Gibt es so eine Funktion

03.06.2010, 17:06

9mb0

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es so eine Funktion

Hallo,

meine Frage lautet:

Gibt es eine Funktion mit folgenden Bedingungen.

$\begin{eqnarray*} f \in C^1(\mathbb R^2,\mathbb R)f(0, 0) = f(0, 2) = f(1, 1) = 0 und Df(x,y)\neq (0,0) \forall (x,y) \in \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

ich sage nein, wenn ich es mir so überlege, wüsste auch kein Beispiel das ich konstruieren könnte für die die Bedingungen gelten.

Meine Bitte wäre jetzt, dass mir jemand einen Hinweis gibt, wie ich das am Besten begründen kann.

MfG

9mb0

03.06.2010, 19:50

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hoffe ich sage jetzt nichts falsches, aber das erste was mir dazu einfällt ist der Mittelwertsatz, hier in einem Spezialfall... Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.06.2010, 20:10

9mb0

Auf diesen Beitrag antworten »

ja an den hab ich auch schon gedacht, aber ich weiß nicht so recht wie ich es damit zeigen soll...

03.06.2010, 20:14

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du weißt doch zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(0,0) = f(0,2) \end{eqnarray*}$ . Was gilt dann nach dem MWS für einen Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ auf der Stecke zwischen $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0,2) \end{eqnarray*}$ ?

03.06.2010, 20:25

9mb0

Auf diesen Beitrag antworten »

naja ich würde sagen, dass irgend ein punkt auf der Strecke zwischen $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0,2) \end{eqnarray*}$ welche beide 0 sind

nach $\begin{eqnarray*} f(0,0)-f(0,2)=0=f'(c)*[(0,0)-(0,2)] \end{eqnarray*}$ die Steigung 0 haben müsste. es müsste also ein c geben für das $\begin{eqnarray*} f'(c)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

03.06.2010, 20:52

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Deinen ersten Satz verstehe ich nicht so ganz?

Was du dann schreibst sieht gut aus, nur die Schreibweise $\begin{eqnarray*} f'(c) \end{eqnarray*}$ ist nicht wirklich sauber, bedenke, dass wir vom Mehrdimensionalen reden.

Hast du denn bemerkt, dass du jetzt eigentlich fertig bist?

Anzeige

03.06.2010, 21:17

9mb0

Auf diesen Beitrag antworten »

ja stimmt der satz is nicht wirklich deutsch^^

ja gut hm ich weiß nicht, warum ich damit nicht glücklich bin, hatte genau das schon aufgeschrieben. was ich immer gedacht habe, is das ich nicht auf einer geraden direkt von f(0,0) nach f(0,2) gehen muss sondern halt irgendwie. aber im endeffekt wird ja gefordert dases für alle x,y gelten muss und wenn ich zeige das es für irgend eins nicht gilt reicht das ja.

dankeschön smile

smile

04.06.2010, 11:41

GastMathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst den MWS nicht einfach im mehrdimensionalen benutzen, da das ein eindimensionaler Satz ist, der im mehrdimensionalen falsch ist, wie man an deinem Beispiel sieht.

Eine solche Funktion existiert nämlich sehr wohl.

04.06.2010, 11:57

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

So eine Funktion existiert nicht. 9mb0 hat schon recht (wobei ich mir noch nicht sicher bin, dass er zu 100 % verstanden hat, warum es sie nicht gibt), und Dunkit ist ja auch kein Anfänger. Der MWS der Differentialrechnung gilt selbstverständlich auch im Mehrdimensionalen, wie man (z. B. bei Wiki) ja auch nachlesen kann.

Aber wenn du eine solche Funktion präsentieren kannst: Dann mach es doch mal. Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.06.2010, 12:12

GastMathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion muss noch leicht abgewanndelt werden, aber man betrachte die Funktion
[latex]
F:\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow sin(x_1)+cos(x_2)
[\latex]

Diese Funktion nimmt zum Beispiel unendich oft den Wert [latex]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}[\latex] an, dennoch ist

[latex]
DF(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})=(cos(x_1),-sin(x_2))\neq(0,0).
[\latex]

04.06.2010, 12:18

GastMathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist was mit Latex schiefgelaufen, es sollte so aussehen
$\begin{eqnarray*} F:\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow sin(x_1)+cos(x_2) \end{eqnarray*}$

sowie

$\begin{eqnarray*} DF(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})=(cos(x_1),-sin(x_2))\neq(0,0) \end{eqnarray*}$

PS: Bei Wikipedia steht es richtig, denn da ist von einem Skalarprodukt die Rede, aber ein Skalarprodukt kann auch 0 ergeben, obwohl beide Faktoren ungleich 0 sind.

