Extremwertaufgabe mit Parameter |
| 13.06.2010, 18:03 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgabe mit Parameter Habe mal wieder ein Problem mit einer Aufgabe : Für t > 0 ist die Funktion f klein t gegeben durch f klein t (x) = tx^3 - 4,5tx² + 6tx + 3 - 2t. Die Wendetangente des Schaubildes von f klein t und die Koordinatenachsen begrenzen ein Dreieck. Untersuchen sie, ob es einen Wert für t gibt, für den INhalt dieses Dreiecks extremal wird und um welche Art von Extremum es sich gegebenfalls handelt. Die Aufgabe find ich ziemlich schwer... Ich mein, die Wendetangente bildet die Hypotenuse, die Achsen die Katheten. Zielfunktion : A(x,y) = 1/2 * x*y Nebenbedinung : Da fängts schon an zu happern...ich dachte anfangs, eventuell die Wendetangente wäre die Nebenbedingung.... Ich hab mir die WP errechnet, aber weiter komme ich ienfach net... |
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| 13.06.2010, 18:08 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was sind denn deine Wendepunkte? Magst du die vielleicht mal posten? 
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| 13.06.2010, 18:09 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jojo aber gerne doch! Dennoch hab ich nur einen Wendepunkt rausbekommen UND das t = 0 ist....was aber natürlich kein sinn macht... Jedoch mein WP ( 1,5 / 0,25t + 3 ) Es würde mir glaube ich wirklich helfen, wenn ich wüsste was die Nebenbedingung ist...ich kann mir da wirklich nichts denken... |
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| 13.06.2010, 18:14 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Für t=0 wäre das Schaubild eine horizontale Gerade. Ein Blick in deine Aufgabe: Für t>0 
EInen Moment bitte noch. Vinyl |
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| 13.06.2010, 18:49 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, jetzt aber. Ja, den Wendepunkt habe ich auch. Hast du dir mal eine SKizze gemacht? Ich werde mal eine anhängen! [attach]15164[/attach] (Für t=2) a und b, also die Katheten des Dreieckes sind ja die Achsenabschinitte der Wendetangente. Ging deine Lösungsidee in diese Richtung, oder versuche ich grade, dich in eine falsche Richtung zu dirigieren? LG Vinyl [edit: Sei die Wendetangente g(x) dann gilt: a=x und b=g(x) (Noch als kleiner Nachtrag.
)]P.S.: Das Kreuz in der Skizze hat nicht zusagen, ist der Mauscourser. |
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| 14.06.2010, 06:11 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sry, dass ich so spät antworte, war leider wegen dem deutschlandspiel kurz unterwegs^^ Also. mich würd mal interessieren, wie du auf t = 2 kamst? oder haste 2 einfach so als Parameter benutzt? weil bei mir kam ja komischerweise t = 0 raus 
und 2. ok, a =x aber b wäre doch dann doch einfach y, oder etwa noch nicht? und c, also die hypotenuse, ist dann doch die Wendetangente? Denn das dreieck wird ja aus 2 achsen und der wendetangente gebildet? Danke schon im Vorraus ! |
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| 14.06.2010, 10:21 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau, b=y=g(x)
Ich habe einfach mal frei den Parameter t=2 gewählt. Das hatte ich ja schon geschrieben, dass t=0 als Lösung nicht stimmen kann, da in deiner Aufgabe stehe:
Das bedeutet, dass t nicht 0 sein darf! Wie kommst du denn auf das Ergebnis t=0? Vinyl |
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| 14.06.2010, 15:31 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, also den Parameter frei gewählt, okay . Nun wegen t = 0 : Ich hab die funktion 2 mal abgeleitet und kam auf f '' t ( x) = 6tx - 9t dann hab ich das null gesetzt : 6tx -9t = 0 t ( 6x-9 ) = 0 t = 0 oder 6x-9 = 0 x = 3/2 so bin ich vorgegangen...und deswegen kam ich auf t = 0. Und wie eingangs schon dargelegt , ist die Zielfunktion : A(x,y) = 1/2 * x *y dann hab ich mir gedacht, ich bräuchte als nebenbedingung die wendetangente, damit ich die dann einfach in die zielfunktion einsetzen kann... nur weiß ich nicht, wie ich auf die kommen soll ? |
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| 14.06.2010, 16:07 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, wieso löst du denn nach t auf? Wir wollen doch erste einmal den allgemeinen Wendepunkt! Und ich merke grade, dass du den ja schon errechnent hast.
