Signifikanztest Aufgabe |
| 06.06.2010, 15:31 | borne02 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Signifikanztest Aufgabe Hallo, alle zusammen, habe die diese aufgabe als vorbereitung auf das mündliche abitur in mathe erhalten, doch leider finde ich keinen ansatz diese zu lösen =) ich bitte daher um hilfe =) danke im voraus An einem Nachmittag äußert Tina den Verdacht, dass Sebastians Fehlerquote deutlich höher als 10% liege. Sie beschließt diesen Verdacht mit einer Stichprobe der Länge n=50 zu testen. Welche Entscheidungsregel wird sie verwenden, wenn sie Sebastian höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% irrtümlich beschuldigen will ? Meine Ideen: Zuerst bin ich der Meinung das es sich um einen zweiseitigen Signifikanztest handelt. Stimmt das ?? |
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| 06.06.2010, 18:29 | ObiWanKenobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Grundsätzlich können bei einer Stichprobe mit n= 50, 0 bsi 50 Fehler auftreten. Ein zweiseitiger Test würde bedeuten, dass eine bestimmte Fehlerquote annimmt und diese Hypothese verwirft, wenn die Fehlerzahl unterhalb einer zu definierenden unteren Grenze des Annahmebereiches oder oberhalb einer zu definierenden Obergrenze des Annahmebereiches liegt. Das ist hier nicht der Fall! Es wird nur eine Grenze gesetzt. Der Signifikanztest ist also einseitig. Die Nullhypothese ist: Seine Fehlerquote ist größer als 10%. Irrtümlich beschuldigen würde bedeuten: Sie nimmt die Nullhypothese an, obwohl sie falsch ist. Der Annahmebereich muss also so gewählt werden, dass im Falle einer tatsächlichen Fehlerquote von 10% die Wahscheinlichkeit eines Stichprobenergebnisses außerhalb des Annahmebereiches kleiner als 5% ist. Die Tabelle n= 50 p=0,1 sieht so aus: 0 : 0.0052 1 : 0.0338 2 : 0.1117 3 : 0.2503 4 : 0.4312 5 : 0.6161 6 : 0.7702 7 : 0.8779 8 : 0.9421 9 : 0.9755 10 : 0.9906 11 : 0.9968 12 : 0.999 13 : 0.9997 14 : 0.9999 15 - 50 : 1 Welche Werte solltest du also in den Annahmebereich packen???? |
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| 06.06.2010, 19:42 | borne02 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Vielen Dank für die Lösungshilfe Ich komme nun auf den Zusammenhang P(X>k)<=0,05 Nun muss ich ja das k bestimmen für 0 bis k, welches den wert kleiner 0.05 ergibt deshalb komme ich auf k=1 wie geht es nun weiter ? danke |
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| 06.06.2010, 19:56 | ObiWanKenobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ich verstehe deine Aussage nicht. die Tabelle ist so zu lesen: Wenn die Wahrscheinlichkeit, dass Sebastian tatsächlich einen Fehelr Macht 10 % ist dann gilt für eine Stichprobe von 50: Die Wahrscheinlcihkeit dass in der Stichprobe 0 Fehler sind ist: 0,052 Die Wahrscheinlcihkeit dass in der Stichprobe 0 oder 1 Fehler sind ist: 0.0338 Die Wahrscheinlcihkeit dass in der Stichprobe 0 oder 1 oder 2 Fehler sind ist: 0.1117 und so weiter. wir suchen also den ersten Wert der größer ist als 0,95 und finden: Die Wahrscheinlcihkeit dass in der Stichprobe 0 oder 1 oder 2 oder 3 oder 4 oder 5 oder 6 oder 7 oder 8 oder 9 Fehler sind ist: 0.9755 Die Wahrscheinlichkeit dass ein Stichprobenergebnis > 9 also >=10 tatsächlich zu der oben genannten Wahrscheilichkeit gehört ist also 1 - 0,9755 = 0,0245 Wir definieren also den Annahmebereich A={10; 11; ...;50} und somit ist die Wahrscheinlichkeit Sebastian zu unrecht zu dekapitieren 0,0245 % 
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| 06.06.2010, 21:29 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Oh neeee ... also daran glaube ich jetzt nicht!
Schau mal, bei n=50 und p=0,1 haben wir einen Erwartungswert von 5 Fehlern. Und da willst du die Nullhypothese verwerfen, wenn k=9 ist????
Da liegt der Hase im Pfeffer. Wir suchen nämlich den letzten Wert der kleiner als 0,05 ist! Und das ist bei k=1. Bis zu diesem Wert verwerfen wir also die Nullhypothese und ab k+1 = 2 glauben wir sie, bei dem vorgegebenen Signifikanzniveau. Annahmebereich H0: p >=0,1 ist (2, 3, 4, ..., 50) Annahmebereich H1: p < 0,1 ist (0, 1) Grüße |
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| 06.06.2010, 23:52 | ObiWanKenobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein Liebr Barney da liegst du falsch. Es gibt zwei Möglichkeiten die Sache anzugehen, aber beide führen zu MEINEM Ergebnis! Es geht hier um folgendes: Welche Entscheidungsregel wird sie verwenden, wenn sie Sebastian höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% irrtümlich beschuldigen will. Das bedeutet so wie ich die Nullhypothese formuliert habe muss Alpha kleiner 0,05 sein! Gegenprobe: Nullhypothese: Seine Fehlerquote ist NICHT größer als 10%. Wir gehen also davon aus, dass wir nur dann die Nullhypothese Ablehnen, wenn wir mindestens 0,95 sicher sind dass sie falsch ist. Auch hier kommen wir wieder auf 9. Unser Annahmebereich ist dann also {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9} Hier muß nämlich die Wahrscheinlichkeit füt den Beta-Fehler: Die Nullhypothese wird verworfen, obwohl sie richtig ist kleiner 0,05 sein. Ich bin mir recht sicher, dass ich mit meinen Aussagen hier richtig liege!!! |
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| 07.06.2010, 08:14 | BarneyG. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na, dann gehen wir das nochmal in Ruhe an ...
