Können die Vektoren als Linearkombination dargestellt werden?

10.06.2010, 15:39

seeigel

Können die Vektoren als Linearkombination dargestellt werden?

Meine Frage:
Hallo, ich komme bei meiner Aufgabe leider nicht weiter und bräuchte ein wenig Hilfe.

Können die Vektoren 0= (0,0,0,0)^T und b=(-1,1,-8,21)^T als Linearkombination der Vektoren a(1)=(1,2,-1,-3)^T, a(2)=(2,4,-2,-6)^T und a(4)=(0,-1,2,3)^T dargestellt werden? Geben Sie alle Darstellungen in vektorieller Schreibweise an.

Die Zahlen in den Klammern bei a(), die sind eigentlich tiefgestellt.

Meine Ideen:
1. Entwickeln der Matrix mit Gauß-Al. edit kurellajunior: Matrix als $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$ eingebaut
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1 \\ 2 & 4 & 3 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & -2 & 1 & 2 & 0 & -8 \\ -3 & -6 & 2 & 3 & 0 & -21 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Zwischenschritte habe ich mal weggelassen. Sollte so eigentlich stimmen:

1 2 2 0 0 -1
0 0 -1 -1 0 3
0 0 0 -1 0 0
0 0 0 0 0 0

Und jetzt hatten wir in der Übung, das

a) x = t * (-2,1,0,0)^T aufgrund dieser Formel -2*t*a(1)+t*a(2)=0 (homogenes LGS)
b)x= (5,0,-3,0)^T + t*(-2,1,0,0)^T (inhomogenes LGS)

Leider komme ich gar nicht auf diese beiden Ergebnisse von a) und b). Könnt Ihr mir dabei helfen bzw. einen Gedankenanstoß geben?

Ich weiß, dass die Lösung des inhomogene LGS sich aus der speziellen Lösung des inh. LGS + der allg. Lösung des homogenen LGS zusammensetzt.

Aber trotzdem hänge ich.

Vielen Dank schon mal.

10.06.2010, 16:23

kurellajunior

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Hallo im Forum Willkommen

3 Anmerkungen:
1. guck dir mal den Formeleditor hier an, damit lässt sich sowas sehr lesbar schreiben. Dann ist auch die Chance höher, dass einer, der sich damit auskennt sich der Sache gerne annimmt
2. ist Dir aufgefallen, dass $\begin{eqnarray*} \vec{a}_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a}_2 \end{eqnarray*}$ kolinear sind? $\begin{eqnarray*} \vec{a}_2=2\vec{a}_1 \end{eqnarray*}$
3. es scheint $\begin{eqnarray*} \vec{a}_3 = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu fehlen?

10.06.2010, 16:48

seeigel

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Stimmt, $\begin{eqnarray*} \vec{a}_{3} \end{eqnarray*}$ fehlt bei mir. Danke für die Info. Das $\begin{eqnarray*} \vec{a}_{2} \end{eqnarray*}$ das doppelte von $\begin{eqnarray*} \vec{a}_{1} \end{eqnarray*}$ habe ich jetzt auch gesehen, aber trotzdem komme ich nicht weiter.

11.06.2010, 08:55

kurellajunior

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Tust Du mir noch den Gefallen und formatierst Deinen ersten Beitrag durch?
Dann werde ich mich daran mal probieren smile

11.06.2010, 13:12

seeigel

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Okay, neuer Versuch.

Können die Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(0,0,0,0\right)^{T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(-1,1,-8,-21\right)^{T} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_{1}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(1,2,-1,-3\right)^{T} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{a_{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(2,4,-2,-6\right)^{T} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{a_{3}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(2,3,1,2\right)^{T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a_{4}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(0,-1,2,3\right)^{T} \end{eqnarray*}$ dargestellt werden? Geben Sie alle Darstellungen in vektorieller Schreibweise an.

Meine Ideen:
1. Entwickeln der Matrix mit Gauß-Al.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1\\ 2 & 4 & 3 & -1 & 0 & 1\\ -1 & -2 & 1 & 2 & 0 & -8\\ -3 & -6 & 2 & 3 & 0 & -21 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Zwischenschritte habe ich mal weggelassen. Sollte so eigentlich stimmen:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & -1 & -1 & 0 & 3\\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und jetzt hatten wir in der Übung, das

a) x = t* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ homogenes LGS (Die Formel aus meinem ersten Beitrag habe auch ich jetzt kapiert. Ist eigentlich auch logisch, wenn man die Werte einsetzt Tanzen

)
b) x = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ + t* $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ inhomogenes LGS

So, ich glaube, ich habe alles drin, was wichtig ist.

