Komplexe Zahlen

01.11.2006, 19:56

Bujashaka

Komplexe Zahlen

Haben eine Aufgabe gekriegt, wobei mir meine Lösung zu einfach (bzw. falsch) erscheint traurig

Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} z^n-5=0 \end{eqnarray*}$

Ich kam darauf das Ganze so umzustellen, dass man das bekommt:

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt[n]{5} \end{eqnarray*}$

Ich bezweifel aber, dass das richtig ist oder wenigstens damit beendet. Kann mir jemand einen Tip geben? Ich meine es gab auch eine Formel $\begin{eqnarray*} z^n<br /> \end{eqnarray*}$ darzustellen.

01.11.2006, 19:58

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

warum sollte dein ergebnis falsch sein! ? smile

01.11.2006, 20:01

Auf diesen Beitrag antworten »

@derkoch

Du solltest die Überschrift lesen. Augenzwinkern

@Bujashaka

Das ist nur eine der 5 komplexen Lösungen, die anderen vier fehlen noch.

EDIT: Uuups, wie komme ich auf 5? Natürlich meine ich $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ komplexe Lösungen, von denen noch $\begin{eqnarray*} n-1 \end{eqnarray*}$ fehlen. Hammer

01.11.2006, 20:02

Bujashaka

Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre viel zu einfach verwirrt

Wie gesagt, die gegebenen Ausdrücke sollen über $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

@ Arthur:

Kannst du mir einen konkreteren Hinweis geben? Wüsste keine weiteren Möglichkeiten unglücklich

01.11.2006, 20:03

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

ups! Mist, du hast recht Arthur. Big Laugh

edit: revidiere alles was oben stand!

01.11.2006, 20:21

Bujashaka

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch eine Formel gefunden, mit der man $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$
ausdrücken kann:

$\begin{eqnarray*} z^n = r^n*e^{i n\phi} = r^n*(\cos {n*\phi} + i*\sin {n*\phi}) \end{eqnarray*}$

Leider weiss ich nicht, wie man damit noch auf 4 weitere Lösungen kommen sollte, wenn $\begin{eqnarray*} z_1=\sqrt[n]{5} \end{eqnarray*}$ sein soll.

01.11.2006, 22:03

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel hat schon etwas damit zu tun!
Aber sie gilt auch für gebrochene n:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = r^{\frac{1}{n}} \cdot (cos(\frac{\phi+2k\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{\phi+2k\pi}{n})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot (cos(\frac{\phi+2k\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{\phi+2k\pi}{n})) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k = 0,1... n-1 \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Für z schreibst du hier: $\begin{eqnarray*} 5 \cdot (cos(..) + i \cdot sin(...)) \end{eqnarray*}$
Füge bitte den Winkel selbst ein.

Wir erhalten alle Wurzeln, wenn für k nacheinander alle natürlichen Zahlen von 0 bis n-1 eingesetzt werden.

Gr
mYthos

02.11.2006, 10:23

Bujashaka

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mit der Formulierung ein kleines Problem... Ich weiß nicht, wie ich es umsetzen soll.

Betrag (z) = r = 5

Arg (z) = 0° bzw. 0 rad

Für ganze n:

$\begin{eqnarray*} z^n=5^n*(\cos(n*0)+i* \sin(n*0)=5^n*1+5^n*i*0=5^n \end{eqnarray*}$
-> Probe geht nicht auf

Für gebrochene n:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{5} \cdot (cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{2k\pi}{n})) \end{eqnarray*}$

Sollte es falsch sein, bitte ich wiederum um Hilfe. Wüsste jetzt auch nicht, wie es weitergehen soll oder sind das die endgültigen Lösungen?

02.11.2006, 11:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bujashaka
$\begin{eqnarray*} z^n=5^n*(\cos(n*0)+i* \sin(n*0)=5^n*1+5^n*i*0=5^n \end{eqnarray*}$

So war das nicht gemeint. Du mußt die 5 in die Exponentialschreibweise bringen:
$\begin{eqnarray*} 5 = 5 \cdot (\cos(2k\pi)+i* \sin(2k\pi)) = 5 \cdot e^{i2k\pi} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Bujashaka
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{5} \cdot (cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{2k\pi}{n})) \end{eqnarray*}$

Das ist dann richtig. Setze k=0,...,4

02.11.2006, 11:10

Auf diesen Beitrag antworten »

@Bujashaka

Nein, so kann man das nicht formulieren: Nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} \end{eqnarray*}$ für "gebrochene" $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist hier nach wie vor ganzzahlig. Was du meinst, ist $\begin{eqnarray*} z^{\frac{1}{n}} \end{eqnarray*}$ für dann gebrochene $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Zu beachten ist, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} \end{eqnarray*}$ keine eindeutige Zahl mehr ist, sondern die Gesamtheit aller $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Lösungen beschreibt, nämlich indem man rechts $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n-1 \end{eqnarray*}$ einsetzt. Daran sollte man immer denken, wenn man weiter damit operiert!

