berechnen ob gerade oder ungerade Anzahl Schnittpunkte?

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pape Auf diesen Beitrag antworten »
berechnen ob gerade oder ungerade Anzahl Schnittpunkte?
Meine Frage:
Gegeben:
* f(x) (stetig)
* Definitionsbereich D = [xMin, xMax]

Gesucht:
* Hat die Funktion f(x) auf D eine gerade oder ungerade Anzahl an Schnittpunkten mit der konstanten Funktion c, Also z.B. c = 5.

Meine Ideen:
Meiner bisherigen Idee nach, reicht es aus Anfang und Ende des Definitionsbereiches zu betrachten:

y1 = f(xMin)
y2 = f(xMax)

Wenn (y1 < c UND y2 >=c) ODER (y1 >= c UND y2 < c)
dann sind es eine ungerade Anzahl an Schnitten.

Dabei ist dann die Konvention festzulegen, wo man die Gleichheit zulässt, was prinzipiell für meine Zwecke in Ordnung ist.

Mit der Konvention wären f(minX) = c oder f(maxX) = c genauso abgedeckt sein, wie f(x) = c.

Vergesse ich dabei noch andere Fälle, die nicht eindeutig abgedeckt sind oder zu unlogischen Ergebnissen kommen?
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pape
Wenn (y1 < c UND y2 >=c) ODER (y1 >= c UND y2 < c)
dann sind es eine ungerade Anzahl an Schnitten.

Kommt ganz darauf an, wie du "Schnittpunkt" definierst.

Wenn es einfach nur ein Punkt mit ist, dann hier ein Gegenbeispiel: auf und .

Das Problem sind also die "Berührpunkte".
pape Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht kurz was zum Hintergrund, damit klarer ist, was ich machen möchte: Ich möchte einen Inside-Test machen (ob ein Punkt innerhalb einer Fläche ist). Für Polygone ist das so möglich:
http://www.alienryderflex.com/polygon/Diagram_1.gif
(mehr dazu: http://www.alienryderflex.com/polygon/ )

Nun habe ich aber keine Strecken, sondern entweder Strecken von Punkt zu Punkt oder auch beliebige Funktionen. Ehe ich den Algorithmus nun blind anwende, versuche ich raus zufinden, ob das so einfach geht, wenn ich auch beliebige Funktionen zulasse.

Ja, mit Schnittpunkt meine ich f(x) = c.

Prinzipiell ist ja egal, was zwischen den xMin und xMax passiert, da können beliebig viele Schnittpunkte sein, ich will nur wissen: eine gerade oder ungerade Anzahl?

Das von dir angesprochene Problem mit den "Berührpunkten" ist für alles zwischen xMin und xMax m.E. egal.
Falls genau an den Rändern ein Berührpunkt auftritt, dachte ich, dass meine Konvention, wo man Gleichheit zulässt, das Problem so löst:
Für "Berührpunkte von unten" hätte man keinen Schnittpunkt und von "oben" hätte man 2 Schnittpunkte, was für eine "gerade oder ungerade Anzahl?"-Berechnung dann egal ist. Sprich: Berührpunkte ändern nichts an der Parität.



[attach]15007[/attach]
Wie in der Grafik dargestellt soll das Ergebnis sein: A1 und A4 außerhalb und A2 und A3 innerhalb der Fläche.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön ... und kein Wort zu meinem Gegenbeispiel.
pape Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Arthur Dent
Sehr schön ... und kein Wort zu meinem Gegenbeispiel.

Vielleicht habe ich meine Antwort nicht konkret genug auf Dein Beispiel bezogen, aber Bezug darauf habe ich genommen und dachte mit meiner Grafik klar gemacht zu haben, warum dein Gegenbsp kein Gegensbp ist.
Lass es mich aber nochmal versuchen, mich verständlicher auszudrücken, anhand des konkreten Beispiels:

[attach]15008[/attach]

Wenn ich für den roten Punkt berechnen möchte, ob er innerhalb der eingegrenzten Fläche liegt oder nicht, ist der Berührpunkt bei (0,0) uninteressant, weil es in jedem Fall eine ungerade Anzahl an Schnitten zwischen c=0 und der blauen Kurve geben muss, weil f(RoterPunkt.x)< c und f(Definitionsbereich.maxX) > c ist.

