Verständnisfrage zu Sin und Cosin etc |
| 17.06.2010, 12:29 | Franky01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Verständnisfrage zu Sin und Cosin etc ich habe folgendes Problem, ich verstehe nicht was mit Sinus und Cosinus gemeint ist. Ich habe natürlich hier schon einige Erklärungen gefunden, genau so wie auf Wikipedia und Youtube aber mir ist da einfach so manches nicht klar. Jetzt heißt es ja immer, dass Sinus das Verhältnis von der Gegenkath zur Hypotenuse ist und Cos ist das Verhältnis von der Ankath zur Hypotenuse ABER was ist denn nun mit dem Begriff Verhältnis gemeint? In folgendem Video: http://www.youtube.com/watch?v=uwo8pgEL66Q heißt es, dass Sinus a die "LinienLänge" der Gegenkathete sein soll, ausgehend vom rechten Winkel bis zum Schenkel der Hypotenuse und Cos a soll die "LinienLänge" der Ankathete sein, ausgehend vom Winkel alpha bis zum Schenkelende des rechten Winkels. Das heißt also ich habe ein rechtw. Dreieck mit a = Gegenkath, b=Ankath und c=Hypotenuse. Was ist den jetzt also das mit dem Begriff Verhältnis gemeint, bzw. wie muss man sich das bildlich vorstellen wenn ich zum Beispiel den Sinus, also Gegenketh durch Hypotenuse rechne? Ist der Sinus der kleine Bogen welcher eingezeichnet wird um einen Winkel kenntlich zu machen oder ist der Sinus der Bogen, welche vom Dreieckspunkt A den Schnittpunkt zum Punkt B oder C beschreibt? Zum Beispiel habe ich eine Aufgabe aus einem Buch wo die Seitenlänge X (Gegenkathete) berechnet werden soll. Gegeben ist ein Winkel mit 52 Grad, somit ist logisch, dass der Gegenwinkel dazu autom. 48 Grad ist. Jetzt habe ich noch die Hypotenuse mit 29 cm angegeben. Da im o. g. Video die Länge der Gegenkath. als Sinus bezeichnet wird und eben diese Linienlänge auch suchen hätte ich folgendes gerechnet: Gegenkath durch Hypotenuse. Aber die Länge der Gegekath suchen wir ja. Jetzt ist die Lösung wie folgt beschrieben. Sinus von 52 Grad mal 29, also die Länge der Hypotenuse mal den Sinuswert der 52 Grad ergbibt = die Linienlänge der Gegenkath. Warum muss man hier jetzt plötzlich multiplizieren, wenn es immer heißt bsp: Gegenkath durch Hypo??? Also ich kann mir darunter echt garnix vorstellen und wenn ich statt der Längen die Winkel ausrechnen muss ist wieder alles anders? Somit frage ich nochmals, wie muss man sich das bildlich vorstellen um zu wissen, was der Sinus, Cos und Tan eigentlich ist? Vielleicht versteht jemand mein wirres Geschreibe und kann mir weiterhelfen aber bitte nicht mit den üblichen Definitionen. Vg |
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| 17.06.2010, 12:58 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Verständnisfrage zu Sin und Cosin etc Du kennst sicher die Formeln für sinus und cosinus. Verhältnis heißt, du teilst. Beim sinus teilst du G durch H, beim cosinus A durch H. Was du dann erhältst ist eine Zahl, die kleiner als 1 ist. Diese Zahl ist also das Verhältnis von G zu H (bzw A zu H). Wenn nun das Verhältnis der Seiten G und H in einem rechtwinkligen Dreieck gleich bleibt, auch wenn sich die tatsächlichen Längen ändern, bleibt der Winkel alpha auch gleich. Du kannst dir das mit einem Zoomen vorstellen: Die Größen ändern sich, die Winkel bleiben gleich. Es ist auch so, dass sinus (und cosinus) nicht festgelegte Winkel in einem Dreieck sind. Vielmehr sagst du: Ich habe diese Strecke und die Hypotenuse, also rechne ich mit sin, wenn ich die gegebene Strecke als Gegenkathete ansehe (und mit cos, wenn sie A sein soll). Sinus und cosinus sind im Grunde Maßzahlen für einen Winkel. Nach einre kleinen Rechenoperation am TR (sin^-1, cos^-1) hat man dann den tatsächlichen Winkel vorliegen. Wenn du nun einen Winkel und die Hypotenuse gegeben hast und die Länge der Gegenkathete suchst, machst du eine einfache Gleichungsumstellung, um rechnen zu können: sin alpha = G : H | · H sin alpha · H = G Und: Wenn im rechtwinkligen Dreieck der zweite Winkel 52° ist, muss der dritte 38° sein. 
