Geschlossene Form der Potenzreihe finden

08.06.2010, 21:46	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Geschlossene Form der Potenzreihe finden Hallo zusammen, folgende Aufgabe ist bisschen schwierig für mich: Finden Sie jeweils eine "geschlossene Form" der Potenzreihe innerhalb ihres Konvergenzkreises: $\begin{eqnarray} M(x)=\sum\limits_{n=1}^\infty nx^{(n-1)} \end{eqnarray*}$ Also habe mich mal schlau gemacht im Forum und im Internet was eine geschlossene Form ist, und dachte eigentlich, hier liegt eine geschlossene Form schon vor...Und was hat dies alle mit dem Konvergenzkreis zu tun? Konvergenzradius habe ich berechnet, der ist hier 1. Das heißt für Werte zwischen 1 und -1 für x erhalte ich Konvergenz. In meiner Vorlesung habe ich mitbekommen, dass man hier gliedweiße integrieren muss und anschließend das integrierte wieder ableiten muss, nur verstehe ich den Sinn dahinter nicht so wirklich. Könnte mir da vielleicht jemand auf die Sprünge helfen? Dankeschön
08.06.2010, 21:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nur der Anleitung folgen. Berechne $\begin{eqnarray} \int_0^x M(t)dt \end{eqnarray}$ und leite anschließend nach x ab. Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung ist dein Ergebnis dann $\begin{eqnarray} M(x) \end{eqnarray}$
08.06.2010, 22:08	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
wo kommt denn nun die Variable t her? Also oberes integriert wäre ja x^n ...verstehe gerade nur deinen Formalismus nicht ganz...wenn ich das dann mal habe kommt meine Verständnisfrage ;-)
09.06.2010, 15:54	Physinetz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok stand wohl etwas auf dem Schlau mit der Variablen t, ich dummie^^ Also wäre ja dann: $\begin{eqnarray} \int_0^x M(t)dt= x^n \end{eqnarray}$ Und jetzt wieder ableiten? Und was ist da der Sinn von wenn ich integriere und dannach wieder differenziere? Und wieso betrachte ich das ganze innerhalb des Konvergenzkreises?
09.06.2010, 16:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \int_0^x nt^{n-1}dt=x^n \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} M(t)=\sum_{n=1}^{\infty}nt^{n-1} \ne nt^{n-1} \end{eqnarray}$ . Du solltest das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^x M(t)dt \end{eqnarray}$ berechnen.

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