Beweise am gleichschenkligen Dreieck

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Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise am gleichschenkligen Dreieck
Meine Frage:
Ich bin gerade dabei gleichschenklige Dreiecke zu "erkunden". Dafür benötige ich folgende Beweise:
1) Die Höhe in einem gleichschenkligen Dreieck halbiert die Basis!
2) Die Winkelhalbierende trifft senkrecht auf die Basis auf!
3) Die Mittelsenkrechte auf der Basis geht durch die Spitze des gleichschenkligen Dreiecks!

und das noch nicht genug...ich benötige auch die Umkehrungen dieser Sätze...



Meine Ideen:
Ich weiß wohl, dass Höhe, Seitenhalbierende, Mittelsenkrechte und Winkelhalbierend die Symmetrieachse des Dreiecks bilden, aber mir fehlen die Ideen, diese Beweise auszuführen.

Danke für eure Hilfe!!!!!!!!!!!!
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, das erfordert natürlich Arbeit.
Aber die Wikipedia hilft dir ungemein...
http://de.wikipedia.org/wiki/Dreieck

Wenn du dort die weiterführenden Links benutzt, oder die Stichpunkte "besondere Punkte in einem Dreieck" oder was dir einfällt. angibst, wirst du mit Sicherheit fündig.
Beweisführung ist Kopfsache, die man nicht vorkauen darf, denn dann wäre das Ziel verfehlt.


Ps. Ich muss dir nicht beweisen, dass ich den Beweis kenne, um dass du den Beweis deinem Professor beweist.smile
riwe Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweise am gleichschenkligen Dreieck
übung in den kongruenzen Augenzwinkern
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

Also Ansätze habe ich ja, nur sind diese 3 Punkte für mich das Gleiche, denn es ist alles auf die Achsensymmetrie und auf die jeweiligen Kongruenzsätze zurückzuführen... Oder liege ich da mit meiner Vermutung falsch?
Könnte mit nicht jemand zumindestens bei einem Satz einen Ansatz geben???
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

zu 1) aus SSW oder WSW folgt AH = HB, wenn H der höhenfußpunkt ist Augenzwinkern
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Also meinst du ich sollte schon alle drei Höhen nutzen, um mit dem Höhenfußpunkt argumentieren zu können?
 
 
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aluhead
Danke. Also meinst du ich sollte schon alle drei Höhen nutzen, um mit dem Höhenfußpunkt argumentieren zu können?

was soll dieser unsinn unglücklich

der höhenfußpunkt ist der punkt, den die höhe und die zugehörige seite gemeinsam haben. dieser punkt hat nichts mit dem höhenschnittpunkt zu tun.

was sollte denn da die kongruenz verwirrt

male halt ein bilderl unglücklich

schreib halt deine argumentationskette her!

....
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

Oh ja, das hab ich gerad verwechselt. Ich werde die Tage konstruieren und dann trage ich meine gedachten Ansätze ein. Wäre ganz nett, wenn ihr dann noch einmal drauf guckt.

Danke erstmal und schönen Abend noch.
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

So, nun will ich mal gucken, ob ich das Gelbe vom Ei getroffen habe:

Beweis: Die Höhe halbiert die Basis.

Dreieck AHC und Dreieck BHC

AC = BC (Vorauss. für gleichschenkliges Dreieck)
CH = CH (Reflexivität)
Winkel AHC = Winkel BHC (da Höhe und Seite immer einen rechten Winkel ergeben)

--> aus dem Kongruenzsatz SSW folgt: H ist Mittelpunkt der Seite AB --> AH=HB

q.e.d.


Liege ich da richtig mit meinen Gedanken?
Kann mir jemand die Umkehrung des Satzes formulieren?
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Also, für ein gleichseitiges Dreieck mag es eher stimmen, aber dass AHC=BHC (in einem gleichschenkligen Dreieck) ist, nicht unbedingt.
Aber riwe kennt sich besser damit aus, er ist der Fachmann.
Augenzwinkern
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe auch folgenden Beweis probiert, weiß nur auch nicht, ob ich hier richtig liege:

Die Winkelhalbierende trifft senkrecht auf die Basis auf.