Die von dir verwendete Nullhypothese lautete:
Damit wird k durch die folgende Ungleichung beschrieben: alpha = P(X <= k) <= 0,05 Und damit erhalten wir als größtmöglichen Wert k = 1. Der Fehler 1. Art ist dabei, dass Tina mit 5% Wahrscheinlichkeit an p <= 0,1 glaubt, obwohl p > 0,1 ist. Das steht aber nicht im Einklang zur Aufgabe, denn es wird ja verlangt, dass Tina
Also ist die Wahl deiner Nullhypothese falsch! Sie muss richtig lauten: H0: p <= 0,1 Dann wird k wie folgt eingeschränkt: alpha = P( X >= k+1) <= 0,05 1 - P(X <= k) <= 0,05 P(X <= k) >= 0,95 Und damit erhalten wir als kleinstmöglichen Wert k = 9. Der Fehler 1. Art ist nun der Fall, dass Tina daran glaubt, dass p > 0,1 sei, obwohl H0 gilt, also p <= 0,1 ist. Mit maximal 5% Wahrscheinlichkeit beschuldigt sie Sebastian also zu unrecht einer höheren Fehlerquote. Jetzt ist die Welt doch hoffentlich wieder in Ordnung.
Grüße |
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| 07.06.2010, 08:36 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Klarerweise hat ObiWanKenobi recht...Allerdings würde ich die Nullhypothese andersherum definieren, denn sie soll ja prinzipiell immer das sein, was man widerlegen will, also H0: Fehlerquote ist <=10% H1: Fehlerquote ist > 10% Dann ist die Wahrtschlichkeit P(Anz. der Fehler bei 50 Versuchen >=k) zum ersten Mal für k=9 unter 5%...Mit Excel wird sie wie folgt berechnet: =1-binomvert(9;50;0,1;1) was 2,45% ergibt, für k=8 wäre dieser Wert aber noch 5,79%, also noch über dem Signifikanzniveau von 5%... H0, so wie ich sie formuliert habe, wird also für k>=9 abgelehnt, was im Prinzip mit dem übereinstimmt, was ObiWanKenobi gesagt hat... Edit: Sorry, sehe gerade, dass BarneyG mittlerweile zum gleichen Ergebnis kommt, lass das hier aber trotzdem so stehen... Was die Wahl von H0 betrifft, hat er recht, so ist es richtig, damit stimmt nun wirklich alles... 
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| 07.06.2010, 10:04 | ObiWanKenobi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja - nun sind wir uns einig! Formal ist es üblich das zur Nullhypothese zu erklären, was man widerlegen will. Z.B. bei Medikamentenstudien ist die Nullhypothese meißt: "Das neue Medikament wirkt nicht besser, als das alte". Rein auf das Ergebnis bezogen ist das allerdings beides möglich, solange der Annahmebereich entsprechend gewählt wird. Beide Ansätze hätten nämlich zu genau folgendem Ergebnis geführt: Entscheidungsregel: 0 bis 9 Fehler in der Stichprobe: Tina sagt: Deine Fehlerquote ist kleiner oder gleich 10% 10 bis 50 Fehler in der Stichprobe: Tina sagt: Deine Fehlerquote ist größer als 10% Falls sie zu letzterer Aussage kommt ist ihre Irrtumswahrscheinlichkeit kleiner 5 % (genau 2,45%) Und in der Aufgabenstellung steht genau das: Welche Entscheidungsregel wird sie verwenden, wenn sie Sebastian höchstens mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% irrtümlich beschuldigen will ? Zum Thema Alpha bzw Beta Fehler: Wenn die tatsächlichen Verhältnisse unbekannt sind ist max. Alpha-Fehler + max Beta-Fehler = 1 In meiner ursprünglichen Antwort sprach ich nicht von Alpa oder Beta. Ich schrieb: Irrtümlich beschuldigen würde bedeuten: Sie nimmt die Nullhypothese an, obwohl sie falsch ist. (was ein Beta-Fehler wäre, was ich allerdings garnicht erwähnte) Ein gravierender Fehler ist mir dann allerdings pasiert nachdem Barney G. schrieb, dass mein Ergebnis falsch sei. Erst in diesem Posting verwendete ich nämlich zum ersten mal die Begriffe Alpha- und Beta-Fehler und das leider genau vertauscht! Allgemein kann man sagen: Nullhypothese: A mit p(Beta)< x führt zum gleichen Ergebnis wie Nullhypothese: nicht A mit p(Alpha) <x |
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