Minimaler Umfang und maximaler Flächeninhalt II |
| 03.06.2010, 19:38 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Minimaler Umfang und maximaler Flächeninhalt II Der russiche Dichter Tolstoi erzählt die Geschichte des Bauern Pachom, der für 1000 Rubel jenes Land erhalten solllte, das er an einem Tag umwandern konnte. Bei Sonnenaufgang brach er von einem Hügel aus auf,nach 18km bog er im rechten WInkel nach links ab, nach 8km wiederum im rechten winkel nach links. Nachdem er 12km in die neue Richtung gewandert war, packte ihn die angst,nicht rechtzeitig zurückzu kommen. Er lief nun geradewegs auf den Hügel zu, erreichte ihn mit lezter Kraft bei Sonnenuntergang und brach tot zusammen." Im folgenden sollst du nun überlegen, ob sich Pachom dieses Schicksal hätte ersparen können, wenn er sich vorher einige Gedanken über seinen Weg gemacht hätte. 1) Erstelle für die Umfangslängenfunktion "Seitenlänge a? Umfang u" für Rechtecke,deren Flächeninhalt gleich dem von Pachoms Land ist, eine Wertetabelle und zeichne den GRaphen der Funktionen. Gibt es ein Rechteck mit kleistem Umfang? Meine Ideen: bitte hilft mir, wie fang ich an? edit: Habe das II an den Titel gehängt um ihn von dem anderen Thread gleichen Namens zu unterscheiden. LG sulo |
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| 03.06.2010, 19:41 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Minimaler Umfang und maximaler Flächeninhalt Indem du diesen Thread mal durchliest. 
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| 03.06.2010, 19:46 | pattex2222 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
das ist mein freund, er ist in meiner gruppe aber ich weiß nicht wie ich jetzt diese Aufgabe lösen soll ich die angegeben hab... da finde ich nix dazu mfg |
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| 03.06.2010, 19:50 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie groß ist denn der Flächeninhalt von Pachoms Land? |
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| 03.06.2010, 19:55 | pattex222222 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ARechteck= 96km² ADreieck=24km² das sind dann zusammen Flächeninhalt 120km² |
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| 03.06.2010, 20:04 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich denke, du und kostenfels solltet diese Frage in dem anderen Thread klären. Es ist mir einfach zu aufwendig, das alles noch einmal aufzurollen und nachzurechnen. Wenn ihr sowieso in einer Gruppe seid, dann löst die Aufgabe Nr. 7) im anderen, oben verlinkten Thread. Wenn du Fragen dazu hast, stelle sie bitte im anderen Thread. Dir wird dort geantwortet werden. Es macht keinen Sinn, zeitgleich die gleiche Aufgabe in zwei verschiedenen Threads zu behandeln. Vielen Dank für dein Verständnis.
edit: Ich habe eben festgestellt, dass im anderen Thread die Aufgabe 7) nicht bearbeitet wird. Deswegen besprechen wir sie jetzt doch hier. Gut, die Fläche ist also 120 km. Es soll eine Funktion für den Umfang aufgestellt werden. Was wir also brauchen, sind die Formeln für die Fläche und den Umfang. Hast du eine Idee? |
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| 03.06.2010, 20:26 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Umfang eines Rechtecks ---> 2a+2b ? |
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| 03.06.2010, 20:29 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau: U = 2a + 2b 
Und die Fläche? |
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| 03.06.2010, 20:30 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
A = a · b |
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| 03.06.2010, 20:36 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Richtig.
(Frage: wie hast du das Malzeichen so schön hinbekommen? Ich habe immer so große Sternchen...) Gut, wir haben alles beisammen. Jetzt muss also eine Funktion für den Umfang erstellt werden nur mit der Variablen a. Dazu werden wir die Flächenformel verwenden, weil wir ja die Fläche kennen. Du musst die Formel nach b umstellen. Kannst du das? |
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| 03.06.2010, 20:39 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie stell ich die formel denn um? Also a·b=120 ist ja die formel und die soll ich jetzt zu b umstellen das heißt: a·b=120 = b=120 durch a? besser gesagt a·b=120 <=> b=120/a meinen Sie das so? |
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| 03.06.2010, 20:45 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Genau so.
Btw: Wir duzen uns alle hier.
