Potenzen von Endomorphismen

18.06.2010, 20:48	zeus	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzen von Endomorphismen Meine Frage: Tag, Folgendes: Sei V ein 4-dimensionaler Q-Vektorraum und (v1,v2,v3,v4) ein Basistupel von V. Sei f der Vektorraumendomorphismus mit $\begin{eqnarray} v_1f=2v_1-v_2, v_2f=v_1, v_3f=-6v_1+4v_2, v_4f=-3v_1+v_2-v_4 \end{eqnarray}$ ich soll nun zeigen, dass $\begin{eqnarray} dim<f^i: i\in \mathbb N_0>_Q =4 \end{eqnarray}$ ist. Meine Ideen: Ich habe schon alle Eigenwerte, also 0,1 und -1 und das charakteristische Polynom bestimmt: $\begin{eqnarray} x(x-1)(x+1)^2 \end{eqnarray}$ Dann gilt ja auch $\begin{eqnarray} f(f-id)(f+id)^2=O_{EndV} \end{eqnarray}$ woraus folgt: $\begin{eqnarray} f^4=-f^3+f^2+f \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} dim<f^i: i\in \mathbb N_0>_Q\leq4 \end{eqnarray}$ allerdings komme ich jetzt nicht mehr weiter... wäre nett, wenn jemand einen Vorschlag hätte... danke!
19.06.2010, 10:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Minimalpolynom von f ist ein Teiler des charakteristischen Polynoms von f. Wenn du die Gleichheit zeigen kannst, bist du fertig. Noch ein Tipp: Das Minimalpolynom hat dieselben Nullstellen wie das charakteristische Polynom.
19.06.2010, 12:06	zeus	Auf diesen Beitrag antworten »
danke für die Antwort! Also das Minimalpolynom hatten wir noch nicht, aber wenn ich das richtig verstanden habe, ist es das normierte Polynom g kleinsten Grades, das dieselben Nullstellen wie das charakteristische Polynom hat und für das gilt g(v_i)=0 für alle i. ist das so richtig? und außerdem ist es ein Teiler des charakteristischen Polynoms? Dann wäre hier also $\begin{eqnarray} xg=x(x-1)(x+1) \end{eqnarray}$ die einzige Möglichkeit, da aber gilt: $\begin{eqnarray} v_2g=v_1-2v_2 \end{eqnarray}$ , also ungleich null, ist das charakteristische Polynom auch das Minimalpolynom. Stimmt das so ungefähr?
19.06.2010, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, so ungefähr. Als Minimalpolynom für f kommen nur das charakteristische Polynom und $\begin{eqnarray} x(x-1)(x+1)=x^3-x \end{eqnarray}$ infrage. Wegen $\begin{eqnarray} (f^3-f)(v_2)=...=2v_1-2v_2\ne 0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mu(f)=\chi(f) \end{eqnarray}$ , also wegen $\begin{eqnarray} grad(\chi)=4 : dim (<f^i, i\in \mathbb N>_{\mathbb Q}) = 4 \end{eqnarray}$
19.06.2010, 13:16	zeus	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, vielen Dank, jetzt hab ich's verstanden!
19.06.2010, 13:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Prima. Für das Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \mu (f)=\chi (f)=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} \mu(f)(v_i)=0\forall v_i, <v_i>=V \end{eqnarray}$
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