Fragen zur Normalverteilung

20.06.2010, 19:48

anonymer user

Fragen zur Normalverteilung

Meine Frage:
Hallo, ich sitze gerade vor einer Aufgabe und finden keinen rechten Ansatz:

$\begin{eqnarray*} X : (\Omega, A, P ) \rightarrow (R,B) \end{eqnarray*}$ sei normalverteilt mit Parameterpaar $\begin{eqnarray*} (a, \sigma^2) \end{eqnarray*}$ .

Bestimmen sie die Verteilung von $\begin{eqnarray*} Y = -X \end{eqnarray*}$

Hinweis, $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ kann dargestellt werden als $\begin{eqnarray*} X := \sigma Z + a \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ standard normalverteilt ist.

Meine Ideen:
Meine Überlegung wäre $\begin{eqnarray*} X := -\sigma Z + a \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ja die Standardabweichung ist, welche ja im negativen dieselbe sein müsste.

Das kommt mir aber vieel zu simpel vor. Bin ich vielleicht komplett auf dem falschen Dampfer?

21.06.2010, 09:40

karlheinz

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Hallo anonymer user,

$\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ soll normalverteilt sein mit den Parametern $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ .
Welcher Parameter steht für den Erwartungswert und welcher für die Varianz?

Aus dem Hinweis geht hervor, dass $\begin{eqnarray*} X := \sigma Z + a \end{eqnarray*}$ ist, wobei $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ standard normalverteilt ist.
Damit kann deine Überlegung, wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ aussehen soll, nicht stimmen. Es sei denn $\begin{eqnarray*} -\sigma = \sigma \end{eqnarray*}$ . Was im Allgemeinen wohl nicht gilt.

Wie sieht denn $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ aus, wenn $\begin{eqnarray*} Y:=-X \end{eqnarray*}$ ist?

21.06.2010, 09:52

anonymer user

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Hi!

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist der Erwartungswert und $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ die Varianz.

Da hab ich einen Fehler gemacht, ich wollte schreiben $\begin{eqnarray*} -X := -\sigma Z + a \end{eqnarray*}$
Hammer

Falsch?

21.06.2010, 10:10

karlheinz

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Leider noch nicht ganz.

Wenn Du die linke Seite mit -1 multplizierst, musst Du auch die ganze rechte Seite mit -1 multiplizieren:

$\begin{eqnarray*} -X = -(\sigma Z + a) \end{eqnarray*}$ .

(Wenn du X mit := definiert hast, brauchst Du -X nicht mehr definieren, daher = und nicht mehr := verwenden.)

21.06.2010, 10:14

anonymer user

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Dann wäre Y also so verteilt?
$\begin{eqnarray*} Y = -(\sigma Z + a ) \end{eqnarray*}$
Das kann es doch noch nicht gewesen sein oder? Mir kommt das viel zu simpel vor..

Gruß

21.06.2010, 11:32

karlheinz

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Die Verteilung von Y hast bis jetzt noch nicht hingeschrieben, nur wie Y berechnet wird.

Löse mal bitte noch die Klammer auf, und sag mir, wie Y verteilt ist, inklusive Parameter.

21.06.2010, 12:17

anonymer user

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Ok, ich schreib einfach mal so die ganzen Zusammenhänge, die ich mir gedacht habe auf.

Ich kann ja eine gegebene Verteilung $\begin{eqnarray*} P^X \end{eqnarray*}$ durch lineare Transformation auch für eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ verwenden. Dazu muss ich wissen wie $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ abhängt. Dazu gibt es dann eine Lineare Funktion $\begin{eqnarray*} Y = bX + a \end{eqnarray*}$ .

Bei der Standardnormalverteilung $\begin{eqnarray*} N(0,1) \end{eqnarray*}$ wäre dies dann $\begin{eqnarray*} N(a,b^2) \end{eqnarray*}$ . (Das das richtig ist, steht im Buch "Stochastik" von Gerhard Hübner)

In diesem Fall würde ich intuitiv sagen, wenn $\begin{eqnarray*} Y := -X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X := \sigma Z + a \end{eqnarray*}$ (die lineare Funktion), dann ist $\begin{eqnarray*} -X = -\sigma Z - a \end{eqnarray*}$

Dann sind $\begin{eqnarray*} -X \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ so verteilt: $\begin{eqnarray*} N(a, -\sigma ^ 2) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} N(a, \sigma ^ 2) \end{eqnarray*}$

21.06.2010, 14:23

karlheinz

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Das ist bis zur folgenden Stelle richtig:

Zitat:

Original von anonymer user

Dann sind $\begin{eqnarray*} -X \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ so verteilt: $\begin{eqnarray*} N(a, -\sigma ^ 2) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} N(a, \sigma ^ 2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} X = \sigma Z + a \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} N(a,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ verteilt.

Wie $\begin{eqnarray*} Y = -X \end{eqnarray*}$ aussieht wissen wir ja jetzt.

$\begin{eqnarray*} Y = - \sigma Z - a \end{eqnarray*}$ ist dann normalverteilt, aber mit welchen Parametern?

Und außerdem $\begin{eqnarray*} N(a, -\sigma^2) \end{eqnarray*}$ ist nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray*} N(a,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ .

21.06.2010, 18:24

anonymer user

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Oh man, was schreibe ich da eigentlich?

$\begin{eqnarray*} N(-a,-\sigma ^2) \end{eqnarray*}$

21.06.2010, 21:18

karlheinz

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Das ist leider immer noch nicht ganz richtig.

was ist denn $\begin{eqnarray*} (-\sigma)^2 \end{eqnarray*}$ ?

21.06.2010, 22:01

anonymer user

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Das selbe wie $\begin{eqnarray*} (- \sigma ^2) \end{eqnarray*}$ , bzw die Varianz?

Worauf willst du hinaus?

22.06.2010, 09:26

karlheinz

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Genau darauf wollte ich hinaus:

Zitat:

Das selbe wie $\begin{eqnarray*} (-\sigma^2) \end{eqnarray*}$

stimmt nicht.

$\begin{eqnarray*} (-3)^2 = 9 \end{eqnarray*}$ und das ist ungleich $\begin{eqnarray*} - (3)^2 = - 9 \end{eqnarray*}$ .

Die Varianz darf keine negativen Werte annehmen.

22.06.2010, 09:51

anonymer user

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Habe gerade etwas über die Varianz nachgelesen.
Und zwar: "Ein Faktor ändert die Varianz Quadratisch".
Demnach müsste es ja so sein:
$\begin{eqnarray*} N(-a,(-1)^2 \cdot \sigma ^2) = N(-a,\sigma ^2) \end{eqnarray*}$

Immernoch falsch? Big Laugh

22.06.2010, 11:06

karlheinz

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Nein, jetzt ist es richtig.

Würdest Du sagen, dass die Parameter intuitiv stimmen?

22.06.2010, 11:39

anonymer user

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Danke für deine Hilfe!

Im Grunde war das ja meine Überlegung ganz am Anfang. Der Erwartungswert verändert sich logischerweise, aber die Varianz verschiebt sich sozusagen mit dem Erwartungswert und bleibt dabei gleich. So als ob man die Glocke der Normalverteilung auf der X-Achse bewegt, das hat ja keinen Einfluss auf die Varianz. Das macht für mich auf jeden Fall Sinn.. Oder hab ich jetzt wieder Quatsch erzählt Big Laugh

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