Und: Wie schreibst du das Malzeichen? Wüsste ich wirklich gerne... Zur Aufgabe: Jetzt musst du zurück in die Formel für den Umfang und dort das b durch deinen gefundenen Ausdruck mit a ersetzen. |
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| 03.06.2010, 20:48 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm abjetzt weiß ich nicht was ich machen soll.. versteh ich nicht 
zum mal zeichen ich hab eine text datei da stehen formeln drin und sowar das malzeichen drin ich weiß nicht direkt mit welcher tastenkombiation man es macht aber das ist es "·" |
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| 03.06.2010, 20:51 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also, du hast erkannt:
und
Jetzt ersetze das b im zweiten Zitat durch den Ausdruck im ersten Zitat.
(Gibst du eine Tastenkombination ein? Jedesmal für das Malzeichen? ) |
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| 03.06.2010, 20:54 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
U=2a+120/a <- ist es das? aber wie erklär ich mir das? weil es ist eine mündliche klausur wir würde ich das jetzt erklären.. zum mal zeichen: jedes mal wenn ich es brauch kopier ich es mir raus mit Strg+C und füg es ein wenn ich es wo brauch. |
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| 03.06.2010, 21:05 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
U = 2a + 2b b=120/a => U = 2a + 2(120/a) so ist es besser. Jetzt noch die Klammer auflösen.
Was meinst du mit erklären? Mit der Gleichung kannst du bei einem festen Flächeninhalt von 120 km den Umfang für jedes beliebige a ausrechnen. Jetzt muss die Wertetabelle aufgestellt werden. |
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| 03.06.2010, 21:08 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
U = 2a + 2(120/a) so ist ja jetzt die formel, daraus wird U = 2a +240/a <- das? hab also 2 x 120 und dann kllammer weg und wie fang ich jetzt eine wertetabelle an? |
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| 03.06.2010, 21:15 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Deine Funktionsgleichung ist richtig. Nochmal vollständig: U(a) = 2a +240/a Jetzt suchst du dir verschiedene Werte für a und setzt sie ein und rechnest U aus. Bsp: a = 1 .... U = 2·1 + 240:1 = 2 + 240 = 242 Also a = 1 und U = 242 usw. usf. (Ich habe jetzt auch einen schönen Punkt hinbekommen. Thx Gualtiero 
) |
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| 03.06.2010, 21:19 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
hmm ich versteh nicht wass du jetzt meinst mit den verschiedene werte... das versteh ich nicht
also wie genau mach ich es? ich versteh nicht wieso a=1 und... kannst du mir es vielleicht auf eine leichtere art und weise erklären? |
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| 03.06.2010, 21:25 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, was willst du denn mit der Funktion machen? Wenn du sie zeichnen willst, musst du dir ein paar Punkte suchen, die auf der Funktion liegen und sie verbinden. Also suchst du dir ein a und rechnest das U aus. Ich habe mit halt a = 1 ausgesucht, hätte auch a = 10 nehmen können. Hier kannst du die Wertetabelle von kostenfels sehen. Das heißt allerdings nicht, dass du seine Werte übernehmen musst.
Und um dir die Wahl geeigneter a-Werte leichter zu machen, habe ich mal den Graphen gezeichnet: |
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| 03.06.2010, 21:32 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok ich hab es verstanden mit der wertetabelle sind die a punkte 1,5,10,15,20 ok ? |
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| 03.06.2010, 21:41 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gehe ruhig bis 30 oder 40 hoch.
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| 03.06.2010, 21:49 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab jetzt 1, 20,40,60, a: 1 u: 242 a: 20 u: 52 a:40 u:86 a:60 u:124 ist das eine richtige wertetabelle? und graphen einfach zeichnen wie bei dir y bis 250 und x bis 60. richtig? Dann habe ich eine Wertetabelle und den Graphen gezeichnet. Dann fehlt noch "Gibt es ein Rechteck mit kleinstem Umfang?" |
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| 03.06.2010, 21:58 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Darstellung der Zeichung hängt davon ab, welchen Bereich du dir für die Achsen wählst... Dass es ein Minimum gibt, ist leicht zu erkennen. Wir müssen es allerdings berechnen. Leider liegt es nicht genau bei 10. Und da bin ich gerade am Grübeln. Ableitungen kennst du ja noch nicht, das wäre das einfachste. Da wir keine quadratische Funktion vorliegen haben, stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch, wie das Minimum berechnet werden kann... 
