Kern und Bild (Funktionen)

19.06.2010, 15:08

Lars_O

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Kern und Bild (Funktionen)

Hallo zusammen,
es geht um folgende Aufgabe:

Es seien $\begin{eqnarray*} P(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ der $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum der ganz-rationalen Funktionen und $\begin{eqnarray*} \alpha :P(\mathbb R )\rightarrow P(\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ eine Abbildung, die durch $\begin{eqnarray*} \alpha (f)(x)=x²f''(x)-6xf'(x)+12f(x) \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

1. Begründen Sie, warum $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ein Vektorraum Homomorphismus ist.
2. Bestimmen Sie Basen für Kern und Bild von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ .
3. Folgern Sie: $\begin{eqnarray*} P(\mathbb R )=Kern(\alpha )+Bild(\alpha ) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Kern(\alpha )\cap Bild(\alpha)=\left\{ 0\right\} \end{eqnarray*}$ .

zu 1.
Ein Beweis wäre der Nachweis der Additivität und der Homogenität.
Allerdings hab' ich das mal versucht und es scheitert an der doch komplizierten Struktur der Funktion. Außerdem sagt die Aufgabenstellung ja expliziit "Begründen Sie". Doch da hab' ich leider keine Ideen zu ...

zu 2.
Zunächst sollte man doch Kern und Bild bestimmen oder?
Kern:
$\begin{eqnarray*} x²f''(x)-6xf'(x)+12f(x)=0 \end{eqnarray*}$
Eine Lösung muss ja der Nullvektor sein (nach Defintion von Kern und Bild).
Und nun steh' ich wieder vor einer Wand.

Ich weiß meine Ansätze sind sehr mager, aber wüsste ich mehr, würde ich wohl eure Hilfe nicht in Anspruch nehmen ^^

19.06.2010, 16:02

tigerbine

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RE: Kern und Bild (Funktionen)
1. Das ist nicht kompliziert, wenn man mal hinschreibt, wie Ableitungen von Polynomfunktionen aussehen.

2. Was landet denn nach dem Ableiten so alles auf dem Nullpolynom... Welche Rolle kommt hier f in der Funktionsvorschrift zu?

19.06.2010, 16:43

Lars_O

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RE: Kern und Bild (Funktionen)
Die Ableitungen sollten doch wie folgt aussehen:
$\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\sum\limits_{k=1}^n ka_kx^{k-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\sum\limits_{k=2}^n k(k-1)a_kx^{k-2} \end{eqnarray*}$

Was die Sache mit dem Nullpolynom und der Funktionsvorschrift angeht, kann ich dir leider nicht ganz Folgen, kannst du deine Frage bitte irgendwie konkretisieren?

19.06.2010, 16:46

tigerbine

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RE: Kern und Bild (Funktionen)
Schreibe die Funktion mal um. Also das wir dort nur "ein Polynom #" sehen.

Im Kern liegen dann alle Poynome, die auf das Nullpolynom abgebildet werden, das hat Forderungen an der Polynom # zur Folge. die wollte ich sehen.

19.06.2010, 17:58

Lars_O

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RE: Kern und Bild (Funktionen)
$\begin{eqnarray*} \alpha (f)(x)=x² \sum\limits_{k=2}^n k(k-1)a_kx^{k-2}-6x\sum\limits_{k=1}^n ka_kx^{k-1}+12\sum\limits_{k=0}^n a_kx^{k} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=2}^n k(k-1)a_kx^{k}-6\sum\limits_{k=1}^n ka_kx^{k}+12\sum\limits_{k=0}^n a_kx^{k}=0 \end{eqnarray*}$

Die einzige Möglichkeit ist x=0

... ich glaub' ich versteh's nich ... traurig

traurig

19.06.2010, 18:23

tigerbine

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RE: Kern und Bild (Funktionen)

Zitat:

Original von Lars_O
Die einzige Möglichkeit ist x=0

Nein, ich darfst du nicht bestimmt wählen. Es muss ja für alle x gelten. Wir sind in einem Vektorraum von Funktionen.

$\begin{eqnarray*} \alpha (f)(x)=x² \sum\limits_{k=2}^n k(k-1)a_kx^{k-2}-6x\sum\limits_{k=1}^n ka_kx^{k-1}+12\sum\limits_{k=0}^n a_kx^{k} \end{eqnarray*}$

Nun mal zusammenfassen

$\begin{eqnarray*} \alpha (f)(x)=\sum\limits_{k=2}^n k(k-1)a_kx^{k}-\sum\limits_{k=1}^n6 ka_kx^{k}+\sum\limits_{k=0}^n 12a_kx^{k} \end{eqnarray*}$

Nun mal zusammenfassen. Und dann müssen alle Koeffizienten gleich 0 sein.

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19.06.2010, 19:58

Lars_O

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Demnach wäre:

$\begin{eqnarray*} Kern(\alpha)=\{f(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^{k} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} a_k=0\} \end{eqnarray*}$

richtig?

