Normalteiler von Normalteilern

04.06.2010, 17:08

gonnabphd

Normalteiler von Normalteilern

Wäre jemand so freundlich, mir eine Gruppe G und zwei Untergruppen U, H zu nennen, für welche gilt:

$\begin{eqnarray*} U \unlhd H, H \unlhd G \text{, aber $U$ ist kein Normalteiler von $G$} \end{eqnarray*}$

Wäre das möglich in der Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ ? Dort hätte ich ja sicher zwei Untergruppen mit $\begin{eqnarray*} H:= \langle e^{2\pi/n} \rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U := \langle \left(e^{2\pi /n} \right)^2 \rangle \end{eqnarray*}$ , für welche die erste Aussage schon mal stimmt. Aber irgendwie bin ich etwas verwirrt, wie ich die zweite Aussage nun nachweisen muss...

Naja, ich hol' mal nen Kaffee und versuch's dann nochmal. Augenzwinkern

Vielen Dank. Wink

04.06.2010, 17:30

Mystic

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RE: Normalteiler von Normalteilern
Nimm für G die Diedergruppe $\begin{eqnarray*} D_4 \end{eqnarray*}$ (=Symmetriegruppe des Quadrates mit 8 Elementen), für H eine der beiden nichtzyklischen Untergruppen der Ordnung 4, in dieser eine Untergruppe U der Ordnung 2, die nicht die Rotation um 180 Grad enthält... Das wars dann...

04.06.2010, 17:35

jester.

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$\begin{eqnarray*} \langle (1,2)(3,4) \rangle \trianglelefteq V_4 \trianglelefteq A_4 , \quad \langle (1,2)(3,4) \rangle \not \trianglelefteq A_4 \end{eqnarray*}$ wäre ein allgemeines Beispiel.

Ich nehme jetzt mal an, dass bei dir $\begin{eqnarray*} |D_6|=12 \end{eqnarray*}$ (korrigiere mich bitte, falls ich falsch liege).
Dann gilt $\begin{eqnarray*} [D_6:\langle (1,2,3,4,5,6)\rangle]=2 \end{eqnarray*}$ und jede Untergruppe dieser zyklischen Gruppe ist normal. Jedoch finden wir darin sicherlich eine Untergruppe, die nicht normal in $\begin{eqnarray*} D_6 \end{eqnarray*}$ ist.

04.06.2010, 17:41

Mystic

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Ja, natürlich hat auch Jester recht, doch Beispiele für die Nichttransitiviät der Normalteilerrelation gibt's wie Sand am Meer, das von mir oben angegebene ist aber definitv das kleinste... Augenzwinkern

04.06.2010, 21:24

gonnabphd

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Danke euch beiden! smile

Leider ist mir die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \langle (1,2,3,4,5,6)\rangle \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \langle (1,2)(3,4) \rangle \end{eqnarray*}$ unbekannt. Ich glaube, das hat was mit Zyklen in Permutationen zu tun?

04.06.2010, 21:29

jester.

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Ja, das hat es. Damit kann man endliche Gruppen relativ gut rechnen. Man kann allerdings genau so gut komplexe Zahlen verwenden, wie du es getan hast, wobei mir in deinem Fall die Bedeutung von "n" nicht ganz klar ist.
Möglich sind auch Darstellungen als Matrizen, das eignet sich zum Beispiel für die Quaternionengruppe in deinem anderen Thema.

04.06.2010, 21:39

gonnabphd

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Zitat:

Man kann allerdings genau so gut komplexe Zahlen verwenden, wie du es getan hast, wobei mir in deinem Fall die Bedeutung von "n" nicht ganz klar ist.

Ja, sollte natürlich 6 (= n ) sein. Freude

Das mit den Zykelschreibweise hab' ich nun auf Wikipedia nachgelesen. Schöne Methode.

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