Gruppenüberprüfung

01.11.2006, 11:16

hilflos

Gruppenüberprüfung

Hallo, ich steh da grad vor einer Aufgabe, wie vor einem unbezwingbaren Berg. Ich weiß nicht woran es liegt aber ich hab grad null AHnung wie ich die bewerkstelligen soll, beziehungsweise ob meine Grundüberlegung stimmt.

Sei G eine endliche Halbgruppe, in der die beiden Kürzungsregeln

(i) ax = ay => x = y
(ii) xa = ya => x = y

für a, x, y $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G gelten. Zeigen Sie, das G eine Gruppe ist.

Muss ich nicht einfach nur zeigen, dass a das inverse Element ist? Aber... ich weiß nicht, das 'endlich' ist so kusiv gedruckt, das hat sicher eine besondere Bedeutung...

Für Hilfe wär ich echt dankbar

01.11.2006, 11:48

therisen

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Hallo,

die Endlichkeit von G ist von entscheidender Bedeutung bei dieser Aufgabe. Hast du schon mal was von Links- und Rechtstranslation gehört? Die Aussagen (i) und (ii) sind nämlich äquivalent zu
$\begin{eqnarray*} \text{(i')} \quad l_a \; \text{ist injektiv} \\ \text{(ii')} \quad r_a \; \text{ist injektiv} \end{eqnarray*}$

Wegen der Endlichkeit von G folgt nun weiter, dass $\begin{eqnarray*} l_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ sogar bijektiv sind! Damit lässt sich die Aufgabe beweisen.

Gruß, therisen

01.11.2006, 11:57

hilflos

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Ui....

Ne, davon hab ich noch nichts gehört, also zumindest nicht so. Wir hatten Links- und Rechtsneutral bzw Links- und Rechtsinvers.
Aber wie es aussieht ist das ja sowas ähnliches. SO ganz hab ich den Artikel noch nicht verstanden, aber ich les ihn noch ein paar Mal...
Die eigentliche Aussage ist doch nur, was du sagtest, dass die Zuordnung immer injektiv ist, oder?

Okay, dass l_a und r_a bijektiv sein müssen leuchtet mir ein, endliche Gruppen sind immer bijektiv...
aber wie kann ich denn damit weiter vorgehen?
Wenn G eine Gruppe sein soll, muss das Assoziativgesetz gelten, es muss ein neutrales Element geben und ein inverses. Wie kann ich denn dadurch, dass l_a und r_a bijektiv sind zeigen, dass die drei Eigenschaften zutreffen?

01.11.2006, 12:05

therisen

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Zitat:

Original von hilflos
Okay, dass l_a und r_a bijektiv sein müssen leuchtet mir ein, endliche Gruppen sind immer bijektiv...

Eine Gruppe kann nicht bijektiv sein!!!

Zitat:

Original von hilflos
aber wie kann ich denn damit weiter vorgehen?
Wenn G eine Gruppe sein soll, muss das Assoziativgesetz gelten, es muss ein neutrales Element geben und ein inverses. Wie kann ich denn dadurch, dass l_a und r_a bijektiv sind zeigen, dass die drei Eigenschaften zutreffen?

Da G eine Halbgruppe ist, musst du nur noch nachweisen, dass es ein Rechtsinverses und ein Rechtsneutrales gibt. Weißt du, dass das ausreicht?

Weil $\begin{eqnarray*} l_a \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, ist die Gleichung $\begin{eqnarray*} ax=b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} b \in G \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar. Wähle $\begin{eqnarray*} b:=a \end{eqnarray*}$ . Damit folgt, dass es ein rechtsneutrales Element gibt. Bezeichne dieses mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und betrachte die Gleichung $\begin{eqnarray*} ax=e \end{eqnarray*}$ .

Gruß, therisen

01.11.2006, 12:20

hilflos

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Ich glaube das kann ich alles nachvollziehen.

Wenn (i) und (ii) äquivalent zu (i') und (ii') sind, kann ich wegen (i') => ax=b für alle b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G, also auch für b := a auf ein rechtsneutrales Element schließen.
Wegen (ii') => xa=b für alle b Element G, also auch für b:=a kann ich auf ein linksneutrales Element svchließen
Also gibt es ein neutrales Element e in der Gruppe G

Das inverse Element muss ich noch beweisen, also, dass es zu jedem x Element G genau ein inverses Element y Element G mit x o y = y o x = 0 gibt.

Kann ich da wieder (i') und (ii') für benutzen?

01.11.2006, 12:39

therisen

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Warum liest du meine Beiträge nicht vollständig verwirrt

? Die Antworten auf deine neuen Fragen stehen alle schon in meinem letzten Beitrag! Ich zitiere mich einfach mal selbst...

Zitat:

Original von hilflos
Ich glaube das kann ich alles nachvollziehen.

Wenn (i) und (ii) äquivalent zu (i') und (ii') sind, kann ich wegen (i') => ax=b für alle b $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ G, also auch für b := a auf ein rechtsneutrales Element schließen.
Wegen (ii') => xa=b für alle b Element G, also auch für b:=a kann ich auf ein linksneutrales Element svchließen
Also gibt es ein neutrales Element e in der Gruppe G

Zitat:

Original von therisen
Da G eine Halbgruppe ist, musst du nur noch nachweisen, dass es ein Rechtsinverses und ein Rechtsneutrales gibt. Weißt du, dass das ausreicht?