PS: Das Gesagte gilt analog auch für den tangens. |
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| 17.06.2010, 12:59 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das Verhältnis zweier Grössen ist einfach die Zahl die man kriegt, wenn man beide dividiert. Es ist also . Das ist zunächst einfach nur eine Zahl. Nicht mehr und nicht weniger. Der Witz daran ist jetzt, dass sie die Seitenlängen [sprich die Längen von Gegenkathete und Hypotenuse] mit dem Winkel in Verbindung bringt. Geometrisch ist es ja so, dass verschiedene Längen der Gegenkathete und der Hypotenuse verschiedene Winkel produzieren. Anders gesagt: Jede Wahl von Längen für Gegenkathete und Hypotenuse verursachen irgendwelche Winkel. Angenommen man verdoppelt die Länge der Gegenkathete und der Hypotenuse [und dann auch die Länge der Ankathete, damit das Dreieck einfach ein bischen gestreckt wird], dann ändert sich der Winkel aber nicht und deshalb muss man dividieren, denn da kürzt sich dann wieder eine 2 und der Sinus des Winkel hat sich nicht geändert, genausowenig wie sich der Winkel geändert hat [zentrische Streckung lässt die Winkel fest, nur die Längen der Dreiecksseiten ändern sich]. Das bedeutet also, der Sinus [also diese Verhältniszahl] ist eine Eigenschaft der Winkelgrösse und unabhängig von der tatsächlichen Grösse eines Dreiecks, in dem der Winkel lebt. Zu deiner Aufgabe: Hier suchst du wohl die Länger der Ankathete. Wegen (*) hat man also [beachte, der Sinuswert ist einfach eine Zahl, die man alleine durch die Angabe des Winkels berechnen kann !] . Edit: OK, knapp zu spät
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| 17.06.2010, 14:08 | Mimm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Verständnisfrage zu Sin und Cosin etc Hallo, also sulo hat's ja eigentlich schon geschrieben, aber ich versuch's auch nochmal: um die Frage zu deiner Aufgabe zu beantworten: ja, du hast schon recht, es heißt wohl immer Gegenkathete duch Hypo, aber: Gegen durch Hypo ist nur dann richtig, wenn man wissen will wie groß der sinus ist. In deiner Aufgabe ist es so, dass man weiß, wie groß der sinus ist. Es steht wohl nicht direkt da, aber: wenn du im Taschenrechner die 52 eintippst, dann die sinustaste drückst, dann kommt ein bestimmter Wert raus. Und dieser Wert gibt an, wie groß der sinus ist. Was du nicht weißt, ist, wie groß die Gegenkathete ist. Von den 3 möglichen Formeln die es gibt, also: sinus alpha = Gegenk. geteilt duch Hypo cos alpha = Ank. geteilt duch Hypo und tan alpha = Gegenk. geteilt duch Hypo musst du dir halt die eine Formel rauspicken, die du gebrauchen kannst. Du willst ja die Gegenkathete wissen, also gibt es auf den ersten Blick zwei mögliche Formeln, die in Frage kommen. Nämlich die, in denen auch die Gegenkathete vorkommt. Nämlich die sinus-Formel und die tangens-Formel. Aber: Von den zwei möglichen Formeln brauchst du eben diejenige, bei der du auch eine andere Größe gegeben hast. Da du laut Aufgabenbeschreibung die Hypothenuse hast, kommt eben nur noch die sinus-Formel in Frage. In dieser sinus-Formel gibt es 3 Größen (bzw. Zahlenwerte), nämlich: 1. sinus alpha 2. Gegenkathete 3. Hypothenuse Du musst also die Formel so umstellen, dass du die Gegenkathete berechnen kannst. Wenn du eine Gleichung hättest, die so aussehen würde: 10 = x geteilt durch 5 und du würdest nach x auflösen wollen, dann würdest du doch auf beiden Seiten der Gleichung mit 5 multiplizieren, damit auf der rechten Seite nur noch x steht, oder? Und das gleiche machst du auch mit der sinus-Formel: sinus 52° = x geteilt durch 29. damit du an x rankommst (was ja die Gegenkathete ist), musst du die Gleichung mit 29 multiplizieren. sinus 