Kreisbogen - Sehne - Radius

03.06.2010, 09:45	statiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Kreisbogen - Sehne - Radius Hallo, ich möchte mir den Radius eines Kreises aus einer Sehne und ihrem zugehörigen Bogemass bestimmen. Ich kenne den Zusammenhang: $\begin{eqnarray} l = 2 \cdot r \cdot \sin(\frac{b}{2 \cdot r} ) \end{eqnarray}$ Wobei l die Länge der Sehne ist und b die Länge des Bogens. Wie kann man diese Formel nach dem Radius auflösen? Vielen Dank schon mal
03.06.2010, 12:14	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese Gleichung läßt sich nicht explizit lösen. Um eine Näherungslösung zu bekommen, könnte man folgendermaßen vorgehen: Zunächst substituiert man $\begin{eqnarray} t = \frac{b}{2r} \end{eqnarray}$ und erhält so: $\begin{eqnarray} b \cdot \frac{\sin t}{t} - l = 0 \end{eqnarray}$ Man ersetzt nun $\begin{eqnarray} \sin t \end{eqnarray}$ durch den Anfang der Taylorreihe: $\begin{eqnarray} \sin t \approx t - \frac{1}{6} t^3 \end{eqnarray}$ und löst die Gleichung $\begin{eqnarray} b \cdot \left( 1 - \frac{1}{6} t^2 \right) - l = 0 \end{eqnarray}$ Daraus erhält man $\begin{eqnarray} \text{(1)} \ \ \ r \approx \frac{b}{2 \cdot \sqrt{6 \left( 1 - \frac{l}{b} \right)}} \end{eqnarray}$ Eine bessere Näherung ergibt sich, wenn man in der Taylorreihe ein Glied mehr nimmt: $\begin{eqnarray} \sin t \approx t - \frac{1}{6} t^3 + \frac{1}{120} t^5 \end{eqnarray}$ Man löst also die Gleichung $\begin{eqnarray} b \cdot \left( 1 - \frac{1}{6} t^2 + \frac{1}{120} t^4 \right) - l = 0 \end{eqnarray}$ Damit bekommt man $\begin{eqnarray} \text{(2)} \ \ \ r \approx \frac{b}{2 \cdot \sqrt{10 - \sqrt{20 \left( 6 \frac{l}{b} - 1 \right)}}} \end{eqnarray}$ Man sollte die Formeln auf jeden Fall nur für Bögen, die kleiner als ein Halbkreis sind, anwenden. Die Näherungen werden umso genauer, je kleiner der Bogen ist. Tests mit der zweiten Formel liefern recht gute Werte. Jetzt entscheide selbst, ob dir das genau genug ist.
03.06.2010, 14:12	statiker	Auf diesen Beitrag antworten »
Na das doch mal ne prompte Hilfe. Passt genau. Der Fehler mit dem zweiten Glied ist schon sehr klein. Hab gleich mal ne Grafik mit angehängt - blau sollte die richtige Lösung sein, gelb mit einem Glied und lila dann die mit zwei Gliedern. Danke vielmals

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