Typ einer Quadrik

17.06.2010, 19:05	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
Typ einer Quadrik Meine Frage: Hallo, ich habe folgende Aufgabe: Gegeben sei die Quadrik { $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R ^{3}\|2x^{2}_{1}+4x_{1}x_{2}+3x^{2}_{2}-4x_{2}x_{3}+4x^{2}_{3}=1 \end{eqnarray}$ }. Wir sollen dazu nun die Hauptachsen und den Typ der Quadrik bestimmen. Im Prinzip ist das alles ja kein Problem, habe auch schon alles berechnet, srpich Eigenwerte, Eigenräume, die Quadrik bzgl der neuen Basis, etc. Meine Frage ist nun, was passiert, wenn man einen Eigenwert 0 hat, denn dafür finde ich niergends einen Typ für eine Quadrik? Und unsere Definitionen beinhalten diesen Fall auch nicht. Meine Ideen: Meine Ergebnisse sind die folgenden: $\begin{eqnarray} P_{A}(t)= t^{3}-9t^{2}+18t=0<br /> A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & -2 \\ 0 & -2 & 4 \end{pmatrix}<br /> <br /> t_{1}=0, t_{2}=3, t_{3}=6 (Eigenwerte)<br /> v_{1}=\begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} v_{2}=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} v_{3}=\begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} (Eigenvekroren)<br /> 3x'^{2}_{2}+6x'^{2}_{3}=1 ( Quadrik) \end{eqnarray}$ Vielen Dank schonmal im Voraus. Liebe Grüße, Anna
18.06.2010, 11:50	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Typ einer Quadrik Hallo Anna, Also unter "nirgends zu finden" stelle ich mir etwas anderes vor: klick! Man kann das aber auch ohne irgendwelche Tabellen machen. Zuerst transformieren wir das ganze in die affine Normalform, also $\begin{eqnarray} x_1'':=\sqrt{3}x_1' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x_2'':=\sqrt{6}x_2'' \end{eqnarray}$ , dann hat die Quadrik die Gestalt $\begin{eqnarray} x_2^2+x_3^2=1 \end{eqnarray}$ . Wenn wir nun den Schnitt der Quadrik mit der Ebene $\begin{eqnarray} x_1=0 \end{eqnarray}$ betrachten, also eine zweidimensionale Quadrik, was haben wir dann? Richtig, den Einheitskreis um den Nullpunkt. Genauso für alle anderen Ebenen $\begin{eqnarray} x_1=\lambda \end{eqnarray}$ . Letztlich ist das also ein Kreisförmiger Zylinder um die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -Achse. In der euklidischen Normalform $\begin{eqnarray} 3x'^{2}_{2}+6x'^{2}_{3}=1 \end{eqnarray}$ ist das ganze nun nur noch etwas in Richtung $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ - und $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ -Achse verzerrt. Das Bild ist also ein Zylinder um die $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -Achse mit elliptischer Grundfläche. Gruß, Reksilat. PS: Bzgl. dem Unterschied zwischen affiner und euklidischer Normalform habe ich hier schon mal was geschrieben.
18.06.2010, 11:57	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen Dank schonmal für deine Antwort. Wir haben das Thema gerade erst angefangen und mir ist immernoch nicht so ganz klar, wie ich zur Normalform komme
18.06.2010, 12:00	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Normalform hast Du doch schon.
18.06.2010, 12:01	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
ja die hast du mir hingeschrieben, aber wie bist du darauf gekommen? oder ist die Normalform schon die, die ich errechnet hatte?
18.06.2010, 12:15	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt ja eben einen Unterschied zwischen eukl. und aff. Normalform. Deshalb habe ich Dir ja den Hinweis gegeben, meine Bemerkung unter: Quadriken in Normalform bringen zu lesen. Die euklidische NF hast Du oben bereits gefunden - die reicht auch aus, um den Typ zu bestimmen. In der affinen NF sieht man das ganze nur noch ein klein wenig besser, da die Vorfaktoren verschwunden sind.
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18.06.2010, 12:45	Anna(Wima)	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, habs verstanden, danke für die Hilfe

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