Determinantenfunktion - Multilinearität zeigen

11.06.2010, 13:56

Tina_und_Cathy

Determinantenfunktion - Multilinearität zeigen

Hallo,

wir haben folgende aufgabe, bei der wir nicht wissen, wie wir beginnen können

Zitat:

Sei für einen kommutativen Ring R die Abbildung $\begin{eqnarray*} D: R^(n\times n) -> R \end{eqnarray*}$ , durch die folgende formel gegeben:

$\begin{eqnarray*} D((a_{ij}))=\sum\limits_{\pi \in S_n} sgn(\pi ) a_{\pi (1),1} ... a_{\pi (n),n} \end{eqnarray*}$

Zeigen sie, dass diese abbildung multilinear ist.

Multilinearität haben wir in der vorlesung wie folgt definiert:

$\begin{eqnarray*} D(s_{1}...s_{j-1},as_{j}+bs'_{j},s_{j+1},...,s_n)=aD(s_1,...s_{j-1},s_j,s_{j+1},...s_n) + bD(s_1,...s_{j-1},s'_j,s_{j+1},...s_n) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \forall 1\leq j\leq n , a,b\in R , s_1...s_n,s'_j \in R^n \end{eqnarray*}$

nur wie können wir das bei der Leibniz formel anwenden? wir haben einfach keine idee, wie wir hier beginnen könnten. Hat jemand einen tipp für uns?

danke schonmal an alle helfer smile

11.06.2010, 15:02

Ehos

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Eigentlich ist die Multilinearität n-dimesnionaler Determinanten sofort klar. Ich argumentiere mal im Fall n=3. Hier lautet die Determinante:

$\begin{eqnarray*} det(a_i,b_j,c_k)=a_1b_2c_3+a_2b_3c_1+a_3b_1c_2-a_1b_3c_2-a_2b_1c_3-a_3b_2c_1 \end{eqnarray*}$

Zu beweise ist die Homogenität und die Additivität, was zusammen Linearität bedeutet.

1. Homogenität
Homogenität bedeutet, dass man bei Multiplikation eines beliebiges Argument mit einer Konstante C, diese Konstante vor die Determinante ziehen kann, z.B. beim ersten Argument

$\begin{eqnarray*} det(C\cdot a_i,b_j,c_k)=C\cdot det(a_i,b_j,c_k) \end{eqnarray*}$ .

Diese Eigenschaft ist anhand der obigen Summe offensichtlich, weil die Komponente $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ mit n=1,2,3 in jedem Summanden genau ein Mal als Faktor vorkommt. Damit kann man natürlich den Faktor C "ausklammern". Das gleiche gilt auch für die anderen Argumente. Da gibt es nicht viel zu beweisen.

2. Additivität
Additivität bedeutet, dass bei Zerlegung eines Argumentes in eine Summe auch die Determinante in eine Summe zerfällt, also z.B.

$\begin{eqnarray*} det(\underbrace{a'_i+a''_i}_{a_i},b_j,c_k)=det(a'_i,b_j,c_k)+det(a''_i,b_j,c_k) \end{eqnarray*}$

Auch diese Eigenschaft ist anhand der obigen Summe offensichtlich mit dem gleichen Argument wie bei der Homogenität. Mal Einsetzen und ausrechnen! Auch hier gibt's nicht viel zu beweisen.

11.06.2010, 16:37

Tina_und_Cathy

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danke für deine antwort Ehos, wir werden uns jetzt mal daran versuchen, und wenn wir weitere fragen haben, werden wir uns wieder melden smile

11.06.2010, 17:28

Tina_und_Cathy

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hallo,

uns kommt das irgendwie zu einfach vor, und deshalb sind wir uns unsicher, ob das, was wir gemacht haben, richtig ist. könntest du noch einmal drüber schauen?

zur homogenität:

Sei $\begin{eqnarray*} b\in \end{eqnarray*}$ R

$\begin{eqnarray*} D((ba_{ij})=\sum\limits_{\pi \in S_n} b(sgn(\pi )*a_{\pi (1),1}*...*a_{\pi (n),n} ) =b*\sum\limits_{\pi \in S_n} sgn(\pi )*a_{\pi (1),1}*...*a_{\pi (n),n} =b*D((a_{ij})) \end{eqnarray*}$

zur additivität:

$\begin{eqnarray*} D(a'_{ij}+a''_{ij}) =\sum\limits_{\pi \in S_n} sgn(\pi )*(a'_{\pi (1),1}+a''_{\pi (1),1})*...*(a'_{\pi (n),n}+a''_{\pi (n),n}) =\sum\limits_{\pi \in S_n} sgn(\pi )*a'_{\pi (1),1}*...*a'_{\pi (n),n} + \sum\limits_{\pi \in S_n} sgn(\pi )*a''_{\pi (1),1}*...*a''_{\pi (n),n} =D(a'_{ij})+D(a''_{ij}) \end{eqnarray*}$

irgendetwas ist mit der formatierung schief gegangen, aber ich hoffe, man kann es trotzdem erkennen.

danke und liebe grüße von uns smile

11.06.2010, 18:35

Elvis

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Ja das kann man erkennen, aber nicht verstehen, denn so einfach is das nun doch nicht. Es gilt ja z.B. nicht einfach (1+2)*(3+4)=(1*2)+(3*4). Da muss schon noch ein bißchen mehr dahinter stecken...

12.06.2010, 18:25

Tina_und_Cathy

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hallo,

wir haben jetzt unsere (denk)fehler gefunden und entsprechend korrigiert, und müssten jetzt die lösung haben.

danke für eure hilfe smile

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