Eigenwerte bestimmen bei abzählbarer Basis

19.06.2010, 13:56	123123	Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte bestimmen bei abzählbarer Basis Meine Frage: hallo alle zusammen! ich habe schon eine ähnliche Aufgabe reingestellt, denke aber, dass dieser Titel vllt aussagekräftiger ist... also: Sei V ein Q-Vektorraum mit abzählbarer Basis und sei (vn)n eine Basisfolge von V. Sei f ein Endomorphismus mit $\begin{eqnarray} v_i=v_{i+1} \end{eqnarray}$ falls i ungerade und $\begin{eqnarray} v_i=iv_{i-1} \end{eqnarray}$ falls i gerade für alle $\begin{eqnarray} i\in\mathbb N \end{eqnarray}$ Ich soll jetzt die Eigenwerte von f bestimmen. Meine Ideen: Ich bin mir nicht sicher, ob man die Eigenwerte bei einer abzählbaren, aber ja unendlichen Basis auch mit dem charakteristischen Polynom bestimmen kann... einen anderen Weg kenne ich jedoch nicht. Wenn das möglich ist, wäre mein Ansatz folgender: Bei der zu f gehörenden Matrix ständen dann in der Diagonale jeweils 2x2-Matrizen der Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 2^n & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , ansonsten nur Nullen, also wäre das charakteristische Polynom dann $\begin{eqnarray} (x^2-2)(x^2-2^2)(x^2-2^3)... \end{eqnarray}$ kann man das so machen?? danke schon mal!
20.06.2010, 14:29	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen bei abzählbarer Basis Hi ... Zuerst: Wieso steht in Deiner Matrix unten links $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ ? Meiner Meinung nach müsste dort $\begin{eqnarray} 2n \end{eqnarray}$ stehen. $\begin{eqnarray} v_{2i}\to 2i\cdot v_{2i-1} \end{eqnarray}$ Das char. Polynom ist natürlich nur für endlichdimensionale VR bestimmt, aber man kann ja auch endlichdimensionale $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ -invariante Unterräume betrachten, wie z.B. $\begin{eqnarray} V_n:=\langle v_1,...,v_n\rangle \end{eqnarray}$ für gerades $\begin{eqnarray} n\in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ . Weiterhin kann man verwenden, dass jeder mögliche Eigenvektor ja von endlich vielen Basisvektoren erzeugt werden kann und somit in einem $\begin{eqnarray} V_n \end{eqnarray}$ liegen muss. Damit lässt sich die Aufgabe auf ein endlichdimensionales Problem zurückführen. Den anderen Thread habe ich geschlossen, da ja eh erst die gleiche Fragestellung auftaucht. Wenn es dann bzgl. der Transzendenz doch noch Fragen gibt, sag hier oder per PN bescheid, dann mach ich wieder auf. Gruß, Reksilat.
20.06.2010, 15:16	123123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen bei abzählbarer Basis danke für die Antwort! Ja, das mit den $\begin{eqnarray} 2^n \end{eqnarray}$ war natürlich Blödsinn, das müssen natürlich jeweils die geraden Zahlen sein... Ok, also dann kann ich es auf den endlichen Fall zurückführen und sagen, dass alle geraden Zahlen Eigenwerte von f sind?
20.06.2010, 15:19	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen bei abzählbarer Basis Nö, wieso? Schau Dir doch mal Deine char. Polynome an. Die Nullstellen sind da zumeist nicht mal natürlich Zahlen.
20.06.2010, 15:25	123123	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Eigenwerte bestimmen bei abzählbarer Basis ja, tschuldigung... die Wurzel muss man natürlich noch ziehen... danke

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