Wenn ich dich missverstehe, erkläre mir bitte genauer, warum du in deinem Gegenbeispiel ein Problem für meine Berechnung siehst.

Danke! :-)
AD Auf diesen Beitrag antworten »
RE: berechnen ob gerade oder ungerade Anzahl Schnittpunkte?
Zitat:
Original von Arthur Dent
Wenn es einfach nur ein Punkt mit ist, dann hier ein Gegenbeispiel: auf und .

Dann ist

(1) stetig,

(2) und

(3) Es gibt die beiden Schnittpunkte und , und keine weiteren.

Also zwei Schnittpunkte - und wenn ich mich nicht irre, ist zwei immer noch gerade und damit nicht ungerade. Also ist es sehr wohl ein Gegenbeispiel für die Aussage

Zitat:
Original von pape
Wenn (y1 < c UND y2 >=c) ODER (y1 >= c UND y2 < c)
dann sind es eine ungerade Anzahl an Schnitten.
 
 
pape Auf diesen Beitrag antworten »
RE: berechnen ob gerade oder ungerade Anzahl Schnittpunkte?
Ok, verstanden was du meinst.
Zitat:
Original von Arthur Dent
Also zwei Schnittpunkte - und wenn ich mich nicht irre, ist zwei immer noch gerade und damit nicht ungerade. Also ist es sehr wohl ein Gegenbeispiel für die Aussage

In meinem 2. Beitrag habe ich gemeint, dass ein Berührupunkt eben KEIN EINZELNER Schnittpunkt ist, sondern entweder gar keiner oder 2, also in jedem Fall eine gerade Anzahl.
Das habe ich nicht so expliziet geschrieben. Geschrieben habe ich, dass zwischen xMin und xMax berührpunkte uninteressant sind, mit einer Erklärung über die Grafik und den Hintergrund für die Berechnung. Das war nicht klar genug ausgedrückt.

Wenn man das nun aber klar hat, dann sind bei x_1 also 2 oder kein Schnittpunkt und mit dem Schnittpunkt bei x_2=1 ist es insgesamt eine ungerade Zahl an Schnittpunkten.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pape
In meinem 2. Beitrag habe ich deswegen geschrieben, dass ein Berührupunkt eben KEIN EINZELNER Schnittpunkt ist, sondern entweder gar keiner oder 2, also in jedemFall eine gerade Anzahl, wodurch dann mit dem Schnittpunkt bei x_2=1 eine insgesamt ungerade Zahl an Schnittpunkten rauskommt.

Was ist dann mit im gleichen Intervall? Dann liegt im Punkt wieder ein Berührpunkt vor...

Nein, so billig kommst du also nicht mit deiner "Reparatur" davon. Augenzwinkern

Es bedeutet u.a., dass du eine Definition von "Schnittpunkt" bestimmt nicht dadurch verbesserst, dass du sie auf einer ebenso unklaren Definition von "Berührpunkt" aufbaust.
Julian@mb Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Ich sollte besser lesen
pape Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, meine Formulierung bzgl eines Schnittpunktes ist immer noch nicht genau genug!Also etwas weniger schwammig:

An x_0 hat f(x) genau einen Schnittpunkt mit der Konstanten-Funktion c genau dann wenn
UND

für sehr kleine d>0
Man kann sogar glaube ich die Gleichheit bei einem zulassen.

