zeige, dass {3,5} ein minimales Erzeugendensystem des Z-Moduls Z ist

09.06.2010, 00:52

Duude

zeige, dass {3,5} ein minimales Erzeugendensystem des Z-Moduls Z ist

Hallo,
ich bin gerade an dieser Aufgabe:

Zeigen Sie, dass {3,5} ein minimales Erzeugendensystem des $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ - Moduls $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist (in dem Sinne, dass man kein Element weglassen kann) aber keine Basis. Können Sie auch eine 3-elementige Menge angeben, die ein minimales Erzeugendensystem bildet (eine n-elementige Menge für beliebiges n?)

Das ist ja eigentlich eine Aufgabe die sich steigert. Ich hänge leider schon beim ersten Teil.
Ich weiß, dass ein minimales Erzeugendensystem eine Basis ist und eine Basis eine maximal linear unabhängige Teilmenge ist. Eine Basis hat immer genau so viele Elemente, die es Dimensionen gibt. Im 2-dimensionalen gibt es also 2 Basiselemente, im n-dimensionalen n Stück.

Bei Moduln weiß ich, dass dass das erste Z bedeutet, dass ich nur Koeffzienten aus den ganzen Zahlen wählen darf. Und das zweite Z bedeutet, dass ich nur Elemente aus Z wählen darf.
Auf diese Weise bekomme ich eine Linearkombination.

Ich hätte hier so argumentiert, dass ich mit der 5 und der 3 die eins erzeugen kann. Und zwar durch 3+3-5=1. Und wenn ich die 1 habe, kann ich den gesamten Raum aufspannen. Wir befinden uns hier ja im 1-dimensionalen. Wenn ich die 3 weglassen würde, könnnte ich nur Vielfache von 5 darstellen und wenn ich die 5 weglassen würde, nur Vielfache von 3.
Man kann also kein Element weglassen. Es ist aber keine Basis, da es 2 Elemente enthält, wir uns aber im 1-dimensionalen befinden.

Stimmt die Argumentation so?

Bei der 3-elementigen Menge, die ein minimales Erzeuendensystem bildet, bin ich mir auch nicht sicher. Ich habe überlegt, diese mit Primzahlen zu konstruieren. Aber wenn ich die Menge M (2,3,5) nehme,kann ich mit der 2 und der 3 ja die 5 darstellen. Also könnte ich die 5 ja weglassen.
Und genau da liegt mein Problem bei der 3-elementigen Menge. Mit zwei verschiedenen Zahlen kann ich doch stets die 1 konstruieren. Dann würde es ja gar keine 3-elementige Menge geben, die das erfüllt. Ebenso gäbe es auch keine n-elementige Menge.

Das verwundert mich aber, da die Aufgabenstellung eigentlich schon sagt, dass es solche Mengen geben muss.

Ich freue mich über alle Tipps.
Duude

09.06.2010, 02:18

gonnabphd

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Zitat:

Mit zwei verschiedenen Zahlen kann ich doch stets die 1 konstruieren.

Nein, und hier liegt auch genau die Idee. Die 1 kann man nämlich mit verschiedenen ganzen Zahlen genau dann konstruieren, wenn der ggT dieser Zahlen 1 ist, oder anders ausgedrückt: wenn die Zahlen teilerfremd sind.

Die einfachsten drei Zahlen, die die zweite Aufgabenstellung erfüllen, wären wohl {6,10,15}.

1.) Weise nach, dass diese Zahlen ein minimales Erzeugendensystem bilden.
2.) Finde heraus, wie ich auf die Zahlen gekommen bin.

Sobald du verstanden hast, nach welchem Prinzip ich vorgegangen bin, sollte der allgemeine Fall für ein beliebiges n nicht mehr unüberwindbar sein.

Wink

09.06.2010, 09:31

Duude

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Vielen Dank erst mal für deine Antwort.

Zuerst einmal zum Beweis, dass diese 3 Faktoren ein minimales Erzeugendensystem bilden:
Das bedeutet ja, dass ich keinen der Faktoren weglassen kann, wenn ich den gesamten Raum aufspannen möchte.
10-15+6=1 somit kann ich mit den drei Zahlen die eins erreichen und damit auch durch Addition den gesamten Raum der ganzen Zahlen.

Angenommen, ich könnte die 6 weglassen. Mit 15 und 10 kann ich durch Addition und Subtraktion nie die 1 erzeugen, da die Differenz immer ein Vielfaches von 5 ist.

Angenommen ich könnte die 10 weglassen. mit 15 und 6 kann ich nie die 1 erzeugen, da die Differenz immer ein Vielfaches von 3 ist.

Angenommen ich könnte die 15 weglassen. Mit 6 und 10 kann ich nie die 1 erzeugen, da die Differenz immer ein Vielfaches von 2 ist.

Also liegt ein minimales Erzeugendensystem vor.

Stimmst du mir da zu?