02.11.2006, 11:20

Bujashaka

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Nun was habe ich davon, die 5 in Exponentialschreibweise zu bringen?

k = 0, ..., 4 weil wir insgesamt 5 Lösunge haben und eine schon vorliegt?

In welche Formel soll das k nacheinander eingesetzt werden?

In die Exponentialfkt. oder in meinen Ausdruck von $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ ?
Bei dem Ausdruck von $\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ kriege ich ja keine konkreten Ergebnisse raus, weil ich ja noch das n darin habe traurig

02.11.2006, 11:52

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bujashaka
k = 0, ..., 4 weil wir insgesamt 5 Lösunge haben und eine schon vorliegt?

Vergiß das mit "eine schon vorliegt". Du setzt k = 0, ..., n-1 in
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{5} \cdot (cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{2k\pi}{n})) \end{eqnarray*}$
und bekommst n verschiedene Lösungen für z^n = 5.

EDIT:
hatte mich etwas vertan. Du willst ja z^n = 5 lösen und nicht z^5 = 5.
Hammer

02.11.2006, 12:30

mYthos

Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas mehr Klarheit bekommst du, wenn du mal in

$\begin{eqnarray*} \frac{2k\pi}{n} \end{eqnarray*}$

für n = 5 einsetzt, das wird dann zu

$\begin{eqnarray*} k \cdot \frac{2\pi}{5} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} k \cdot 72° \end{eqnarray*}$ .

Nun zählen wir die k von 0 bis 4 und sehen, dass der erste Winkel 0°, der zweite 72°, der dritte 144°, usw. wird. Das Ganze läuft gegen den Uhrzeigersinn im Kreis (sh. Zeigerdarstellung in der Gauß'schen Zahlenebene), solange, bis wir wieder am Anfangspunkt sind (wenn k = 5, 6, 7 .. eingesetzt würden, würde das keine neuen Lösungen mehr bringen). Der volle Winkel des Kreises (360°) wird also - beginnend vom Winkel der gegeben komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ - durch n geteilt (hier durch 5) und jeder der entstehenden Winkel für die trigonometrische Schreibweise der (komplexen) Lösungen verwendet. Dabei können zwischendurch auch reelle Lösungen vorkommen (z.B. bei $\begin{eqnarray*} z^6 = 64,\ z_1 = 2, .... ,\ z_4 = -2, ... \ \end{eqnarray*}$ ).

Deswegen heissen solche Gleichungen auch "Kreisteilungsgleichungen".

mY+

02.11.2006, 18:32

Bujashaka

Auf diesen Beitrag antworten »

Solangsam verliere ich wohl den Überblick. Also mal kurz zusammengefasst, was gegeben ist und ich aus den Beiträgen erlese.

$\begin{eqnarray*} z^n-5=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \equiv z^n=5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^n \end{eqnarray*}$ kann ich widerrum in trigonometrischer Form darstellen:

...für ganze n:

$\begin{eqnarray*} z^n=r^n \cdot (cos(n\cdot\phi) + i \cdot sin(n\cdot\phi))=r^n\cdot e^{in\phi} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
...Du mußt die 5 in die Exponentialschreibweise bringen:
$\begin{eqnarray*} 5 = 5 \cdot (\cos(2k\pi)+i* \sin(2k\pi)) = 5 \cdot e^{i2k\pi} \end{eqnarray*}$

Wieso ist "5 = 5*..."? Woher kommt das r = 5? Wie kommt man darauf?

..für gebrochen rationale n:

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \cdot (cos(\frac{\phi+2k\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{\phi+2k\pi}{n})) \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von klarsoweit
Du setzt k = 0, ..., n-1 in
$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{5} \cdot (cos(\frac{2k\pi}{n}) + i \cdot sin(\frac{2k\pi}{n})) \end{eqnarray*}$
und bekommst n verschiedene Lösungen für z^n = 5.

Ok, ich soll einsetzen. Doch was hab ich denn davon? Mythos meint, ich soll für k 1 bis 4 einsetzen (weil ab 5 die gleich Lösungen kommen) und bekomme die weiteren Lösungen!?

Zitat:

Original von mYthos
...Der volle Winkel des Kreises (360°) wird also - beginnend vom Winkel der gegeben komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ - durch n geteilt (hier durch 5)...

