Abbildungsmatrix, Smith-Form

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Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildungsmatrix, Smith-Form
Hallo, und wieder mal hänge ich ein wenig fest:









Wir haben das in der VL nur am Beispiel einer quadratischen Matrix gesehen; eine Matrix S in Smith-Form wäre also von dieser Form hier?



Sind diese Diagonaleinträge dann nicht auch die Elementarteiler? Soll ich H einfach durch elementare Zeilenumformungen (bzw. Spaltenumformungen) in eine solche Smith-Form überführen? Und wie finde ich zwei Basen, so dass S gerade die Abbildungsmaxtrix bezüglich dieser beiden Basen ist?

Ich könnte da schon den ein oder anderen Hinweis gebrauchen. smile
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, alles richtig beschrieben.
Die Smith-Form findest du, indem du den Gauß-Algorithmus anwendest. Dabei musst du jedoch folgendes beachten:
1) Du darfst (und musst) auf Zeilen und Spalten unabhängig voneinander operieren.
2) Deine Umformungen (also die Umformungsmatrizen) müssen über dem Ring invertierbar sein.
3) ist euklidisch, also nutze , um über dem Ring invertierbare Umformungen zu finden.
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Die entsprechenden Basen findest du dabei, indem du die Umformungsmatrizen für Zeilen- und Spaltentransformationen mitnimmst.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schon mal, dann werde ich das einfach mal so versuchen. Zwei Fragen aber noch:

Zitat:
Original von Manus
Die entsprechenden Basen findest du dabei, indem du die Umformungsmatrizen für Zeilen- und Spaltentransformationen mitnimmst.


Wie genau ist das gemeint? Unser Prof hat da in einem Beispiel die Einheitsmatrizen an die Matrix drangeklatscht und... aber vielleicht einfach mal ein Bild dazu:

[attach]15018[/attach]

Ein Verfahren, das ich zum Beispiel noch vom Invertieren von Matrizen kenne. Hier geht das dann ähnlich?

Und wie sieht überhaupt so eine Basis von beispielsweise aus? Für den Vektorraum von Polynomen vom Grad n waren die Basis ja einfach die Monome



Hier ist ja irgendwie keine Dimension gegeben. Kann man da eine Basis explizit angeben? Wie sähe zum Beispiel eine etwaige kanonische Basis überhaupt aus?

Schon blöd, wenn man da noch nicht so den Überblick hat... verwirrt
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Standardbasis besteht einfach aus den normalen Einheitsvektoren.

Nennen wir die Standardbasis mal E.

Was du dann von links und rechts an deine Matrix zur Umformung dranmultipliziert hast sind ja letztlich die Matrizen:

(Das ist die Matrix von rechts) Das bedeutet hier erhälst du die entsprechende Basis einfach aus den Spalten der Matrix.

und

(Das ist die Matrix von links) Um hier also die gewünschte Basis zu sehen, musst du invertieren und kannst dann die Spalten ablesen.


Das funktioniert, weil du letztlich einfach nur Basiswechsel auf beiden Seiten durchführst. (Wie Oli bereits erwähnt hast musst du dabei bloß aufpassen, dass du nur über R invertierbare Umformungen machst, da du dich ja in einem Modul und nicht in einem Vektorraum befindest)
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix, Smith-Form
Ich habe jetzt einfach mal stur die Einheitsmatrizen dran geklatscht (links an die Matrix die 3x3 Einheitsmatrix und unter die Matrix die 2x2 Einheitsmatrix) und einfach mal drauf los gerechnet.

Der Prof hat im Skript bisher nur zwei Umformungstypen eingeführt, zum einen das Vertauschen von Zeilen/Spalten und zum anderen das Addieren des q-fachen der i-ten Zeile/Spalte zur j-ten Zeile/Spalte. Den dritten Typ, also einfach eine Zeile/Spalte mit irgendwas zu multiplizieren, hat er erstmal weggelassen. Darum habe ich damit jetzt auch nicht arbeiten wollen (obwohl man das aus der linearen Algebra ja durchaus kennt).

Bei der Frage nach der Invertierbarkeit: Das Vertauschen von Zeilen/Spalten ist doch unproblematisch, oder? Und wenn ich das q-fache einer Zeile/Spalte zu einer andern Zeile/Spalte addiere, da kann's doch eigentlich auch keine Schwierigkeiten geben, oder? Wenn ich jetzt einfach eine Zeile mit irgendwas multiplizieren würde, wäre ich da schon skeptischer. Kann jemand ein bisschen was dazu sagen?

Wie auch immer, gelandet bin ich jetzt erstmal hier:



Gaußalgorithmus ist immer ein bisschen blöde hier im Forum, vielleicht ist ja trotzdem jemand so nett, sich das mal anzuschauen. Bis hierhin habe ich nur die beiden angesprochenen Typen von Umformungen verwendet. Umformungen wie das t³-fache der ersten Zeile zur zweiten hinzu addieren und sowas ist doch okay, oder? Ausgangsschritt waren zwei Vertauschungen (einmal die Spalten und einmal zwei Zeilen):



Jetzt das (t-5)-fache der ersten Spalte von der zweiten abziehen liefert:



Mit der ersten Zeile würde ich jetzt die Einträge in der ersten Spalte alle eliminieren:



Und jetzt eben analog noch den einen Eintrag in der zweiten Spalte rauswerfen...

Ist das Käse oder ist da irgendwas richtig dran? Augenzwinkern

Kann ich jetzt in der dritten Zeile (gut, da muss ich jetzt noch einmal die Zeilen tauschen) einfach durch 5 teilen? Sollte doch ein invertierbarer Schritt sein, oder? Ich bin doch in Q...
Habe ich dann die beiden Elemtarteiler gefunden? In jedem Fall teilt t ja die (t²-5t) ... ?
 
 
Barbie Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildungsmatrix, Smith-Form
Du studierst wohl in Oldenburg, was ? Augenzwinkern Sitze grad an der gleichen Aufgabe.
Müsste eigentlich richtig sein, soweit du es hier beschrieben hast.
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