Basis von Vektoren bestimmen..

08.06.2010, 20:12

Bladecatcher

Basis von Vektoren bestimmen..

Hallo :]

ich hoffe mir kann jemand bei folgender Aufgabe helfen:

Bestimmen Sie für:

$\begin{eqnarray*} U1:=<\left( \begin {array} {c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\\ \end {array} \right), \left( \begin {array} {c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\\ \end {array} \right)>\ , \ U2:=<\left( \begin {array} {c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\\ \end {array} \right), \left( \begin {array} {c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ \end {array} \right)> \end{eqnarray*}$

Eine Basis von $\begin{eqnarray*} U1+U2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U1 \cap U2 \end{eqnarray*}$ .

Zuerst bilde ich die Basis von U1+U2. Dazu prüfe ich auf Lineare Unabhängigkeit, indem ich die vier Vektoren gleich dem Nullvektorsetze.

$\begin{eqnarray*} a\left( \begin {array} {c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 0\\ \end {array} \right)+\ b\left( \begin {array} {c} 1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\\ \end {array} \right)+\ c \left( \begin {array} {c} 1 \\ 1 \\ 1 \\ 1\\ \end {array} \right)+\ d \left( \begin {array} {c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0\\ \end {array} \right) = \left( \begin {array} {c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ \end {array} \right) \end{eqnarray*}$

Dies ist äquivalent zu:

(I) a + b + c = 0
(II) a - b + c + d = 0
(III) a + b + c = 0
(IV) -b + c = 0

(I) und (III) sind gleich. c=b Einsetzen und man erhält:

(I) a + 2b = 0
(II) a + d = 0
(IV) b = c

Offensichtlich also nicht linear unabhängig, sondern linear abhängig und es existiert eine nicht triviale Linearkombination mit der man den Nullvektor erhält (habe bestimmte Werte ausprobiert).

Um nun eine Basis zu bestimmen, muss ich ja diejenigen Vektoren bestimmen, die sich nicht als Linearkombination der anderen darstellen lassen. Bzw. Vektoren rausschmeissen, die sich als Linearkombination der anderen darstellen lassen, oder? Aber wie sehe ich das? Ich weiss, dass es nicht den perfekten Weg gibt. Gehöre aber nicht zu den Leuten, die das sofort erkennen.

Zu $\begin{eqnarray*} U1\cap U2 \end{eqnarray*}$ habe ich noch keine Idee. Schnittmengen sind soweit ich weiß ja mit x€A und x€B, mit x € lR definiert, wenn wir von zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ reden. Bei den Vektoren in der Aufgabe weiss ich nicht wie ich das damit in Verbindung bringen soll.

Wäre super wenn mir jemand helfen könnte.

09.06.2010, 11:13

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Bladecatcher,

Du solltest zuerst mal eine konkrete nichttriviale Darstellung der Null angeben. Dann kannst Du einen beliebigen Vektor, dessen skalarer Vorfaktor dabei nicht Null ist, rausschmeißen, denn den kannst Du ja schließlich durch die anderen Vektoren erzeugen und er ist im Erzeugendensystem überflüssig.
Die verbliebenen Vektoren überprüfst Du dann auf lineare Unabhängigkeit. Falls ja, bist Du fertig, falls nein, machst Du den obigen Schritt noch mal.

Zum Schnitt:
Ein Vektor aus dem Schnitt lässt sich doch sowohl als Linearkombination der Basisvektoren von $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ , als auch von $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ darstellen. Mache also für einen beliebigen Vektor $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ diese zwei Ansätze, setze das dann gleich und Du erhältst ein schönes LGS.
Alternativ kann man aber auch mit der ersten Teilaufgabe schon die Dimension von $\begin{eqnarray*} U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ bestimmen und dann eventuell mit ein wenig Hingucken die Lösung direkt erkennen.

Gruß,
Reksilat.

09.06.2010, 11:16

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieder eine Gelegenheit, für den Zassenhaus-Algorithmus zu werben.

09.06.2010, 11:22

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei laut Wikipedia jeweils Basen der Teilräume gegeben sein müssen, der Algorithmus funktioniert aber auch schon wenn nur Erzeugendensystem gegeben sind.

09.06.2010, 16:05

Bladecatcher

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe mir den Zassenhaus-Algorithmus näher angeschaut, weil er wohl genau das ist was man für die Aufgabe braucht. Habe ihn soweit verstanden und versucht das auf die Aufgabe anzuwenden.

Als erstes U1 und U2 in die Matrix eintragen

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{*{2}{c}{c}{c}|c c c c} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

2. mit 4. Zeile vertauschen und koeffizienten der 1. Spalte eliminieren

$\begin{eqnarray*} \left( \begin{array}{*{2}{c}{c}{c}|c c c c} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 0 & -1 & 0 & -2 & 0 & -1\\ \end{array} \right) \end{eqnarray*}$

Und hier komme ich nicht mehr weiter. In anderen Beispiel habe ich gesehen, dass man soweit rechnet bis sich die Diagonale von einsen bildet. Aber bei mir geht das nicht auf wie man sieht. Vertauschen kann ich auch nichts mehr?