52° ist wohl eine abstrakte Schreibweise, aber eigentlich steht diese Schreibweise für einen Zahlenwert. Da dieser Zahlenwert aber unglaublich viele Kommastellen hat und man ihn runden müsste, umgeht man dieses Rundungsproblem und schreibt stattdessen sinus 52° hin. Das ist so ähnlich wie bei Wurzel aus 3. Man kann diesen Wert auch ausrechnen und gerundet hinschreiben, aber man kann auch einfach Wurzel aus 3 stehen lassen. Und um deine Frage zu beantworten, was mit dem Begriff Verhältnis gemeint ist: Als Verhältnis beschreibt man einen Zahlenwert der rauskommt, wenn man zwei größen zueinander ins "Verhältnis setzt", d.h. wenn man einen Wert durch einen anderen Wert teilt kommt ein Ergebnis raus, was man als Verhältnis beschreibt. Also zum Beispiel: das Verhältnis von Körpergröße geteilt duch Gewicht oder:Verhältnis von Länge der Beine geteilt duch Länge der Arme oder:....keine Ahnung, meine Beispiele sind auch bissi unsinnig, aber: bei allen Beispielen kommt ein Zahlenwert am Ende raus, der dir was bestimmtes angibt. Bei Verhältnissen im Dreieck bzw. im rechtwinkligen Dreieck ist es so, dass das Verhältnis von 2 bestimmten berechnet wird. Es wird deshalb berechnet, weil immer derselbe Wert am Ende rauskommt, aber nur wenn ein bestimmter Winkel immer der gleiche ist. Beispiel: Gegeben: rechtwinkliges Dreieck mit den Seiten a=2, b, c=4. Der 90°-Winkel ist bei C. alpha = 30° Am besten du malst es dir mal auf. Auch alpha und beta einzeichnen. Angenommen du würdest den sinus von alpha berechnen wollen, dann schreibt man ja: sinus alpha = a geteilt durch c oder eingesetzt: sinus 30° = 2 geteilt durch 4. Hier gibt es allerdings nichts zu berechnen, weil: auf der linken Seite der Gleichung steht ja sinus 30°. das kann man so wie es ist in den Taschenrechner eintippen, dann kommt 0,5 raus. Auf der rechten Seite der Gleichung steht 2 geteilt durch 4, also auch 0,5. Somit steht da: 0,5 = 0,5. Aber wenn du eine der drei Größen (in diesen Fall: alpha, a oder c) nicht kennst, dann nutzt man eben das Wissen, dass wenn man zwei Seiten teilt, immer ein bestimmter Wert rauskommen muss. Und dieser Wert is abhängig von dem Winkel, mit dem man gerade rechnet. In diesem Fall alpha. Wenn du dir jetzt ein größeres (gezoomtes Dreieck) daneben malst, auch wieder mit gamma = 90° , alpha = 30°und c=8 , a und b sind unbekannt, dann weiß ich folgendes: wenn alpha wieder 30° hat dann muss das Verhältnis von a geteilt zu c auch wieder 0,5 geben. Weil: bestimmte Seiten, die man ins Verhältnis setzt (also eine Seite geteilt durch eine andere Seite), immer den gleichen Wert haben. In diesem Fall muss die Seite a geteilt durch die Seite c wieder 0,5 ergeben (aber Achtung: es kommt nur deshalb 0,5 raus, weil der Winkel wieder 30° hat). Die Formel lautet ja wieder: sinus alpha = a geteilt durch c bzw. mit eingesetzten Zahlen: sinus 30° = a geteilt durch 8. dann weiß ich, dass a gleich 4 sein muss, weil ich eben weiß, wenn da wieder der 30°-Winkel ist, dann muss die eine Seite geteilt durch die andere Seite auch wieder 0,5 ergeben. In diesem Fall kommt 0,5 nur raus, wenn a= 4, weil eben 4 geteilt durch 8 0,5 ergibt. Oder anders ausgedrückt: Wenn du im Taschenrechner sinus 30° eingibst, dann steht auf der linken Seite der Gleichung 0,5. Es steht also da: 0,5 = a geteilt durch 8. Um nach a aufzulösen muss man ja die Gleichung mit 8 multiplizieren. Also 0,5 mal 8 = 4 In diesem Beispiel, wusste man nicht, wie groß die Seite a ist, hatte aber einen Winkel und eine andere Seite gegeben. Es kann natürlich auch sein, dass man zwei Seiten gegeben hat und einen Winkel berechnen soll. Beispiel: selbiges Dreieck wie oben, allerdings kenn man nur gamma mit 