Warum wird z durch n geteilt? Warum ist n gleich 5?

Vorallem wird mir einfach nicht klar, wie ich auf eine Lösung kommen soll. Für mich wäre die Aufgabe mit dem Ausdruck für ganze und gebrochenrationale n beendet.

Ich verzweifel solangsam aber sicher traurig

02.11.2006, 18:54

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bujashaka

Zitat:

Original von klarsoweit
...Du mußt die 5 in die Exponentialschreibweise bringen:
$\begin{eqnarray*} 5 = 5 \cdot (\cos(2k\pi)+i* \sin(2k\pi)) = 5 \cdot e^{i2k\pi} \end{eqnarray*}$

Vielleicht ist die Verwirrung dadurch entstanden, weil ich zwischendurch dachte, du wolltest z^5 = 5 lösen. Ich fasse daher mal zusammen. Wir haben zu lösen:
$\begin{eqnarray*} z^n = 5 \end{eqnarray*}$ mit z aus den komplexen Zahlen.

Wir schreiben:
$\begin{eqnarray*} 5 = 5 \cdot (\cos(0)+ i \cdot \sin(0)) = 5 \cdot (\cos(2k\pi)+i* \sin(2k\pi)) = 5 \cdot e^{i2k\pi} \end{eqnarray*}$
Da cos und sin 2pi-periodisch sind, kann man auch einfach das 2k*pi-fache addieren.

Jetzt die n-te Wurzel ziehen liefert:
$\begin{eqnarray*} z = \sqrt[n]{5} \cdot e^{\frac{i2k\pi}{n}} \end{eqnarray*}$

Dabei läuft k von 0 bis n-1. Ab k >=n erhält man wieder die gleichen Winkel.

04.11.2006, 13:40

Bujashaka

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Damit wäre ja die Lösung für z bekannt.

Habe da aber immer noch ein Verständnisproblem.

1. Warum ist r in deiner Gleichung gleich 5?

$\begin{eqnarray*} 5 = 5 \cdot(\cos(0)+ i \cdot \sin(0)) = 5 \cdot (\cos(2k\pi)+i* \sin(2k\pi)) = 5 \cdot e^{i2k\pi} \end{eqnarray*}$

2. Ist der Winkel 0° bzw. 0 rad, weil in der Gleichung kein i*b vorkommt? Bzw. i*b = 0 ist und wir damit das Argument von z = 0° erhalten?

3. Warum wird der Winkel von 0 zu 2kpi?

04.11.2006, 16:01

derkoch

Auf diesen Beitrag antworten »

weil deine ausgangsgleichung $\begin{eqnarray*} \quad z^n-5=0 \quad \end{eqnarray*}$ ist!
und
$\begin{eqnarray*} 5= 5\cdot (cos(0)+i\cdot sin (0)) = 5\cdot (cos(2k\pi)+i\cdot sin (2k\pi))= 5\cdot e^{i2k\pi} \end{eqnarray*}$

für k= 0 oder für " 0° "

verschwindet doch der imaginäre teil und es existiert nur der reele teil, also 5!

04.11.2006, 18:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bujashaka
3. Warum wird der Winkel von 0 zu 2kpi?

Angenommen, du willst aus 5 im komplexen Zahlenbereich die 4. Wurzel ziehen. Dann suche ich für die 5 4 verschiedene Darstellungen:

Also: $\begin{eqnarray*} 5 = 5 \cdot e^{0} = 5 \cdot e^{i2\pi} = 5 \cdot e^{i4\pi} = 5 \cdot e^{i6\pi} \end{eqnarray*}$

Jetzt ziehen wir die 4. Wurzel:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{0} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i2\pi/4} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i4\pi/4} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i6\pi/4} \end{eqnarray*}$

04.11.2006, 19:21

Bujashaka

Auf diesen Beitrag antworten »

Ah jetzt hab ich es verstanden geschockt

Herzlichen Dank an die Helfer!

Man, was ein riesen Brett ich vorm Kopp hatte Hammer

05.11.2006, 11:10

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von klarsoweit
Jetzt ziehen wir die 4. Wurzel:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{0} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i2\pi/4} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i4\pi/4} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i6\pi/4} \end{eqnarray*}$

Na fein. Wobei mir einfällt, daß man obiges so nicht schreiben kann. Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} \sqrt[4]{5} = \sqrt[4]{5} \cdot e^{0} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} ... = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i2\pi/4} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} ... = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i4\pi/4} \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} ... = \sqrt[4]{5} \cdot e^{i6\pi/4} \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Komplexe Zahlen

Verwandte Themen