09.06.2010, 16:06

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst mit der 1 in der zweiten bzw. dritten Spalte doch noch weiter ausräumen, unten erhälst du dann eine Nullzeile.

09.06.2010, 16:11

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst den Zassenhaus-Algorithmus anwenden, wenn Du die Idee dahinter verstanden hast. Ihn zu benutzen, bevor Du überhaupt weißt, wie man eine solche Aufgabe löst, halte ich für vollkommen unsinnig, da Du dann das Prinzip dahinter nicht kennst.

Zum Vergleichen für eine Probe mag das in Ordnung sein, aber einfach blind einem Algorithmus zu vertrauen ist der falsche Weg.

09.06.2010, 16:12

Bladecatcher

Auf diesen Beitrag antworten »

wie dämlich, dass ich das nicht gesehen habe. danke. ich schaue weiter.

09.06.2010, 16:25

Bladecatcher

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Reksilat
Du kannst den Zassenhaus-Algorithmus anwenden, wenn Du die Idee dahinter verstanden hast. Ihn zu benutzen, bevor Du überhaupt weißt, wie man eine solche Aufgabe löst, halte ich für vollkommen unsinnig, da Du dann das Prinzip dahinter nicht kennst.

Zum Vergleichen für eine Probe mag das in Ordnung sein, aber einfach blind einem Algorithmus zu vertrauen ist der falsche Weg.

Du hast recht. Im Internet habe ich keine Erklärung gefunden für den Algorithmus. Habe versucht die Beispiele nachvollzuhiehen. Geht aber bei meiner Aufgabe nicht auf.

Ich gehe gerade den Weg, den du vorgeschlagen hast, da ich keine Erklärung finde für den Zassenhaus-Algorithmus.

09.06.2010, 17:15

Bladecatcher

Auf diesen Beitrag antworten »

okay. ich habe jetzt eine basis aus U1 + U2 bestehend aus den drei vektoren, da der Nullvektor nur mit a=b=c=0 möglich ist:

(1,1,1,0)
(1,-1,1,-1)
(0,1,0,0)

Jetzt habe ich aber noch das Problem mit der Schnittmenge..

Wenn x ein Vektor ist, der sowohl als Linearkombination von U1, als auch von U2 dargestellt werden kann, dann gilt ja:

x = (a*v1+bv2) = (c*w1 +d*w2).

$\begin{eqnarray*} v_i \in U1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w_i \in U2 \end{eqnarray*}$

Und das dann nach Nullvektor umformen? Dann untersuche ich wieder auf Lineare Unabhängigkeit und bestimmte die Basis. Und das ist dann die Basis von $\begin{eqnarray*} U1 \cap U2 \end{eqnarray*}$ ? Und was ist dann mein x? Ich steige da nicht durch..

09.06.2010, 17:28

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst Du mit "nach Nullvektor umformen"?

Jeder Vektor im Schnitt liegt doch insbesondere in $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ und hat somit eine Darstellung als $\begin{eqnarray*} x=av_1+bv_2 \end{eqnarray*}$ . Es gilt nun nur noch Einschränkungen an die Parameter a und b zu finden, denn sonst wäre der Schnitt ja schon der ganze $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ .

Dadurch, dass x auch in $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ liegt, erhältst Du ein Gleichungssystem: x=(a*v1+bv2) = (c*w1 +d*w2)
bzw.: $\begin{eqnarray*} 0=av_1+bv_2-cw_1 -dw_2 \end{eqnarray*}$

(Fast genau) dieses System hast Du oben ja schon gelöst. Du bekommst damit eine Einschränkung an die beiden Parameter a und b und kannst damit alle $\begin{eqnarray*} x\in U_1\cap U_2 \end{eqnarray*}$ als Linearkombination von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_2 \end{eqnarray*}$ darstellen.

09.06.2010, 17:49

Bladecatcher

Auf diesen Beitrag antworten »

danke, dass du mir so schnell antwortest.

mit Nullvektor meinte ich genau das was du gemacht hast, also 0 = a*v1 + b*v2 +..usw

Ich bekomme raus:

a=-2b
b=-c
d=-2b

Die Einschränkung für a und b ist demnach a =-2b und b wird beliebig gewählt, also:

$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = -2b(v_1) + b(v_2) = -2b(1,1,1,0) + b(1,-1,1,-1) = (-b,-3b,-b,-b) \end{eqnarray*}$

ist das richtig so?

Und was ist dann die Basis davon?

09.06.2010, 18:27

Reksilat

Auf diesen Beitrag antworten »

Also es ist:
$\begin{eqnarray*} U_1 \cap U_2 = \{ (-b,-3b,-b,-b)|b\in K\} \end{eqnarray*}$
(Bei Deiner Gleichung stand auf der einen Seite eine Menge und auf der anderen Seite ein Vektor - das ist Unfug!)

Und welcher Vektor $\begin{eqnarray*} \{ b\cdot (-1,-3,-1,-1)|b\in K\} \end{eqnarray*}$ aufspannt, wirst Du doch selbst noch rausbekommen. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.
(Feierabend für heute)

09.06.2010, 19:35

Bladecatcher

Auf diesen Beitrag antworten »

OK! danke dir für deine Hilfe <3

Neue Frage »

Antworten »

Basis von Vektoren bestimmen..

Verwandte Themen