Grafisch gesprochen: c muss irgendwie über die andere Funktion drüber gekommen sein, weils erst auf der einen und dann auf der anderen Seite von f ist. Wenns IRGENDWIE drüber gekommen ist, dann gab es eine ungerade Anzahl an Schnittpunkten.
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Na so langsam wird es (obwohl es immer noch sehr holpert). Auf mehr wollte ich mit

Zitat:
Original von Arthur Dent
Kommt ganz darauf an, wie du "Schnittpunkt" definierst.

auch nicht hinaus. Augenzwinkern
pape Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, danke soweit! :-)

Zitat:
Original von Arthur Dent
obwohl es immer noch sehr holpert

Was genau meinst du?

Für mich gibt es eigentlich 2 interessante Fälle:
1) Der Berühr- oder Schnittpunkt ist auf (xMin,xMax)
2) der Berühr/Schnittpunkt ist bei x = xMin oder x = xMax

zu 1) Die können mir getrost egal sein, wenn es lediglich darum geht, zu prüfen ob ein Punkt auf der Innen- oder Außenseite einer Fläche liegt, weil auf den Intervallen davor und danach alles nötige (s.u.) entschieden wird (Inside-Test).

zu 2) Da kommt nun hinzu, dass die Fläche immer geschlossen ist. Wenn ich also für einen Punkt P(x1/y1) prüfen möchte ob er innerhalb der Fläche liegt oder nicht, berechne ich die Anzahl der Schnittpunkte für alle die Fläche eingrenzenden Funktionen, die definiert sind auf einem Bereich x>=x1.

Für f1(x) definiert auf [a,b] gibt es also in jedem Fall eine f2(x) definiert auf [b,c].

Wenn nun ein Berühr/Schnittpunkt von f1 genau bei b ist (also ) kann ich das als 0 Schnittpunkte ansehen, weil es in diesem Fall immer eine weitere Funktion gibt deren Intervall bei b anfängt und mit der (oder mit deren weiteren Nachfolgern) ich bestimmen kann, ob die gesamt Anzahl der Schnittpunkte mit der Begrenzung der Fläche gerade oder ungerade ist, wodurch ich (effizient) bestimmen kann, ob der Punkt innerhalb oder außerhalb der Fläche liegt.
GastMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist aber noch nicht mal klar, dass die Anzahl der "Schnittpunkte" endlich ist, z.B
, falls
.

Die Anzahl der "Schnittpunkte" mit der Funktion ist unendlich in jedem Intervall, dass die 0 enthält.
pape Auf diesen Beitrag antworten »

Da widersprichst du dir aber selbst:
Zitat:
Original von GastMathematiker[...]
falls [...]ist unendlich in jedem Intervall, dass die 0 enthält.

Zudem geht es wie eingangs erwähnt um stetige Funktionen.
GastMathematiker Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von pape
Da widersprichst du dir aber selbst:
Zitat:
Original von GastMathematiker[...]
falls [...]ist unendlich in jedem Intervall, dass die 0 enthält.


Nein, da widerspreche ich mir nicht selber, da die Funktion abschnittweise definiert ist, deswegen steht ja da Damit ist f auf ganz R definiert und stetig.
pape Auf diesen Beitrag antworten »

ja, übersehen.. es ist spät!

Auch wenn es unendlich viele gibt (was aus mathematischer Sicht ein Problem ist), ist es für die Berechnung, ob der Punkt nun innerhalb oder außerhalb der Fläche liegt, weiterhin egal was zwischen den Intervallgrenzen geschieht. Selbst wenn es unendlich viele Schnittpunkte sind, zählt am Ende nur was die Intervallgrenze sagt: Gerade oder ungerade? (Aus mathematischer Sicht ist das nicht lösbar, weil für eine unendliche Zahl die Parität nicht definiert ist afaik - graphisch ist das aber über die simple Betrachtung der Intervallgrenzen machbar.)
Damit ist das Problem, ob der Punkt in der Fläche ist oder nicht, eindeutig und sinnvoll durch die in meinem ersten Beitrag gestellte "Formel" gelöst.

Es ist gut, dass ihr sämtliche Register zieht.. ich muss ja zu einer genaueren Definition der ganzen implizieten Annahmen meinerseits kommen. Deswegen frage ich hier! :-)
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