19.06.2010, 20:06

tigerbine

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Richtig. Also im Kern liegt nur das Nulpolynom.

19.06.2010, 20:18

Lars_O

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Ist dann die Dimension des Kerns = 0 ?
D.h. der Kern hat keine Dimension, also keine Basis ?

19.06.2010, 20:20

tigerbine

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Der Kern ist der span des Nullvektors. Dessen Dimension ist Null.

19.06.2010, 20:33

Lars_O

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Zitat:

Original von tigerbine
span des Nullvektors

Uffz, was ist "span" ... davon hab' ich noch nie etwas gehört ...
Gilt also für die Basis des Kerns = {0}

Sehe ich das richtig:
Die Dimension der linearen Abbildung ist doch davon abhängig, wie ich f(x) wähle, oder? ... Und diese Dimension ist gleich der Dimension des Bildes?

Also kann ich doch die Basis des Bildes nur in Abhängigkeit von f(x) wählen.

Wähle ich also: $\begin{eqnarray*} f(x)=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^{k} \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich für die Basis des Bildes:
$\begin{eqnarray*} \{\sum\limits_{k=0}^n x^{k}\} \end{eqnarray*}$

19.06.2010, 20:50

tigerbine

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Ich verstehe nicht, was du sagen willst. Und wenn du einen Fachbegriff nicht kennst, dann schlage ihn doch nach. Idee!

Idee!

Im Kern ist nur der Nullvektor.

Das Bild sind alle Polynome die eine Darstellung der Art

$\begin{eqnarray*} \alpha (f)(x)=\sum\limits_{k=2}^n k(k-1)a_kx^{k}-\sum\limits_{k=1}^n6 ka_kx^{k}+\sum\limits_{k=0}^n 12a_kx^{k} \end{eqnarray*}$

besitzen. Kann man so jedes Polynom darstellen? Warum ja, warum nein?

20.06.2010, 13:36

Lars_O

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Hab' ja versucht es nachzuschlagen, aber weder Wiki noch mein schlaues Büchlein konnten mir weiterhelfen.
Außerdem darf ich diesen Begriff sichern nicht benutzen, solange er nicht inder Vorlesung gefallen ist.
Nur der Nullvektor ist im Kern enthalten ... so weit so gut ...
Jetzt soll ich ja eine Basis des Kerns angeben. Es gibt keine richtig? Der Nullvektor stellt ja keine Basis dar, richtig?

Zum Bild:
Ich würde sagen, dass man damit alle Polynome darstellen kann, da ja die Koeffizienten a_k frei wählbar sind und alle Potenzen auftauchen.
Demnach wäre die Basis die Standardbasis.

20.06.2010, 21:37

tigerbine

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Zitat:

Original von Lars_O
Zum Bild:
Ich würde sagen, dass man damit alle Polynome darstellen kann, da ja die Koeffizienten a_k frei wählbar sind und alle Potenzen auftauchen.
Demnach wäre die Basis die Standardbasis.

Das solltest du irgendwie mehr mathematisch aufschreiben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2010, 03:17

gonnabphd

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Ich hätte mal einen kleinen grossen Einwand. geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} x^4 \end{eqnarray*}$ liegt beispielsweise im Kern von $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ und ein Polynom kommt bekanntlich selten allein. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.06.2010, 09:11

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \alpha (x^4)=x^2\cdot 4\cdot 3x^2-6\cdot x \cdot 4\cdot x^3+ 12 x^4 =0 \end{eqnarray*}$

Dann sollte ich mal auf die Fehlersuche gehen. Sie muss in der Summendarstellung meiner Ableitung liegen. Ich habe die Potenz nicht angepasst.

$\begin{eqnarray*} \alpha (f)(x) &&=x^2 \cdot \sum\limits_{k=2}^n k(k-1)a_kx^{k-2}-6 x \cdot \sum\limits_{k=1}^n ka_kx^{k-1}+12\sum\limits_{k=0}^n a_kx^{k} \end{eqnarray*}$

edit: hier fehlte wieder was. .

21.06.2010, 15:14

gonnabphd

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Hi tigerbine,

Ich wäre eher für:

$\begin{eqnarray*} \alpha \left(\sum_{k=0}^n a_nx^n \right) = x^2 \sum_{k=2}^n k(k-1)a_kx^{k-2} -6x \sum_{k=1}^n ka_kx^{k-1} + 12 \sum_{k=0}^n a_kx^k = \sum_{k=0}^n \biggl(k(k-1)-6k+12 \biggr)a_kx^k \end{eqnarray*}$

smile

smile

Edit: Damit sieht man auch gleich, wie ich auf die schöne Zahl 4 gekommen bin.

21.06.2010, 20:12

tigerbine

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Ja, so ist es "schöner" Nun hatte ich die "x" vor der Ableitung nicht hingeschrieben. Nicht meine "Tage" traurig

traurig

Danke dir. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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