Matrix und lineare Abbildung

04.06.2010, 00:41

barnabas

Matrix und lineare Abbildung

Guten Tag.

Bei folgender Aufgabenstellung komme ich nicht weiter:

Finde eine 3 x 3 Matrix A über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , sodass A und $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ nicht die Nullmatrix sind, aber $\begin{eqnarray*} A^3 \end{eqnarray*}$ die Nullmatrix ist.

Anleitung: Suche eine geeignete lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3\to\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ .

Was bisher geschah: die Matrix A kann geschrieben werden als $\begin{eqnarray*} $$A=\begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}$$ \end{eqnarray*}$ .

Nun kann A mit sich multipliziert werden, also $\begin{eqnarray*} $$AA=\begin{pmatrix} a_{11}a_{11}+a_{12}a_{21}+a_{13}a_{31}&a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22}+a_{13}a_{32}&a_{11}a_{13}+a_{12}a_{23}+a_{13}a_{33}\\ a_{21}a_{11}+a_{22}a_{21}+a_{23}a_{31}&a_{21}a_{12}+a_{22}a_{22}+a_{23}a_{32}&a_{21}a_{13}+a_{22}a_{23}+a_{23}a_{33}\\ a_{31}a_{11}+a_{32}a_{21}+a_{33}a_{31}&a_{31}a_{12}+a_{32}a_{22}+a_{33}a_{32}&a_{31}a_{13}+a_{32}a_{23}+a_{33}a_{33}\end{pmatrix}$$ \end{eqnarray*}$ .
Und nun das ganze Spiel nocheinmal, also $\begin{eqnarray*} $$AAA=\begin{pmatrix} &&\\ &\cdots&\\ &&\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&0\end{pmatrix}$$ \end{eqnarray*}$

Die Idee ist, ich erhalte auf diese Art ein Gleichungssystem mit 9 Unbekannten und 9 Gleichungen - dieser Lösungsweg ist aber nicht nur sehr unelegant, die Frage ist, wie finde ich, wie in der Anleitung angeleitet, eine " ... geeignete lineare Abbildung ..."?

Eine lineare Abbildung ist doch $\begin{eqnarray*} C=rA + B \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} r\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Also muß eine lineare Abbildung gefunden werden, die, 2 mal auf sich selbst angewandt, Null ergibt mit $\begin{eqnarray*} C0=0 \end{eqnarray*}$ .

Bin ich am Holzweg mit meiner Annahme es gibt einen "schöneren" Weg, oder blick ich einfach nur nicht durch oder beides?

04.06.2010, 01:33

frank09

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RE: Matrix und lineare Abbildung
Geht ganz einfach:
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=420649

04.06.2010, 01:54

barnabas

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RE: Matrix und lineare Abbildung
danke für den hinweis. aber probieren ist doch noch weniger elegant als das gleichungssystem aufzustellen und auszurechnen (sofern dies überhaupt zielführend ist).

gibts noch andere hinweise auf einen möglichen lösungsweg?

04.06.2010, 02:21

Airblader

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Nunja - wer unbedingt rechnen mag kann das sicher tun. Aber wozu? Augenzwinkern

Der verlinkte Weg ist für mich der eleganteste, weil er einfach ist und ebenso logisches Denken voraussetzt.

Für den Hinweis, den du bekommen hast, bedenke:

Ist $\begin{eqnarray*} f: x \mapsto Ax \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f^2(x) = (f \circ f)(x) = f(f(x)) = f(Ax) = AAx = A^2x \end{eqnarray*}$

und dementsprechend $\begin{eqnarray*} f^3(x) = f(f(f(x))) = A^3x \end{eqnarray*}$

Du sollst also eine Abbildung finden, so dass $\begin{eqnarray*} f^3 \equiv 0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f, f^2 \not\equiv 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das geht auch recht leicht. Zugegeben finde ich es aber einfacher mit einer simplen Matrix wie vorgeschlagen. Augenzwinkern

air

04.06.2010, 02:48

barnabas

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Zitat:

Original von Airblader

Du sollst also eine Abbildung finden, so dass $\begin{eqnarray*} f^3 \equiv 0 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} f, f^2 \not\equiv 0 \end{eqnarray*}$ ist.

Das geht auch recht leicht. Zugegeben finde ich es aber einfacher mit einer simplen Matrix wie vorgeschlagen. Augenzwinkern

air

Ja, leichter ist es wahrscheinlich. Kannst du mir (trotzdem) den Weg zeigen, der in die auch recht leichte Richtung weist?

Ich will es einfach kapieren, darum gehts mir, nicht um eine konkrete Lösung. Also, wie finde ich eine solche Abbildung (möglichst ohne probieren)?

entschuldige bitte meine hartnäckigkeit und uneinsichtigkeit ...

04.06.2010, 07:12

Airblader

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Der vorgesehene Weg geht m.M.n. auch von Probieren und Nachdenken aus.
Ein Tipp: Du hast drei "Schritte" und drei Koordinatenachsen. Wie kannst du also einen Punkt abbilden so dass er im dritten Schritt letztlich im Ursprung landet?

air

04.06.2010, 22:57

barnabas

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dankeschön.
-barney

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