Leute, ich bin am verzweifeln. Ich hätte so gerechnet:
03.06.2010, 15:03	FaustFrankenstein	Auf diesen Beitrag antworten »
Selbstverständlich hat Meister ObiWan recht, indem er sagt, bei "mindestens" muss Du hellhörig werden und überlegen, ob es über die Gegenwahrscheinlichkeit leicht gelöst werden kann. Aber Da Du im Augenblick noch Schwierigkeiten hast, eine Wahrscheinlichkeit per se auszurechnen, gelingt es Dir auch nicht eine Gegenwahrscheinlichkeit auszurechnen. Ich hoffe Meister Kenobi stimmt mir zu. Deshalb möchte ich erst den etwas umständlichen Weg mit Dir gehen und deine Dir natürliche Denkungsart verfolgen, da Du, meiner Erfahrung nach, bei einer neuen Aufgabe wieder selbst denken musst und Du Dich dann deiner Denkungsart wieder bedienst, anstatt einer anderen, die Du zwar für eine Aufgabe einsiehst aber u.U. Dir nicht zu eigen machen konntest. Später siehst Du dann, wie der Weg über die Gegenwahrscheinlichkeit Dir immens viel Arbeit abnimmt. Ich hoffe deine Überlegungen richtig nachvollzogen zu haben und demonstriere sie Dir konsequent an dem Beispiel mit genau einem Schmuggler Du musst grundsätzlich zwei Ansätze unterscheiden, die beide zum selben Ergebnis führen: 1. Häufigkeitsansatz (ist keine präzise Formulierung) 2. reine Kombinatorik Der Häufigkeitsansatz ist die Art wie Du es Dir zuerst überlegt hast. Beachte im Folgenden den Unterschied zwischen einer Möglichkeit und der Wahrscheinlichkeit für diese Möglichkeit. Hierzu nur kurz ein Beispiel: Der Weihnachtsmann hat 3 Dinge A,B,C in seinem Sack; er zieht zwei Dinge aus dem Sack. Wir fragen uns wie gross die Wahrscheinlichkeit ist, darunter das Ding A zu finden. Die Möglichkeiten wie der Weihnachtsmann das Ding A ziehen kann, sind $\begin{eqnarray} (A , \bar A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\bar A , A) \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \bar A \end{eqnarray}$ "nicht A" bezeichnet, also B oder C. Die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray} (A , \bar A) \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} 1/3 \cdot 2/2 \end{eqnarray}$ . Die 1/3 für A aus A,B,C zu ziehen ist klar (falls nein, frag ruhig). So wir haben also A gezogen, im Sack sind noch B und C. Daher kommt jetzt die wichtige 2/2, denn nach dem Ziehen von A, ist die Wahrscheinlichkeit "nicht A" zu ziehen, gleich 1, denn wir können 2 Dinge aus einem Sack nehmen, der 2 Dinge enthält. Betrachten wir die Wahrscheinlichkeit für $\begin{eqnarray} (\bar A, A) \end{eqnarray}$ . Für "nicht A" zu ziehen, also B oder C aus A,B,C ist die Wahrscheinlichkeit 2/3. Im Sack ist jetzt noch entweder A,B oder A,C. Um nun A zu ziehen haben wir die Wahrscheinlichkeit 1/2. (Ein Ding aus einem Sack mit zwei Dingen). Also insgesamt haben wir für $\begin{eqnarray} (\bar A, A) \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} 2/3 \cdot 1/2 \end{eqnarray}$ (warum hier multipliziert wird, ist klar?). Und damit ist insgesamt die Wahrscheinlichkeit, dass der Weihnachtsmann das Ding A aus dem Sack zieht gleich der Wahrscheinlichkeit von $\begin{eqnarray} (A , \bar A) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (\bar A , A) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 1/3 \cdot 2/2 + 2/3 \cdot 1/2=2/3 \end{eqnarray}$ . (die Addition, ist ebenfalls klar?) Ok,nun zu den Schmugglern. Here we go! Wir wählen also 4 Personen aus den 25 Vorhandenen. Für einen Schmuggler auszuwählen, gibt es die Möglichkeit, dass wir ihn als Erstes wählen und dann 3 brave Touristen. Dann gibt es die Möglichkeit, dass wir zuerst einen braven Touristen auswählen, dann einen Schmuggler und dann zwei brave Touristen. Dann gibt es die Möglichkeit, dass wir zuerst zwei Touristen auswählen, dann einen Schmuggler und schliesslich einen Touristen. Und zum Schluss gibt es die Möglichkeit, dass wir erst drei Touristen auswählen und