04.06.2010, 12:19

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von GastMathematiker
Die Funktion muss noch leicht abgewanndelt werden, aber man betrachte die Funktion
$\begin{eqnarray*} <br /> F:\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \mapsto \sin(x_1) + \cos(x_2)<br /> \end{eqnarray*}$

Diese Funktion nimmt zum Beispiel unendich oft den Wert $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an, dennoch ist

$\begin{eqnarray*} <br /> DF \left(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}\right) = (\cos(x_1), -\sin(x_2)) \neq (0,0).<br /> \end{eqnarray*}$

Diese Funktion soll den Wert $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ annehmen? Glaube ich nicht ...

Ausserdem gilt nicht F(0,0) = 0.

Edit: Wir sprechen hier auch von Skalarprodukten, und da bin ich mir nicht sicher, ob 9mb0 das auch bis ins Letzte verstanden hat.

04.06.2010, 12:24

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Der MWS ist im Mehrdimensionalen immernoch richtig, wenn man die beiden betrachteten Punkte (Anfangs- und Endpunkt im Eindimensionalen) durch eine Gerade verbinden kann. Das folgt sogar ziemlich direkt aus dem MWS in einer Dimension. Siehe Wikipedia.

EDIT: Ich sehe aber deinen Einwand bzgl des Skalarproduktes ein, sollte man sich im konkreten Fall nochmal mit auseinandersetzen.

04.06.2010, 12:24

GastMathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mr. Brightside

Diese Funktion soll den Wert $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ annehmen? Glaube ich nicht ...

Ausserdem gilt nicht F(0,0) = 0.

Hast recht, da war ich zu schnell beim tippen, es sollte 1 und 0 sein.

Wie gesagt, man muss diese Funktion noch etwas verschieben( und strecken). Der Beweis lief aber sarauf hinaus, dass aus $\begin{eqnarray*} F(x)=F(y)[\latex] für ein [latex]x\neq y \in\R^2 \end{eqnarray*}$ folgt, dass ein z existiert mit $\begin{eqnarray*} DF(z)=0 \end{eqnarray*}$ und dass ist hier eindeutig nicht der Fall.

04.06.2010, 12:31

GastMathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Und hier ist nun eine solche Funktion

$\begin{eqnarray*} f:\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \rightarrow sin(2\pi x_1)+cos(2\pi x_2)-1 \end{eqnarray*}$

Das die Funktion stetig diffbar ist, ist hoffentlich klar. Weiter ist

$\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix})=0+1-1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix})=0+1-1=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix})=0+1-1=0 \end{eqnarray*}$

aber es ist auch

$\begin{eqnarray*} DF(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})=(2\pi cos(2\pi x_1),-2\pi sin(2\pi x_2))\neq(0,0) \end{eqnarray*}$

04.06.2010, 12:35

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich sehe gerade ein, dass mein Tip zumindest nicht so schnell zum Ziel führt wie ich dachte, wohl vielleicht auch garnicht, wenn das Gegenbeispiel korrekt ist.
Mein Plan war gewesen, mehrere Gleichung herzuleiten, die ergeben sollten, dass alle Einträge im Gradienten gleich 0 sind. Das scheint aber irgendwie nicht sauber zu funktionieren... Sorry!

04.06.2010, 12:39

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

OK, nun verstehe ich es auch.

Zitat:

Original von 9mb0
naja ich würde sagen, dass irgend ein punkt auf der Strecke zwischen $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0,2) \end{eqnarray*}$ welche beide 0 sind

nach $\begin{eqnarray*} f(0,0)-f(0,2)=0=f'(c)*[(0,0)-(0,2)] \end{eqnarray*}$ die Steigung 0 haben müsste. es müsste also ein c geben für das $\begin{eqnarray*} f'(c)=0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Hieraus kann man ja nur folgern, dass $\begin{eqnarray*} f_y(x,y) \end{eqnarray*}$ gleich Null sein muss. Aber $\begin{eqnarray*} f_x(x,y) \end{eqnarray*}$ kann ja noch beliebig sein.

Vielen Dank für deine Erläuterungen, GastMathematiker!

04.06.2010, 12:58

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Will nicht stören, aber:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} DF(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})=(2\pi cos(2\pi x_1),-2\pi sin(2\pi x_2))\neq(0,0) \end{eqnarray*}$

Ich sehe ungefähr abzählbar viele Punkte, für welche gilt: DF(x,y) = (0,0) ...

z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

04.06.2010, 13:03

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

Also nehme man die Verbindungsstrecke zwischen (0,2) und (1,1) und argumentiere wie oben?

04.06.2010, 13:19

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich checks grad auch nichtmehr...
Das kann doch schon (0,0) werden, es muss ja nicht $\begin{eqnarray*} x_1 = x_2 \end{eqnarray*}$ gelten. Kann aber auch sein, dass ich heute einfach nur zu dumm bin xD
Die Funktion hat ja auch offensichtlich Extrema, also müsste der Gradient doch auch verschwinden?! Oder verstehen wir das Gegenbeispiel bzw. die Aufgabe nicht?

