Kern und Bild bei linearer Abbildung

09.06.2010, 08:40	Farmosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Kern und Bild bei linearer Abbildung Es geht um folgende AUfgabe: [attach]15107[/attach] Ich sehe ja, dass $\begin{eqnarray} \varphi \end{eqnarray}$ die Identität ist (?), da eine doppelte AUsführung von $\begin{eqnarray} \varphi = \varphi \end{eqnarray}$ ist und das die dimension von V endlich ist. Bei der a soll man ja zeigen, dass der Nullraum vereinigt mit dem Spaltenraum (wenn ich die Definitionen richtig verstanden habe) gleich der Menge mit dem Element 0 ist. Es ist bestimmt nur ein anwenden von Definitionen, aber ich krieg momentan keinen Zusammenhang zwischen der Aufgabenstellung und den Teilaufgaben hergestellt. Ein schubs in die richtige Denkrichtung würd mir schon sehr helfen Schonmal besten Dank im vorraus. Gruß Edit: Ich hab keine Ahnung wieso das Bild in der Vorschau invertiert wurde o.0
09.06.2010, 08:47	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das muss nicht unbedingt die Identität sein (was auch in Teilaufgabe c) ersichtlich werden sollte, sonst würde da die Einheitsmatrix stehen). Für die Aufgabe a): Sei $\begin{eqnarray} v\in\operatorname{Kern} (\varphi)\cap \operatorname{Bild}(\varphi) \end{eqnarray}$ bel., zeige jetzt, dass v=0 ist (anwenden der Tatsache, dass $\begin{eqnarray} \varphi\circ\varphi =\varphi \end{eqnarray}$ ist).
09.06.2010, 08:56	Farmosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Morgen Iorek Danke für den Hinweis, werd mir das gleich auf der Arbeit mal in RUhe reinziehn Gruß und einen schönen Morgen ^^
09.06.2010, 20:44	Farmosch	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das für die a und b ausreichend, oder muss man da mehr zu erklären? a) Sei $\begin{eqnarray} v \in Kern(\varphi) \cap Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ beliebig. Da $\begin{eqnarray} v \in Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ gilt, es existiert ein w $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ V mit $\begin{eqnarray} \varphi(w) \end{eqnarray}$ = v. Dann erhalten wir $\begin{eqnarray} v = \varphi(w) = (\varphi \circ \varphi )(w) = \varphi (v) = 0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} v \in Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ . D.h. $\begin{eqnarray} Kern(\varphi) \cap Bild(\varphi) = {0} \end{eqnarray}$ . b) d.h. für jedes $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} v = v_1 + v_2 \end{eqnarray}$ , mit $\begin{eqnarray} v_1 \in Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_2 \in Bild(\varphi) \end{eqnarray}$ . Betrachte $\begin{eqnarray} v = v + \varphi(v) - \varphi(v) \end{eqnarray}$ . z.z. $\begin{eqnarray} v - \varphi (v) \in Kern(\varphi) \end{eqnarray}$ . Dann gilt $\begin{eqnarray} \varphi (v -\varphi (v)) = \varphi (v)- \varphi(\varphi(v)) = 0 \end{eqnarray}$ , da $\begin{eqnarray} \varphi (v) = \varphi \circ \varphi (v) \end{eqnarray}$ gilt.
09.06.2010, 21:40	Airblader	Auf diesen Beitrag antworten »
Beides vollkommen korrekt, bei der b) würde ich jetzt aber noch deutlich hinschreiben was v_1 und v_2 sind und was du gezeigt hast. air
09.06.2010, 22:21	Farmosch	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay nur bei der c habsch absolut keine Ahnung was ich tun kann / soll
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