(Ich habe den Wert, aber ich weiß im Moment nicht, wie wir drauf kommen sollen...) |
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| 03.06.2010, 22:03 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
den graphen den du jetzt als 2. gepostet hast. ist es der mit meinen werten? und mit dem minimal wert... freund hat mir gesagt dass bei den 120km² der minimalste umfangswert bei 44km² liegt.. aber er kann es mir jetzt nicht erklären, morgen erst... |
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| 03.06.2010, 22:10 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Den Graphen habe ich einfach zeichnen lassen. Es ist beidemale die gleiche Funktionsgleichung, bloß habe ich den Bereich der Achsen etwas verändert. Deine Angabe stimmt. Das Minimum liegt bei Der Umfang liegt dann bei 43,8178 km. |
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| 03.06.2010, 22:12 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
gut also aufgerundet liegt der minimalste umfang bei 44km² aber wie erklär ich das meinen lehrer. ich versteh deine formel nicht... |
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| 03.06.2010, 22:18 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe keine Formel hingeschrieben, nur die Lösung. Ich habe dazu ein Verfahren angewendet (Ableitung = Differenzieren), das du noch nicht kennst. Grob gesagt, könntest du natürlich sagen, das Minimum liegt bei 10 km und der Umfang beträgt 44 km, aber das ist wirklich nur grob gerundet. Welche Methode dir zur Verfügung steht, um diese Werte zu ermitteln, weiß ich leider im Moment nicht. Wichtig: es sind keine Quadratkilometer, du berechnest nur Strecken.
edit: Zur Not liest du halt die Werte aus dem Graphen ab, wozu haben wir ihn denn...
Die x-Achse zeigt dir die Größe von a, die y-Achse zeigt dir den Umfang. Dann solltest du aber die Werte in der Umgebung von 10 etwas genauer bestimmen, also a= 8; 9; 10; 11 und 12. Auf diese Weise kannst du zeigen, dass du ein Minimum vorliegen hast.
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| 03.06.2010, 22:32 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut mal schauen was mein Freund morgen sagt, dann hoffenzlich weiß ich das genau mit den 44 und 10. ALso jetzt nochmal zu sicherheit die frage war: "Erstelle für die Umfangslängenfunktion "Seitenlänge a? Umfang u" für Rechtecke,deren Flächeninhalt gleich dem von Pachoms Land ist, eine Wertetabelle und zeichne den GRaphen der Funktionen. Gibt es ein Rechteck mit kleistem Umfang?" und jetzt brauchen wir erstmal Umfang formel und Flächen Formel das wären: U = 2a + 2b und A = a · b jetzt muss eine funktion erstellt werden für den Umfang nur mit a dazu benutzen wir dafür die flächenformel weil wir die fläche kennen das wäre dann: a·b=120 die jetzt zu b umstellen: a·b=120 <=> b=120/a jetzt hab ich b=120/a und U = 2a + 2b dazu mach ich: U = 2a + 2(120/a) jetzt lös ich die klammern auf und rechne aus und die endfültige Funktionsgleichung wird: U(a) = 2a +240/a Wie erkläre ich die obrigen schritte mit der formel meinen Prüfungslehrern am besten? weigter gehts: und dann halt eine Wertetabelle machen mit den a punkten 1,20,40,60 und dann den Graphen zeichnen. Fehlt noch was in der Frage was wir nicht gelöst haben zusammen? oder wars das ausser der minimalen Umfang frage. |
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| 03.06.2010, 22:37 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Zur Bestimmung des Minimums hatte ich eben folgendes geschrieben:
Mit dem Erklären ist es, dass du einfach die Gleichung für die Fläche nach b umstellst und dann in der Gleichung für den Umfang das b durch den Ausdruck mit a (aus der Flächengleichung) ersetzt. Vorteil: Du hast eine Gleichung mit 1 Variablen. |
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| 03.06.2010, 22:43 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
könnntest du mir vielleicht noch so einen schönen Graphen zeichnen mit a= 8; 9; 10; 11 und 12? für den minimalen umfang wie du sagtest, damit ich das meinen lehrern besser verdeutlichen kann. Also mit dem programm womit du das machst, damit ich das dann in meine Präsenation mit einbauen kann. und danke viel mals!!!, haben wir alles aus der fragestellung jetzt gelöst oder fehlt noch was? ich will mir sicher sein vielleicht ist da noch ein auftrag in der frage was ich überseh. |
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| 03.06.2010, 22:46 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das mache ich hier mit dem Formeleditor (rechts, unter: Werkzeuge) Ist jetzt eine Ausschnittsvergrößerung.
Ich denke, wir haben alles.
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| 03.06.2010, 22:55 | pattex22 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
VIELEN VIELENN DANKKK 
ich bin gerettet!! hoffentlich lös ich sie morgen an der tafel ohne fehler. vielen dank nochmal |
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| 03.06.2010, 22:59 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gern geschehen.
(Bei der letzten Zeichnung kann man übrigens erkennen, dass das minimale a eher bei 11 als bei 10 liegt.) Viel Erfolg morgen.
Über eine Rückmeldung, wie es lief, würde ich mich sehr freuen. 
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