auf Surjektivität prüfen

17.06.2010, 02:55

ehtaM

auf Surjektivität prüfen

Hallo zusammen.
Es soll folgende Abbildung auf Injektivität und Surjektivität überprüft werden.

f:IR²->IR³
f $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Prüfung auf Injektivität hat gut funktioniert. Da das homogene LGS ergeben hat, dass Kern f={0} , ist die Abbildung injektiv.

Nun zur Surjektivität.
Man kann sie ja auch durch folgenden Sachverhalt zeigen: eine Abbildung f ist surjektiv, wenn Rang(A)=n.
In diesem Fall ist n=3. Nun, bei einer m*m Matrix weiss ich, wie ich den Rang bestimme. Aber bei dieser Aufgabe wüsste ich es nicht.
Wie kann ich den Rang bei einer 2*3 Matrix bestimmen? Gilt die Diagonale dann trotzdem von links oben Ecke nach rechts unten Ecke?

Ich bin mittels LGS vorgegangen und bekomme x=3c-a und x=(4/5)c-(1/5)b,
y=a-2c und y=(1/5)b+(1/5)c heraus.
Damit habe ich ja auch gezeigt, dass f nicht surjektiv ist.

17.06.2010, 03:35

tigerbine

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RE: auf Surjektivität prüfen
Du bildest von IR² in den IR³ ab. Das kann nicht surjektiv sein. Es ist

$\begin{eqnarray*} \dim V = \dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f) \end{eqnarray*}$ http://de.wikipedia.org/wiki/Rangsatz

Bei dir also

$\begin{eqnarray*} 2 = 0 + \dim \mathrm{im}(f) < 3 \end{eqnarray*}$

17.06.2010, 03:54

ehtaM

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RE: auf Surjektivität prüfen
Danke Tigerbiene,

Klar dimV=2, da Injektivität schon gezeigt dim Kern=0 aber dim Im(f)=3 und das ist bekanntlich ungleich 2. :-)

Und daher kommt das eine mit dem anderen einher, wenn die Abbildung von
z.B. IR³->IR³ abbildet.

Da ist mir gerade ein Riesengroschen gefallen!

Gute Nacht!

17.06.2010, 15:57

tigerbine

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RE: auf Surjektivität prüfen

Zitat:

Original von ehtaM
Danke Tigerbiene,

Klar dimV=2, da Injektivität schon gezeigt dim Kern=0 aber dim Im(f)=3 und das ist bekanntlich ungleich 2. :-)

Und daher kommt das eine mit dem anderen einher, wenn die Abbildung von
z.B. IR³->IR³ abbildet.

Da ist mir gerade ein Riesengroschen gefallen!

Gute Nacht!

Ich bin mir nicht so sicher, ob du meinen Satz wirklich verstanden hast. Du bildest von IR² -> nach IR³. Dim V=2 und dim W=3. Der Kern ist hier trivial, also nur Nullvektor und der Defekt (dim Kern) =0. Nun folgt aus dem Rangsatz, dass dann die Dimension des Bildes 2 ist, also kleiner als 3. Daher kann die Abbildung nicht surjektiv sein.

Generell folgt das aber aus dem Rangsatz, wenn der Bildraum größere Dimension hat als der Urbildraum, weil die Dimension nicht negativ werden kann.

$\begin{eqnarray*} \dim V = \dim \mathrm{ker}(f) + \dim \mathrm{im}(f) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \dim V \geq \dim \mathrm{im}(f) \end{eqnarray*}$

Wollte ich nur zur Sicherheit nochmal gesagt haben. Augenzwinkern

20.06.2010, 01:12

ehtaM

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Hallo Tigerbiene.

Ich habe dich schon richtig verstanden :-)
Habe mich nur zu knapp geäussert.

Ich meinte bei einer Abbildung f: IR³->IR³ (zum Beispiel) ist es ja so:
injektiv <=> surjektiv.
denn wenn f injektiv, dann ist Kern f={0} mit dim kern f=0. aus dem Rangsatz folgt dann, dass dimV=dim Im(f), also f auch surjektiv.
Wennsurjektiv folgt dimV =dim Im(f) und somit wiederum, dass Kern f={o}, also f dann auch injektiv.

