Für welche n gilt folgende Gleichung?

20.06.2010, 12:36

Für welche n gilt folgende Gleichung?

Meine Aufgabe: Finden Sie alle natürlichen Zahlen n, so dass

3^n + 4^n + ... + (n+2)^n = (n+3)^n

Ich weiß bis jetzt, dass es für n=2 und für n=3 gilt...
...aber bei der Frage warum, steh ich noch aufm Schlauch...
...hat jemand einen Tipp?

20.06.2010, 13:13

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RE: Für welche n gilt folgende Gleichung?

Zitat:

Original von AC
...aber bei der Frage warum, steh ich noch aufm Schlauch...

Warum das Lösungen sind, ist doch wohl klar: Einsetzen und überprüfen.

Warum es keine weiteren Lösungen gibt:

Beweise einfach durch Vollständige Induktion, dass für $\begin{eqnarray*} n\geq 4 \end{eqnarray*}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^{n+2} k^n < (n+3)^n \end{eqnarray*}$ gilt.

20.06.2010, 14:26

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RE: Für welche n gilt folgende Gleichung?
Vielen Dank Prost

Dann muss ich zeigen, dass die Ungleichung für 4 gilt (das krieg ich noch hin),
dann annehmen, dass sie für alle n>=4 gilt
und dann zeigen, dass sie für alle n+1 mit n>=4 gilt?

Ich weiß nicht, ob ich das mit der Induktion (mit der Einschränkung n>=4) richtig verstehe...?

05.07.2010, 14:13

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Gedanken zum Induktionsschritt $\begin{eqnarray*} (n-1)\to n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ : Hier ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^{n+2} k^n = \sum_{k=3}^{n+1} k\cdot k^{n-1} + (n+2)^n < (n+1)\cdot \sum_{k=3}^{n+1} k^{n-1} + (n+2)^n \stackrel{IV}{<} (n+1)\cdot (n+2)^{n-1} + (n+2)^n \end{eqnarray*}$ .

Wenn es jetzt noch gelingt, diese Ungleichungskette gemäß

$\begin{eqnarray*} (n+1)\cdot (n+2)^{n-1} + (n+2)^n \leq (n+3)^n \qquad (*) \end{eqnarray*}$

fortzusetzen, hat man den Induktionsschritt geschafft. Also überleg dir mal, wie man (*) für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 5 \end{eqnarray*}$ nachweisen kann.

06.07.2010, 19:17

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Hi, tut mir leid wegen des Doppelposts... lag nur daran, dass die Aufgabe so wichtig ist und ich das allein halt nicht hinkrieg...

Also, danke für deine Antwort, werd mich da nochmal dransetzen...

Hoffe, ich darf noch weitere Fragen stellen?
Zum Beispiel, warum n-1? Und n>=5?
Tut mir leid, ich versteh das alles nicht so richtig...

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