90° und die Seiten a = 3 und c = 6. Und man soll alpha berechnen also sinus alpha = a geteilt durch c oder: sinus alpha = 3 geteilt durch 6. Die rechte Seite der Gleichung ergibt wieder 0,5. Man will hier wissen, wie groß der Winkel alpha ist. Gesucht ist also ein Winkel, der, wenn ich in den Taschenrechner eintipp sinus soundsoviel ergibt 0,5. Das macht ja glaub ich mit der Shift-Taste. Zum Verständnis: Wenn die eine Seite geteilt durch die andere Seite 0,5 ergibt, dann MUSS alpha eine bestimmte Größe haben, weil es nur einen Winkel gibt, der diese Bedingung erfüllt. Grundsätzlich gilt: es gibt diese 3 Formeln (siehe oben), also sinus = .... cos = ..... und tan = ..... alle 3 Formel geben ein Verhältnis an. Also eine Seite geteilt durch eine andere Seite. Man benutzt immer die Formel, die man braucht. Brauchen tut man immer die, die von 3 Größen, zwei gegeben hat, damit man die dritte Größe berechnen kann. Jede Formel hat als Größen immer einen Winkel und zwei Seiten. Wenn man zwei von diesen 3 Größen gegeben hat, kann man die dritte Größe ausrechnen. Entweder kann man die benötigte Formel direkt benutzen, also ohne umstellen, weil der Winkel gesucht ist oder wenn eine Seite gesucht ist, stellt man einfach die Formel um, das ändert nichts daran, dass man trotzdem genau diese Formel braucht. (Wie in deiner Beispielaufgabe. Du musstest ja da sinus-Formel benutzen, aber man musste diese umstellen, weil nicht der Winkel gesucht war, sondern eine Seite). Hoffe, ich konnte dir weiterhelfen. Hab's vielleicht bissi übertrieben mit dem Text, wollte es aber ausführlich machen Stell dir vor |
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| 17.06.2010, 18:27 | sulo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Verständnisfrage zu Sin und Cosin etc
Das stimmt nicht. tan alpha = G : A
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| 17.06.2010, 18:54 | Mimm | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Uiuiui Jepp. Is mir wohl im Eifer des Tippgefechts glatt noch eine Hypo mit reingerutscht 
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| 17.06.2010, 19:30 | Franky01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also erst mal vielen Dank für die ganzen Antworten, ich muss mich jetzt erst mal durch alles richtig durchlesen, hab es jetzt nur grob überflogen. Eine Frage bleibt mir aber grad immer noch und zwar: angenommen ich hab einen Winkel alpha von 52 Grad: gebe ich in den TR Sin 52 ein kommt: 0,79 heraus gebe ich Cos 52 ein kommt 0,62 heraus und bei Tan 52 kommt 1,28 heraus. Das sind also 3 Zahlenwerte die ich aufgrund eines einzigen Winkels herausbekomme ABER und jetzt kommt wieder der Punkt den ich nicht verstehe, woher nimmt der Rechner denn dann diese Zahlenwerte? Grundsätzlich muss doch etwas, was ein TR, ausrechnen kann auch von Hand errechnet werden können und genau da liegt glaube ich auch mein Problem, dass ich nicht weiß wie der TR an diese Werte kommt und deshalb nicht weiß was Sin, Cos etc. bedeutet. Im Lateinischen bedeutet Sinus ja bogen aber nen Bogen hab ich ja am Dreieck nicht, es sei denn ich habe Koordinaten und muss anhand der Schnittpunkte mein Dreieck einzeichnen. Ach und da wären ja auch noch die kleinen Winkelbögen, welche aber wahrscheinlich garnichts damit zu tun haben, sondern die spitzen Winkel alpha, beta etc. halt nur markieren. Vg |
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| 19.06.2010, 15:25 | Franky01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Huhu, kann mir auf die letzten Fragen niemand weiterhelfen? |