Mal eine Frage, folgende Aufgabe:
f: IR²->IR² sei ein Homomorphismus
$\begin{eqnarray*} sei \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix}\in IR² beliebig \end{eqnarray*}$
zu beweisen:
Kern f={o} <=> $\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eindeutig lösbar

Wäre es ok den Rangsatz zu verwenden, um dies zu beweisen? Oder würde der Beweis als nicht sooo "elegant" angesehen werden?
Bin in Mathe im 1. Semester und habe den Dreh noch nicht raus...

20.06.2010, 01:18

tigerbine

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Und warum gilt das hier so schön? Weil die VR ____________ dimensional sind. Augenzwinkern

Der <=> sagt einem, dass man 2 Richtungen betrachten muss. Manchmal sind beide einfach, manchmal ist eine geschenkt und manchmal sind beide nicht so einfach. Aber dass man 2 Dinge zu zeigen hat, sollte ins Blut übergehen.

Ich nehme mir die billige Richtung Big Laugh

<= Sei die Abbildung injektiv. Dann gibt es zu jedem w in Im(f) genau ein v in V mit f(v)=w. Insbesondere ist auch das Urbild des Nullvektors von V eindeutig. Weil f linear ist folgt dann Ker(f)={0}.

=>

Sei nun Ker(f)={0} ....

20.06.2010, 01:52

ehtaM

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weil VR endlich dimensional ist :-)

sei Kern f={o}
z.z. f injektiv, d.h. für alle v1,v2 aus V gilt f(v1)=f(v2) => v1=v2

seien v1,v2 aus V mit f(v1)=f(v2)
d.h. f(v1)-f(v2)=0 also f(v1-v2)
nach Vorraussetzung, dass nur f(o)=o folgt
v1-v2=0 also v1=v2

=> f injektiv, d.h. eindeutig lösbar

20.06.2010, 01:58

tigerbine

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Zitat:

Original von ehtaM
weil VR endlich dimensional ist :-) Freude

sei Kern f={o}
z.z. f injektiv, d.h. für alle v1,v2 aus V gilt f(v1)=f(v2) => v1=v2 Freude

seien v1,v2 aus V mit f(v1)=f(v2) Freude

d.h. f(v1)-f(v2)=0 Freude

also f(v1-v2) nach Vorraussetzung (???), dass nur f(o)=o folgt v1-v2=0 also v1=v2

Was wollte der Autor damit sagen? verwirrt

20.06.2010, 02:00

ehtaM

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das fragt sich der Autor selber gerade :-D
ist ein wenig spät geworden.

das rot markierte gestrichen, dann passt es doch, oder? :-)

20.06.2010, 02:04

tigerbine

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Nö. Dann hast du noch nichts gezeigt. Du wolltest vielleicht benutzen, dass die Abbildung linear ist und

0=f(v1)-f(v2)= ....

Augenzwinkern

20.06.2010, 02:13

ehtaM

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genau :-)
ist f linear, so gilt ja
f(0)=0 und F(v-w)=f(v) -f(w)

also f(v)=f(w)
f(v)-f(w)=f(v-w)=0 also f(0)=0 ist die vorraussetzung, dass v-w=0 ergibt
und daraus wiederum das v=w gilt.

20.06.2010, 02:18

tigerbine

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Man würde nun einen Gegenbeweis ansetzen. Angenommen, das f ist nicht injektiv. Dann finde ich 2 verschiedene Vektoren v1, v2 mit

0=f(v1)-f(v2)= f(v1-v2)

Da aber nur 0 im Kern liegt, muss v1=v2 gelten -> Widerspruch. Also ist f injektiv.

20.06.2010, 02:26

ehtaM

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so geht es eindeutig kürzer und eleganter... :-)

Danke dir.

20.06.2010, 02:30

tigerbine

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Gern geschehen. Wink

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