11.06.2010, 13:55

kurellajunior

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Jetzt weiß ich nicht genau, was Deine Frage ist diese (2) Frage(n)

Zitat:

Original von seeigel
Können die Vektoren a) $\begin{eqnarray*} \vec{0} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(0,0,0,0\right)^{T} \end{eqnarray*}$ und b) $\begin{eqnarray*} \vec{b} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(-1,1,-8,-21\right)^{T} \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{a_{1}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(1,2,-1,-3\right)^{T} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{a_{2}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(2,4,-2,-6\right)^{T} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \vec{a_{3}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(2,3,1,2\right)^{T} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{a_{4}} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \left(0,-1,2,3\right)^{T} \end{eqnarray*}$ dargestellt werden? Geben Sie alle Darstellungen in vektorieller Schreibweise an.

Hast Du durch das erfolgreiche Lösen des LGS mit einem klaren JA beantwortet.
Das einzige was Dir jetzt noch fehlt, ist die einzelnen Elemente des jeweiligen Lösungsvektors als linearkombination der Vectoren $\begin{eqnarray*} \vec{a}_1, \vec{a}_2, \vec{a}_3, \vec{a}_4 \end{eqnarray*}$ zu schreiben - quasi als Antwortsatz.

Oder habe ich die eigentliche Frage übersehen?

11.06.2010, 16:06

seeigel

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Mich interessiert an der ganzen Aufgabe eigentlich nur, wie man auf diese -2 und 1 bei a) kommt. Ich habe schon hin und her gerechnet, aber ich bekomme die einzelnen Werte für $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ usw. nicht raus. Verstehst was ich meine?

11.06.2010, 22:57

kurellajunior

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Ja, verstehe.

Weißt Du, dass diese schöne große Matrix die Kurzschreibweise für zwei LGS ist?

Ich schreibs sicherheitshalber nochmal hin, vielleicht siehst Du es dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1x_1 &+ 2x_2 & + 2x_3 &+ 0x_4 &= 0 \\ 0x_1 &+ 0x_2 &-1x_3 &-1x_4 &= 0 \\ 0x_1 &+ 0x_2 &+0x_3 &-1x_4 &= 0 \\ 0x_1 &+ 0x_2 &+ 0x_3 &+ 0x_4 &= 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und jetzt in schön:
$\begin{eqnarray*} \begin{matrix} 1x_1 &+ 2x_2 & + 2x_3 & &= 0 \\ & &-1x_3 &-1x_4 &= 0 \\ & & &-1x_4 &= 0 \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Wenn Du es siehst, fällt Dir auf das $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ nur eine von vielen Möglichkeiten ist, dieses LGS zu lösen.

12.06.2010, 10:53

seeigel

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Okay. Aber entweder bin ich total blöd oder sehe es einfach nicht. Ich muss doch einfach die Gleichungen umstellen, um so auf die einzelnen x-Werte zu kommen. Wenn ich die Gleichungen umstelle, dann komme ich für $\begin{eqnarray*} x_{4} \end{eqnarray*}$ auf Null. Und bei $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ auch auf Null. Also müsste ich doch, um auf $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ zu kommen, einen Parameter einsetzen, um mein Ergebnis zu erhalten, oder? Ich weiß, ich bin kompliziert und denke warscheinlich zu schwer. Aber ich komme nicht auf dieses Ergebnis.

Ich schreib mal mein Rechenweg auf, wie ich es denke:

-1 $\begin{eqnarray*} x_{4} \end{eqnarray*}$ = 0 /: -1 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{4} \end{eqnarray*}$ = 0
einsetzen in
-1 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ - 0 = 0 /: -1 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{3} \end{eqnarray*}$ = 0
und wenn ich dieses jetzt in die "erste Gleichung" einsetze, müsste ich doch einen Parameter wählen, weil ich sonst $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ auf der linken und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite habe oder andersherum. Da besteht mein Problem.

12.06.2010, 11:26

kurellajunior

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Zitat:

Original von seeigel
Ich schreib mal mein Rechenweg auf, wie ich es denke:

-1 $\begin{eqnarray*} x_{4} \end{eqnarray*}$ = 0 /: -1 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{4} \end{eqnarray*}$ = 0
einsetzen in
-1 $\begin{eqnarray*} x_{3} \end{eqnarray*}$ - 0 = 0 /: -1 $\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{3} \end{eqnarray*}$ = 0
und wenn ich dieses jetzt in die "erste Gleichung" einsetze, müsste ich doch einen Parameter wählen, weil ich sonst $\begin{eqnarray*} x_{1} \end{eqnarray*}$ auf der linken und $\begin{eqnarray*} x_{2} \end{eqnarray*}$ auf der rechten Seite habe oder andersherum. Da besteht mein Problem.

Alles korrekt und Dein Problem teilen viele. Ja es gibt Momente in der Mathematik wo Du Dir einfach was aussuchen kannst smile

Der Einfachheit halber nehmen die Faulen Mathematiker dann gerne eine $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ für den einen Parameter (hier $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ und berechnen den anderen.
Es wäre auch vollkommen richtig irgendeine andere Zahl zu nehmen. (Nur 0 ist nicht hilfreich Augenzwinkern