(W ist der Schnittpunkt der von WGamma und der Strecke AB)

Dreieck CAW und Dreieck CBW
AC = BC (Voraussetzung gleichschenkliges Dreieck)
CW = CW (Reflexivität)
Winkel ACW = Winkel BCW (da Gamma durch WGamma in 2 gleich große Winkel zerfällt)

--> Nach dem Kongruenzsatz SWS folgt nun, dass die beiden Dreiecke kongruent sind, und insbesondere auch damit gezeigt ist, dass die Winkel AWC und Winkel BWC gleich groß sind. Da sich Nebenwinkel zu 180 Grad ergänzen (Kreisbogen), können die Winkel, die die Basis und Winkelhalbierende bilden, nur rechte Winkel sein, womit bewiesen ist, dass CQ senkrecht auf AB steht.

q.e.d.

Aber leider habe ich auch hier keine Formulierung der Umkehrung. Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
Rechenschieber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann es zwar verstehen, aber nicht gut erklären. Dafür schau mal hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Kongruenzsatz
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

Was genau kannst du nicht gut erklären? Verstehe den Zusammenhang gerad nicht, worauf du die Aussage beziehst.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aluhead
So, nun will ich mal gucken, ob ich das Gelbe vom Ei getroffen habe:

Beweis: Die Höhe halbiert die Basis.

Dreieck AHC und Dreieck BHC

AC = BC (Vorauss. für gleichschenkliges Dreieck)
CH = CH (Reflexivität)
Winkel AHC = Winkel BHC (da Höhe und Seite immer einen rechten Winkel ergeben)

--> aus dem Kongruenzsatz SSW folgt: H ist Mittelpunkt der Seite AB --> AH=HB

q.e.d.


Liege ich da richtig mit meinen Gedanken?
Kann mir jemand die Umkehrung des Satzes formulieren?



Freude

edit: die umkehrung ist doch offensichtlich: halbiert in einem 3eck eine höhe die zugehörige seite, so ist das 3eck gleichschenkelig Augenzwinkern
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

Satz: Die Winkelhalbierende trifft senkrecht auf die Basis auf.

Liege ich mit folgender Umkehrung richtig?: Trifft die Winkelhalbierende senkrecht auf die Basis, so ist das Dreieck gleichschenklig.


Danke.
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

man könnte es schöner formulieren, aber es trifft den kern Augenzwinkern
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

War denn mein zweiter Beweis mit der Winkelhalbierenden auch richtig?
riwe Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Aluhead
War denn mein zweiter Beweis mit der Winkelhalbierenden auch richtig?


ich habe mir deinen beweis nicht angeschaut, aber wenn du SWS verwendet hast, würde ich sagen Freude
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

Lässt sich denn folgender Satz: "Die Mittelsenkrechte auf der Basis geht senkrecht durch die Basis" mit dem Kongruenzsatz SSW herleiten???

Danke.
Gitana1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre meine Idee zu "Die Mittelsenkrechte auf der Basis geht durch die Spitze"

Zwei Dinge müssen bewiesen werden:
1. Die Strecke |HC| steht senkrecht auf der Basis
2. Der Punkt H befindet sich in der Mitte von |AB|
Anhand der Zeichnung sieht man, dass die Strecke |HC| durch die Spitze verläuft.

...

Da wir festgestellt haben, dass diese Strecke senkrecht auf der Basis steht, diese halbiert und man sieht, dass diese eindeutig durch die Spitze läuft, kann man abschließend der Behauptung zustimmen.



So würde ich es machenb. Bin mir aber ganz und gar nicht sicher Hammer
Aluhead Auf diesen Beitrag antworten »

Aber das sind doch Dinge, die du schon per Definition einer Mittelsenkrechten voraussetzen kannst und nicht extra beweisen musst oder?
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