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| 19.06.2010, 15:27 | Airblader | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, "von Hand", so wie du das meinst, geht das i.d.R. nicht. Der Taschenrechner verwendet hier Näherungsverfahren, um einen Wert zu finden, der in etwa stimmt. air |
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| 21.06.2010, 09:28 | Franky01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Verständnisfrage zu Sin und Cosin etc Hmmm, komisch....dachte dass es da auch so einen festen Wert gibt wie Pi beim Kreis?!? Danke trotzdem.... |
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| 21.06.2010, 14:39 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Inwiefern ist Pi ein fester Wert beim Kreis? |
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| 21.06.2010, 16:24 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dem würde ich entschieden widersprechen: Die Formeln und Methoden, die in einem TR zur Anwendung kommen, helfen einem Anfänger nichts, aber auch gar nichts, die Winkelfunktionen inhaltlich zu verstehen - sie verwirren ihn höchstens. |
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| 22.06.2010, 18:04 | Franky01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der Sache mit der Verwirrung kann ich nur zustimmen. Ich will eigentlich nicht nur eine Taste auf dem TR drücken, sondern ich will verstehen was ich da mache. Fester Wert für Pi ist doch 3,14.......... oder hat sich das mittlerweile geändert??? |
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| 22.06.2010, 18:23 | system-agent | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, der Wert für Pi wird sich nicht ändern, nicht jetzt und auch nicht in 1000 Jahren.
Wie erwähnt, der Sinus [und Cosinus und Tangens] sind Zahlen, die alleine etwas mit dem Winkel zu tun haben. Man kann sie berechnen indem man ein Dreieck nimmt in dem der betreffende Winkel vorkommt, genau wie oben beschrieben. Im Prinzip tust du genau das. Nur wie so oft in der Mathematik gibt es unterschiedliche Möglichkeiten etwas auszurechnen und da sind die Sinuswerte keine Ausnahme. Von Hand könnte man die Werte via einem Dreieck finden, der TR macht es auf eine andere Art und Weise. |
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| 24.06.2010, 12:00 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wie kann man den Sinus am einfachsten definieren und motivieren? ---------------------------------------------------------------------------------------------- Ich bin zwar kein Freund von abstrakten Definitionen, aber in diesem Falle halte ich die übliche abstrakte Definition aus der "höheren" Mathematik für die beste. Man findet diese Definition z.B. im Buch "Höhere Analysis" von Hans Triebel. Er definiert die Sinusfunktion einfach als Lösung folgender Differenzialgleichung mit den Anfangsbedingungen Diese Dgl. löst man dann mit einem Reihenansatz und kommt auf Als jemand für diese Reihe die "Abkützung" einführte, war dies die Geburtsstunde der Sinusfunktion. Der Nachteil dieser Definition ist, dass man in der Schule noch keine Differnzialgleichungen behandelt. Deshalb behilft man sich dort aus pädagogischen Gründen mit der geometrisch motivierten, aber unexakten Definition: "Sinus = Gegenkathete/Hypothenuse". Diese Definition ist deshalb problematisch, weil man damit den Sinus nur "experimentell" durch Messen von Längen bestimmen kann, also nicht beliebig genau. Die obige abstrakte Definition ist beliebig genau und besser motiviert, weil sich die obige Differenzialgleichug aus vielen geometrischen und physikalischen Problemen zwanglos ergibt (z.B. bei Drehungen, Schwingungen u.v.m.) Aus der abstrakten Definition kann man umgekehrt die "Schul-Definition" leicht ableiten. |
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