04.06.2010, 14:05

GastMathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von gonnabphd
Will nicht stören, aber:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} DF(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})=(2\pi cos(2\pi x_1),-2\pi sin(2\pi x_2))\neq(0,0) \end{eqnarray*}$

Ich sehe ungefähr abzählbar viele Punkte, für welche gilt: DF(x,y) = (0,0) ...

z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

Ja stimmt, ich hatte das Standartbeispiel für eine Funktion R²->R im Kopf und diese falsch wiedergegeben und viel zu schnell gepostet (da ich wusste das so eine Fkt existiert), sorry. Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Es gibt eine solche Funktion aber trotzdem. Betrachtet mal
$\begin{eqnarray*} F:\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow x(y^2+1)+2y(y-2) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} DF(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix})=(y^2+1,2xy+4y-4) \end{eqnarray*}$ Das ist sicherlich ungleich (0,0), da $\begin{eqnarray*} y^2+1\neq (0,0) \end{eqnarray*}$

Es ist aber $\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix})=0(0+1)+2\cdot 0(0-2)=0+0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix})=0(4+1)+2\cdot 2(2-2)=0+0=0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix})=1(1+1)+2\cdot 1(1-2)=1-1=0 \end{eqnarray*}$
Freude

Freude

Ab jetzt werde ich mir vornehmen, meine Antwort nochmal komplett zu prüfen. Big Laugh

Big Laugh

04.06.2010, 14:09

Dunkit

Auf diesen Beitrag antworten »

Macht nix, scheint heute einfach kein Tag für Mathematik zu sein Big Laugh

Big Laugh

Sieht jetzt zumindest richtig aus, auf die Gefahr hin, nochmal falsch zu liegen Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.06.2010, 14:09

GastMathematiker

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von GastMathematiker

Zitat:

Original von gonnabphd
Will nicht stören, aber:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} DF(\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix})=(2\pi cos(2\pi x_1),-2\pi sin(2\pi x_2))\neq(0,0) \end{eqnarray*}$

Ich sehe ungefähr abzählbar viele Punkte, für welche gilt: DF(x,y) = (0,0) ...

z.B. $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wink

Wink

Ja stimmt, ich hatte das Standartbeispiel für eine Funktion R²->R im Kopf und diese falsch wiedergegeben und viel zu schnell gepostet (da ich wusste das so eine Fkt existiert), sorry. Hammer

Hammer

Hammer

Hammer

Es gibt eine solche Funktion aber trotzdem. Betrachtet mal
$\begin{eqnarray*} F:\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \rightarrow x(y^2+1)+2y(y-2) \end{eqnarray*}$

Es ist $\begin{eqnarray*} DF(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix})=(y^2+1,2xy+4y-4) \end{eqnarray*}$ Das ist sicherlich ungleich (0,0), da $\begin{eqnarray*} y^2+1\neq (0,0) \end{eqnarray*}$

Es ist aber $\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix})=0(0+1)+2\cdot 0(0-2)=0+0=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix})=0(4+1)+2\cdot 2(2-2)=0+0=0 \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix})=1(1+1)+2\cdot 1(1-2)=1-1=0 \end{eqnarray*}$
Freude

Freude

Ab jetzt werde ich mir vornehmen, meine Antwort nochmal komplett zu prüfen. Big Laugh

Big Laugh

Mist, doch 2 Tippfehler, ich hab heut Nacht einfach zu wenig geschlafen. böse

böse

Es soll $\begin{eqnarray*} y^2+1\neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} F(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix})=1(1+1)+2\cdot 1(1-2)=2+(-2)=0 \end{eqnarray*}$ heißen

04.06.2010, 14:11

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Schönes Beispiel. Freude

Freude

04.06.2010, 17:18

9mb0

Auf diesen Beitrag antworten »

hey, danke euch allen das ihr euch noch so ausgiebig mit meinem Problem beschäftigt habt. ich hatte das ja gestern auch schon "angedeutet" das mir das mit dem MWS irgendwie nicht ganz geheuer ist. wie ihr richtig vermutet ist mir der Zusammenhang zum Skalarprodukt nicht wirklich klar, ich versuche das aufzuarbeiten und vielen Dank für das Beispiel!

MfG

9mb0

04.06.2010, 19:53

Julian@mb

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier nochmal in einfach:

f(x,y)=x+y(y-2)

f(0,0) = 0 + 0(-2) = 0
f(0,2) = 0 + 2(0) = 0
f(1,1) = 1 + 1(-1) = 1-1 = 0

Df(x,y) =(1, 2y-2) != (0, 0) für alle x,y aus R

Herzuleiten beispielsweise über den Ansatz f(x,y) = x + g(y)

Damit ist die erste Komponente von Df bereits für alle x,y ungleich 0.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »