Hauptachsentransformation

03.06.2010, 16:18	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
Hauptachsentransformation Hi, ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht mehr weiterkomme... Sei $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & 2 & \frac{1}{\sqrt{2} } \\ -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b=\begin{pmatrix} -2+6\sqrt{2} \\ 2+6\sqrt{2} \\ -2\sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ c=20. Von welchem Flächentyp ist die Lösungsmenge Q der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray} x^{T}Ax+b^{T}x+c=0 \end{eqnarray}$ ? (i) Die EW der Matrix A sind $\begin{eqnarray} \lambda_ {1}=3, \lambda_ {2}=2, \lambda _{3}=1 \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie die zugehörige normierten EV (ii) Geben Sie die orth. Matrix C der Hauptachsentransformation an und transformieren Sie die lineraren Terme der Kegelschnittgleichung. (iii) Geben Sie den Kegelschnitt Q in Hauptachsen-/Normalform an. Welche Längen haben die Halbachsen von Q? MEIN ANSATZ: die Gleichung $\begin{eqnarray} x^{T}Ax+b^{T}x+c=0 \end{eqnarray}$ ergibt $\begin{eqnarray} 2x_{1}^{2}+2x_{2}^{2}+2x_{3}^{2}-\sqrt{2}x_{1} x_{3}+\sqrt{2}x_{1} x_{3}-(2+6\sqrt{2})x_{1}+(2+6\sqrt{2})x_{2}-2\sqrt{2}x_{3}+20=0 \end{eqnarray}$ Die Berechnung der EV ergibt: Für $\begin{eqnarray} \lambda_{1}=3: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1}=-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3} ; x_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3} ; x_{3}= beliebig \end{eqnarray}$ wir wählen: $\begin{eqnarray} x_{3}=\sqrt{2} \Rightarrow x_{1}=-1; x_{2}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow EV_{1}=\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \lambda_{2}=2: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1}=x_{2} ; x_{3}=0 \end{eqnarray}$ wir wählen: $\begin{eqnarray} x_{1}=1 \Rightarrow x_{2}=1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow EV_{2}=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Für $\begin{eqnarray} \lambda_{3}=1: \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3} ; x_{2}=-\frac{1}{\sqrt{2}}x_{3} ; x_{3}= beliebig \end{eqnarray}$ wir wählen: $\begin{eqnarray} x_{3}=\sqrt{2} \Rightarrow x_{1}=1; x_{2}=-1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow EV_{3}=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ normieren der EV ergibt: $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_{1}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_{2}=\frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\0 \end{pmatrix}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} \sqrt{2} \\ \sqrt{2} \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow v_{3}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun erhält man die orth. Matrix C: $\begin{eqnarray} \Rightarrow C=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1& 1\\1& 1 &-1 \\ \sqrt{2}& 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und ihre Transpondierte: $\begin{eqnarray} \Rightarrow C^{T}=\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 1& \sqrt{2}\\1& 1 &0 \\ 1 & -1 & \sqrt{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnung von A': $\begin{eqnarray} C^{T}AC=A^{'}=\begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Berechnung von b': $\begin{eqnarray} b^{'}=C^{T}b=\begin{pmatrix} 0 \\ 6\sqrt{2} \\ -4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x^{'})^{T}A^{'}x^{'}+(b^{'})^{T}x^{'}+c=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow 3(x_{1}^{'})^{2}+(x_{2}^{'}+3\sqrt{2})^{2} +(x_{3}^{'}-2)^{2}+6=0 \end{eqnarray}$ Substituieren: $\begin{eqnarray} z_{1}=x_{1}^{'}; z_{2}=x_{2}^{'}+3\sqrt{2}; z_{3}=x_{3}^{'}-2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \frac{z_{1}^{2} }{(\sqrt{2})^{2}} +\frac{z_{2}^{2} }{(\sqrt{6})^{2}} +\frac{z_{3}^{2} }{(\sqrt{6})^{2}} +1=0 \end{eqnarray}$ (Habe die Formel Gleich durch 6 geteilt und dann die einzelnen Terme so umgeschrieben, dass diese den Normalenform der Quadriken ergeben: Die Formel ist eine leere Menge. Meine Frage: Wie berechne ich (iii) ? Was ist der Ansatz, ich meine es ist doch eine Leere Menge... Thx für die Hilfe!
04.06.2010, 15:47	majorpain	Auf diesen Beitrag antworten »
ich brauche bitte einen ansatz für (iii)

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