schliesslich einen Schmuggler. Gehen wir sukzessive vor, die Wahrscheinlichkeit zuerst einen Schmuggler auszuwählen und dann 3 Touristen ist $\begin{eqnarray} 5/25 \cdot 20/24 \cdot 19/23 \cdot 18/22 \end{eqnarray}$ Klar? Die Wahrscheinlichkeit für zuerst einen Touristen, dann einen Schmuggler und dann zwei Touristen ist $\begin{eqnarray} 20/25 \cdot 5/24 \cdot 19/23 \cdot 18/22 \end{eqnarray}$ Fällt Dir auf das beide Ergebnisse das selbe sind? Also $\begin{eqnarray} \frac{5 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22} \end{eqnarray}$ Du siehst schnell, dass die anderen beiden Möglichkeiten auch das selbe Ergebnis liefern. So, hier kannst Du deine 4, die Du im Kopf hattest, anbringen, denn die Wahrscheinlichkeit für genau einen Schmuggler ist $\begin{eqnarray} \frac{4 \cdot 5 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18}{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22} \end{eqnarray}$ Ist das soweit verständlich? Falls nein, frag ruhig. Das entspricht also dem "Häufigkeitsansatz" den Du intuitiv verfolgt hast. Das Ganze kann mit der Kombinatorik ebenso gelöst werden, es handelt sich hier um Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachten der Reihenfolge. Ohne Zurücklegen ist klar, denn wir stellen ja keine der Personen wieder zurück in die Reisegruppe. Ohne Beachten der Reihenfolge, deshalb, weil, jetzt kommts, wir keine Rücksicht darauf nehmen, ob wir den Schmuggler zuerst, als zweites, drittes oder viertes ziehen... Das steht erst einmal im Kontrast zu dem (abzählenden) Ansatz von oben. Über diesen Punkt solltest Du nachdenken, aber zuerst hier das Ergebnis, damit Du siehst,dass Du damit auf das selbe Resultat kommst, $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 3 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 25 \\ 4 \end{pmatrix}}=\frac{\frac{5!}{4!1!} \cdot \frac{20!}{17!3!}} { \frac {25!}{21!4!}}=\frac{5!20!21!4!}{4!17!3!25!}=\frac{5!20!}{3!17!25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22}=\frac{5 \cdot 4 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 }{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22} \end{eqnarray}$ Ist Dir klar, wie $\begin{eqnarray} \frac{\begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 3 \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 25 \\ 4 \end{pmatrix}} \end{eqnarray}$ zustande kommt? In Kürze, die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} =\frac{Anzahl-gesuchter-Moeglichkeiten}{Anzahl-aller-Moeglichkeiten} \end{eqnarray}$ Die Anzahl aller Möglichkeiten aus 25 Personen 4 zu ziehen, ohne Zurücklegen und ohne Reihenfolge ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 25 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Die Anzahl der gesuchten Möglichkeiten aus 5 Schmugglern 1 auszuwählen UND 3 Touristen aus den restlichen 20 Personen ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 20 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . So, verdau das mal
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04.06.2010, 00:54	negomi60	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich beisse noch dran rum. Dachte ja, ich hätte es begriffen, war sogar überzeugt davon. Habe dann versucht, es mit anderen Beispielen zu rechnen, kam aber nicht auf richtige Ergebnisse ( habe kleine glatte Zahlen genommen, wo man es schnell erkennen kann, ob es stimmt) aber mache jetzt auch banale Rechenfehler - ist vielleicht doch schon etwas für klares Denken. Ich werde weiter dran rumknabbern ( ist ja auch nicht nur ziemlich anstrengend, sondern auch spannend ) und melde mich wieder. Vielen Dank für die ausführliche Erklärung, werde weiter kämpfen. werde mich auch wieder melden, wenn ich dies erstmal verdaut habe. Danke für die Hilfe, ich werde weiter dran kauen. negomi60 I

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