Volumenform berechnen

05.06.2010, 23:03	Kerstin*	Auf diesen Beitrag antworten »
Volumenform berechnen Hallo. Ich hab eine Frage zu einer Analysis-Übungsaufgabe. Ich muss da für die Fläche $\begin{eqnarray} R_f (a,b) \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ eine Darstellung der Volumenform (lokal) berechnen. $\begin{eqnarray} R_f (a,b)=\left \{ (f(z)\cos\phi),(f(z)\sin\phi),z\ \|\ (\phi, z)\in \mathbb R \times(a,b) \right \} \end{eqnarray}$ wobei hier für die Funktion $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f\in C^{\infty}((a,b)), \ f >0 \end{eqnarray}$ Also, eine Volumenform auf einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit ist ja eine Differentialform vom Grade n. Wir hatten da in der Vorlesung so einen Satz, dass für die Volumenform $\begin{eqnarray} \omega_M \end{eqnarray}$ im Bereich einer positiv orientierten Karte $\begin{eqnarray} (x, U) \end{eqnarray}$ einer Mannigfaltigkeit M gilt: $\begin{eqnarray} \omega_M=\sqrt g \ dx_1 \wedge ... \wedge dx_n,\quad \text{wobei}\ g=\det((g_{ij})_{i,j}) \text{ mit } g_{ij}=<\partial x_i, \partial x_j > \text{ ist } \end{eqnarray}$ Muss ich diesen Satz hier anwenden oder geht es anders bzw. einfacher? Danke an euch im Voraus!! Liebe Grüße, Kerstin
06.06.2010, 10:00	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Satz hilft dir sicherlich weiter . Nun musst du $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ berechnen. Dazu musst du die Skalarprodukte aller Kombinationen von zwei Basisvektoren des Tangentialraumes ausrechnen. Was also sind die Tangentialvektoren die den Tangentialraum an einem gewissen Punkt aufspannen? Ich denke mal, dass hier das euklidische Skalarprodukt gemeint ist. Übrigens wäre es nicht verkehrt auch noch kurz zu sagen, wieso du hier überhaupt eine orientierte Mannigfaltigkeit hast [und damit auch eine positiv orientierte Karte für den Satz]...
06.06.2010, 13:43	Kerstin*	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja, es ist das euklidische Skalarprodukt gemeint. Ich bin mir jetzt nicht sicher, aber ich hab die Tangentialvektoren einfach durch partielles Ableiten bestimmt: $\begin{eqnarray} \partial _1=\partial _\phi=\begin{pmatrix} -f(z) \sin(\phi)\\ f(z)\cos(\phi) \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \partial _2=\partial _z=\begin{pmatrix} f'(z) \cos(\phi)\\ f'(z)\sin(\phi) \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun zur Frage, wieso die Mannigfaltigkeit orientiert ist. Ich würde so argumentieren: Die Abbildung $\begin{eqnarray} \psi : \mathbb R \times(a,b) \to \mathbb R^3,\quad \psi (\phi, z) = (f(z)\cos(\phi),f(z)\sin(\phi),z) \end{eqnarray}$ gibt die Orientierung bereits vor, da man $\begin{eqnarray} \mathbb R \times (a,b) \end{eqnarray}$ in einer bestimmten Richtung durchlaufen kann. Oder noch einfacher könnte ich es so begründen: Nach Vorlesung ist für ein $\begin{eqnarray} f:U\subset \mathbb R^n \to \mathbb R^m \end{eqnarray}$ die Mannigfaltigkeit $\begin{eqnarray} \mathrm{graph}(f)=\left \{ (x,f(x))\ \|\ x\in \mathbb R^n \right \} \end{eqnarray}$ orientierbar, da sie sich durch nur eine Karte überdecken lässt. Also existiert eine positiv orientierte Karte. Ich erhalte dann die 2x2-Matrix $\begin{eqnarray} G:=((g_{ij})_{ij}) \end{eqnarray}$ und davon die Determinante auszurechnen, ist ja nicht schwer. Und dann bin ich schon fertig. Ist das alles okay so? Viele Grüße, Kerstin
06.06.2010, 13:58	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, alles gut . Was die Orientierung angeht, deines nochmal in anderen Worten gesagt: Eine Mannigfaltigkeit ist orientierbar genau dann, wenn sie einen Atlas hat, so dass das Differential aller Kartenwechsel positive Determinante hat. Hier gibt es aber nur eine Karte und daher ist es auch klar ein orientierter Atlas [es gibt schliesslich keine Kartenwechsel ].
06.06.2010, 14:45	Kerstin*	Auf diesen Beitrag antworten »
Es freut mich, dass alles richtig war. Danke für deine Hilfe und noch einen schönen Sonntag nachmittag. -Kerstin-

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