Nun das Aufstellen der Wendetangente: y=m*x+b Die Steigung können wir errechnen und einen Punkt haben wir auch gegeben. Somit können wir b errechnen |
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| 14.06.2010, 16:20 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Alles klar okay ! y = mx + c Den Punkt hatte ich ja gerade eben erwähnt . und die steigung ist ja easy : Leiten wir die funktion erst einmal ab : f t '(x) = 3tx² - 9tx + 6t nun setzen wir unseren allgemeinen x-koordinate des Wendepunktes : f t '( 3/2 ) = 3t *( 3/2)² + 9t *(3/2) +6t = 105 /4 t stimmste da mit mir überein? y = 105/4 t * x +c dann einfach den Punkt einsetzen : c = - 313 / 8 t + 3 Das sind aber ziemlich merkwürdige Zahlen...hab ich mich nicht verrechnet? y = 105/4 t*x - 313/8 t +3 |
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| 14.06.2010, 16:41 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, du hast dich verrechnet.
Ein kleiner Vorzeichenfehler. Es heißt nicht +9*1,5t sondern -9*1,5t. Aber ansonsten bist du richtig vorgegangen. Es kommen aber durchaus komische Werte heraus.
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| 14.06.2010, 16:52 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, hab den fehler erkannt ! Wendetangente : y = -3/4tx + 11/8 t + 3 das muss aber jetzt stimmen , oder ?
wenn das so richtig ist, müsste ich eigentlich nur noch das in die zielfunktion einsetzen oder? |
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| 14.06.2010, 16:54 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Top. 
Richtig!Genau, einsetzen. Aber dann willst du ja noch das t, für das die Fläche maximal wird... 
? |
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| 14.06.2010, 16:56 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jo, nach dem einsetzen dann einfach ableiten, null setzen : Dann schauen, dass es ein maximum ist, sprich < 0 und dann müsste ich es ja schon haben oder? |
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| 14.06.2010, 17:31 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig, aber nach was leitest du ab?
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| 14.06.2010, 17:38 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hmm ich hatte ja dann : A (x,y) = 1/2 x * ( - 3/4 tx + 11/8 t + 3) A(x,y) = 3/8tx² + 11/16 tx + 3/2 x Also, ich hatte eigentlich nach x abgeleitet...aber wenn du so schon fragst, und du davor sagtest das wir ja t maximal haben wollen, muss ich nach t ableiten ^^ |
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| 14.06.2010, 17:52 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dennoch habe ich dann aber am ende eine mögliche extremstelle als x = .... ist das denn so richtig? denn wir wollen ja einen wert für t...und das t ist aufgrund der ableitung verschwunden., |
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| 14.06.2010, 17:57 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist denn deine Extremstelle? |
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| 14.06.2010, 17:59 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
naja, habe jetzt einmal nach t und einmal nach x abgeleitet : einmal kommt : x = 44/9 t und einmal x = 11/6 ersteres ist mit der ableitung von t, letzteres mit der ableitung von x |
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| 14.06.2010, 18:26 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also 11/6 für t ist meiner Meinung nach richtig! |
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| 14.06.2010, 18:45 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok , aber boaaaaaaaaaaaaaaaaaaah... du kannst bestätigen, dass die nicht einfach war, oder? Könnteste mir eventuell ein paar tipps zum parameter geben? |
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| 14.06.2010, 18:48 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann man so nicht sagen. Das war ein ganz klares Extremwertmuster:
Ich würde nicht sagen, dass diese Aufgabe irgendwelche Rahmen sprengt o.ä. air |
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| 14.06.2010, 18:58 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
jo, wenn dus so sagst, dann shcon^^ |
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| 14.06.2010, 19:12 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie ein paar Tips zum Parameter geben? |
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| 14.06.2010, 19:20 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
also ich weiß nicht, der verwirrt mich immer... ich seh ihn manchmal als Variable aber manchmal auch als eine "ganz normale Zahl" an den kann man ja nur aus einem punkt oder ähnliches rauskriegen? |
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| 14.06.2010, 19:43 | Vinyl | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hmm, weiß grade nicht so recht was du meinst. |
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| 14.06.2010, 20:00 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ist schon okay
ich lass mich morgen von der arbeit überraschen 
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| 14.06.2010, 20:03 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, um Parameter zu bestimmen braucht man eine zusätzliche Information, also sowas wie einen Punkt, der auf der Funktion liegen soll etc. Du kannst es dir so vorstellen, dass eine parameterabhängige Funktion gewissermaßen eine bestimmte "Form" hat, aber noch nicht ganz festgenagelt wurde. Eine weitere Information legt dies i.d.R. dann aber fest. Mit "eine bestimmte Form" kann allerdings vieles gemeint sein: Ein reines Verschieben der Funktion, das Ändern von Steigungsverhalten oder gar der "Biegung" des Graphen etc. Sich Parameter insgeheim als "ganz normale Zahl" vorzustellen ist vollkommen richtig, das sorgt für die geringste Verwirrung. Und ein Parameter ist in Wahrheit auch gar nichts anderes. air |
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| 14.06.2010, 20:24 | Gaußscher Jung | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ok, super ! vielen dank |
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