Analog kann ich dann auch bei meinem ersten Fall {3,5} argumentieren.
Dies ist ein minimales Erzeugendensystem, da ich damit die 1 erzeugen kann und wenn ich einen der Faktoren weglasse, nur Vielfache von 3 oder 5 erzeugen kann.

Jetzt habe ich einmal versucht herauszufinden, wie du auf die Zahlen {6, 10, 15} gekommen bist.

Dazu habe ich sie in Linearfaktoren zerlegt:
6=2 *3
10= 2 * 5
15= 3 * 5

Diese Linearfaktoren (also hier 2, 3 und 5) sind alles Primzahlen. Und es kommt keine Primzahl in allen drei Zahlen vor, sodass sie teilerfremd sind.

Wenn ich also noch die nächste Primzahl 7 dazunehmen würde, dann erhalte ich
2*3=6
2*5=10
3*5=15
2*7=14
3*7=21
5*7=35
2*3*5=30
2*3*7=42
2*5*7=70
3*5*7=103

Also habe ich hier 10 verschiedene Zahlen M= {6,10,15,14,21,35,30,42,70,103}

Also das die Menge, die man mit 4 Primzahlen erzeugen kann.
Wenn ich mir das also für beliebiges n übelegen soll, könnte ich für 3<n<10 einfach eine Teilmenge aus M auswählen.
Wenn ich ein n >10 betrachte, muss ich dieselbe Prozedur für 5 Primzahlen durchführen und so weiter.

Was meinst du dazu?
Ich finde es hier allerdings schwierig, eine allgemeine Formel für n aufzustellen... Wenn ich die Primzahlen einmal als $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ bezeichne, könnte ich mir das für beliebiges n so vorstellen:
minimales Erzeugendensystem für beliebiges $\begin{eqnarray*} n= \{ p_1 \cdot p_2, p_1 \cdot p_3, p_2 \cdot p_3, p_1 \cdot p_4, p_1 \cdot p_2, p_1 \cdot p_3, p_1 \cdot p_4 \ldots\} \end{eqnarray*}$
Diese Menge würde ich also nur aus jeweils zwei Primzahlelementen aufbauen und mir dann eben die ersten n aussuchen. Darf ich das, oder muss ich die Kombinationen, die es mit 3 oder mehr Primzahen gibt auch noch berücksichtigen?

Gruß,
Duude

09.06.2010, 11:35

Reksilat

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Schau Dir doch mal die Menge M= {6,10,15,14,21,35,30,42,70,103} genau an.
Da sind zum Beispiel 14 und 15 drin, die beiden erzeugen schon die 1(=15-14) und somit ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Auch Dein obiges Erzeugendensystem {6,10,15} ist enthalten. Ein minimales Erzeugendensystem kann es also nicht sein.

Du findest aber eine 4-elementige Teilmenge darin, die ein minimales Erzeugendensystem ist.
Finde diese und Du hast auch das Prinzip verstanden. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

09.06.2010, 15:48

Duude

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Ich glaube ich habe die 4-elementige Teilmenge gefunden, die ein minimales Erzeugendensystem ist. Sie lautet $\begin{eqnarray*} M_4=\{30,42,70,103\} \end{eqnarray*}$

Dies ist der Fall weil
2*3*5=30
2*3*7=42
2*5*7=70
3*5*7=103
Wenn ich einen der 4 Elemente meiner Menge streiche, sind die anderen 3 linear abhängig. Angenommen ich streiche die 30, dann ist in allen anderen der Faktor 7 enthalten. Somit ist der ggT(42,70,103)=7 und nicht mehr 1.
Die anderen 3 Fälle funktionieren analog

Und das war ja gerade die Bedingung, die ich brauche:

Zitat:

Die 1 kann man nämlich mit verschiedenen ganzen Zahlen genau dann konstruieren, wenn der ggT dieser Zahlen 1 ist, oder anders ausgedrückt: wenn die Zahlen teilerfremd sind.

Jetzt nähere ich mich der n-elementigen Teilmenge an, die ein minimales Erzeugendensystem ist.

Bei einer 5-elementigen Menge, wäre da

2*3*5*7 =210
2*3*5* 11=330
2*3* *7*11=462
2* 5*7*11=770
3*5*7*11=1150

Für die n-elementige Teilmenge führe ich das einfach mit n Primzahlen durch.

Dann ergibt sich meine n-elementige Teilmenge $\begin{eqnarray*} M_n=\{z_1, z_2, \ldots, z_n\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_1= p_1 \cdot \ldots \cdot p_{n-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_2= p_1 \cdot \ldots \cdot p_{n-2}\cdot p_n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vdots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z_n= p_2 \cdot \ldots \cdot p_{n-1} \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt $\begin{eqnarray*} z_j \end{eqnarray*}$ weglässt, ist der größte gemeinsamt Teiler nicht mehr 1, sondern die Primzahl $\begin{eqnarray*} p_{1-j+1} \end{eqnarray*}$ und man kann dann nicht mehr ganz Z erzeugen.

Seid ihr da einverstanden?

Gruß,
Duude

09.06.2010, 16:13

Reksilat

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