Anmerkung: Du brauchst also gar nicht zeigen, dass es auch ein linksinverses Element gibt, denn für jede Gruppe kann man zeigen, dass aus der Existenz der Rechtsinversen und des Rechtsneutralen folgt, dass auch die Linksinversen und das Linksneutrale existiert.

Zitat:

Original von hilflos
Das inverse Element muss ich noch beweisen, also, dass es zu jedem x Element G genau ein inverses Element y Element G mit x o y = y o x = 0 gibt.

Kann ich da wieder (i') und (ii') für benutzen?

Zitat:

Original von therisen
Bezeichne dieses mit $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ und betrachte die Gleichung $\begin{eqnarray*} ax=e \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung: Statt $\begin{eqnarray*} ax=e \end{eqnarray*}$ hätte ich auch $\begin{eqnarray*} l_a(x)=e \end{eqnarray*}$ schreiben können.

01.11.2006, 13:27

hilflos

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entschuldige, ich lese deine Beiträge vollständig, vielleicht versteh ich nicht alles so wie du es meinst...

Also hab ich gezeigt, dass es ein rechtsneutrales Element gibt und somit, dass es ein linksneutrales Element gibt. Okay. Dann merk ich mir das für die Zukunft, dass es gleichbedeutend ist (bzw, dass es wenn es das eine gibt immer das andere gibt)

Dann betrachte ich

ax= e

e ist mein neutrales Element, also muss a für alle x mein inverses Element sein, damit ich den Ausdruck ax 'neutralisiere'
Ich weiß nicht, wie ich das nennen soll, aber e ist ja neutral, wenn also ax neutral sein soll muss a das 'Gegenteil' zu x sein, also x^-1, demnach also das inverse?

01.11.2006, 13:31

therisen

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Zitat:

Original von hilflos
Also hab ich gezeigt, dass es ein rechtsneutrales Element gibt und somit, dass es ein linksneutrales Element gibt.

Nein, diese Implikation ("Aus dem rechtsneutralen Element folgt das linksneutrale Element") ist falsch. Richtig ist: Sind das rechtsneutrale UND die rechtsinversen Elemente gegeben, dann kann man daraus (man braucht BEIDE Eigenschaften) folgern, dass es stets ein linksneutrales und linksinverse Elemente gibt und diese identisch sind.

Zitat:

Original von hilflos
Dann betrachte ich

ax= e

e ist mein neutrales Element, also muss a für alle x mein inverses Element sein, damit ich den Ausdruck ax 'neutralisiere'
Ich weiß nicht, wie ich das nennen soll, aber e ist ja neutral, wenn also ax neutral sein soll muss a das 'Gegenteil' zu x sein, also x^-1, demnach also das inverse?

Genau falsch rum. Es ist $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest. Da $\begin{eqnarray*} l_a \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} l_a(x)=e \end{eqnarray*}$ . Jetzt fehlt noch ein Satz um den Beweis abzuschließen. Kriegst du das hin?

01.11.2006, 13:39

hilflos

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Zitat:

Original von therisen

Nein, diese Implikation ("Aus dem rechtsneutralen Element folgt das linksneutrale Element") ist falsch. Richtig ist: Sind das rechtsneutrale UND die rechtsinversen Elemente gegeben, dann kann man daraus (man braucht BEIDE Eigenschaften) folgern, dass es stets ein linksneutrales und linksinverse Elemente gibt und diese identisch sind.

Okay, gemerkt, danke!

Zitat:

Original von therisen

Genau falsch rum. Es ist $\begin{eqnarray*} a\in G \end{eqnarray*}$ beliebig, aber fest. Da $\begin{eqnarray*} l_a \end{eqnarray*}$ bijektiv ist, gibt es genau ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} l_a(x)=e \end{eqnarray*}$ . Jetzt fehlt noch ein Satz um den Beweis abzuschließen. Kriegst du das hin?

Also...
Es gibt demnach ja genau jeweils ein x zu genau einem a, wodurch die Gleichung ax=e gegeben ist.
Wenn a fest ist, kann ich demnach nur das x 'verändern'. Es gibt also ein x zu jedem a, also ist x das inverse Element zu a...

G ist eine Gruppe, da die Assoziativität gegeben ist, außerdem besitzt G ein Neutrales Element e und ein Inverses Element x. (e und x sind allgemein neutral bzw invers, durch den Schritt, den du oben erklärt hast, also wieso es nicht nur rechtsinvers bzw -neutral ist)

01.11.2006, 13:41

therisen

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Richtig.

01.11.2006, 13:46

hilflos

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DANKE!

Ich habs sogar verstanden! Ich danke dir für deine Geduld und Mühe!

24.01.2011, 00:33

Exp[log[y]]

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Zitat:

die Endlichkeit von G ist von entscheidender Bedeutung bei dieser Aufgabe. Hast du schon mal was von Links- und Rechtstranslation gehört? Die Aussagen (i) und (ii) sind nämlich äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \text{(i')} \quad l_a \; \text{ist injektiv} \\ \text{(ii')} \quad r_a \; \text{ist injektiv} \end{eqnarray*}$
Wegen der Endlichkeit von G folgt nun weiter, dass $\begin{eqnarray*} l_a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r_a \end{eqnarray*}$ sogar bijektiv sind! Damit lässt sich die Aufgabe beweisen.

Warum folgt gerade aus der Endlichkeit von G die Surjektivität von $\begin{eqnarray*} \quad l_a \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \quad r_a \end{eqnarray*}$ ?

Vielen Dank =)

24.01.2011, 20:51

Exp[log[y]]

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