Lineare Unabhängigkeit

20.06.2010, 20:23

Pfirsichtee

Lineare Unabhängigkeit

Hi , ich weiß bei einer Aufgabe einfach nicht genau, was ich da machen soll.

Wir betrachten vier lineare Abbildungen $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ----> $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ , die durch

$\begin{eqnarray*} f_1 ( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_2 ( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+2y \\ 2x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_3 ( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2x+2y \\ x+4y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f_4 ( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} ) \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4x+y \\ 2x+3y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gegeben sind. Sind die vier Vektoren { $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_4 \end{eqnarray*}$ } linear abhängig?

Muss ich hier etwa einfach wieder alle 4 Vektoren nehmen, sie mit Skalaren versehen und dan am Ende gleich 0 setzen?
Denn das bringt mich irgendwie nicht weiter.
Muss man die Aufgabe ganz anders angehen?

Danke im Vorraus !!!

20.06.2010, 22:34

tigerbine

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RE: Lineare Unabhängigkeit
Du hast 4 Vektoren aus einem 2-dimensionalen Raum ... Idee!

20.06.2010, 22:38

Pfirsichtee

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Nabend Tigerbine ,

also ich habe mir in der ersten halben Sekunde auch schon gedacht, dass da was nicht stimmt.

Aber eiine solche Aufgabe hatten wir schonmal, dass n+1 Vektoren im $\begin{eqnarray*} K^n \end{eqnarray*}$ nie unabhängig sein können. Irgendwie bezweifel ich, dass jetzt ein Monat später wieder so eine Aufgabe dran kommen soll mit einer Einsatz-Antwort. Irgendwie komisch. verwirrt

Naja ich denke mal,wenn mir nchts besseres einfällt, werde ich diese Antwort wohl nehmen.

Danke auf jedenfall ^^

Edit : Geht es hier eigentlich darum zu überprüfen, ob diese Abbildungen linear unabhängig sind? Denn $\begin{eqnarray*} f_i \end{eqnarray*}$ sind ja hier alles Abbildungen und nicht Vektoren.

20.06.2010, 22:42

tigerbine

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RE: Lineare Unabhängigkeit
Es sei denn, wir (ich) betrachten den falschen Vektorraum. Augenzwinkern

Es geht ja um die Abbildungen. Die sind hier als Elemente zu sehen.

Wir statten den IR² mal mit der Standardbasis aus. Dann haben die Abbildungen die Matrizen:

$\begin{eqnarray*} M_{f_1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

etc.

Der Raum der 2x2 Matrizen ist 4-dimensional. Da macht eine Überprüfung schon wieder mehr Sinn. Linearkombination zur Nullmatrix lösen.

edit: zwei Schlaue, ein Gedanke. smile

20.06.2010, 22:46

wisili

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RE: Lineare Unabhängigkeit
-- (zu spät)

20.06.2010, 22:53

Pfirsichtee

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Hm also ich habe jetzt nicht wirklich verstanden, wie ich vorgehen muss.

Für die Basis nehme ich mal den Buchstaben B. smile

Muss ich nun etwa B * $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ + B * $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ + B * $\begin{eqnarray*} f_3 \end{eqnarray*}$ + B * $\begin{eqnarray*} f_4 \end{eqnarray*}$ = 0 ?

Edit : Wenn ich nun herausfinde, dass dies geht, sind sie linear abhängig?
Also sozusagen enn ich ein x und ein y herausbekomme, womit dies möglich ist.

20.06.2010, 22:57

tigerbine

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Nein, du suchst nicht x und y. Es muss für alle x und y gelten. Bilde bitte mal die 4 Matrizen. Du suchst du a. Die müssen für lu alle 0 sein.

$\begin{eqnarray*} a_1 f_1+a_2f_2+a_3 f_3 +a_4f_4 =0 \end{eqnarray*}$

20.06.2010, 23:08

Pfirsichtee

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Hmm , dann wären wir also doch wieder an meinem Anfangsgedanken. smile

Zitat : Muss ich hier etwa einfach wieder alle 4 Vektoren nehmen, sie mit Skalaren versehen und dan am Ende gleich 0 setzen?

Jetzt stellt sich für mich nur die Frage, was du mit ! 4 Matrizen ! meinst.

Meinst du etwa, dass deine $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ alles Matrizen sind?

Ansonsten hätte ich ja nun

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a_1x \\ a_1y \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_2(x+2y) \\ a_2(2x+y) \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} a_3(2x+2y) \\ a_3(x+4y) \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} a_4(4x+y) \\ a_4(2x+3y) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

20.06.2010, 23:09

tigerbine

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RE: Lineare Unabhängigkeit

Zitat:

Original von tigerbine
Es sei denn, wir (ich) betrachten den falschen Vektorraum. Augenzwinkern

Ich hatte eine Matrix doch schon aufgeschrieben. a sind einfach 4 reelle Zahlen. Und ich bin doch auf deinen Gedanken eingegangen. smile

20.06.2010, 23:22

Pfirsichtee

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Schauen wir doch mal , ob ich dich richtig verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ hast du als deine Standardbasis gewählt

Hast du dabei etwa an

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \ 0 \\ 0 \ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gedacht?

Also wäre es für $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ ja dann

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \ 2 \\ 2 \ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x+2y \\ 2x+y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und so weiter für die anderen beiden f.

Minst du etwa, dass ich diese 4 Matrizen erstellen soll und diese dann auf l.u. prüfe?

20.06.2010, 23:25

tigerbine

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ hast du als deine Standardbasis gewählt

Nein, ich habe den IR² mit einer Standardbasis ausgestattet. So dass ich die Funktionen f durch Matrizen darstellen kann.

$\begin{eqnarray*} f_1 \left( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \right) := \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Denn hier benutzen wir ja schon Koordinatenvektoren, um die Abbildung zu beschreiben. x ist die Koordinate bzgl. e1 und y die Koordinate bzgl. e2. Daher kann ich f1 auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} M_{f_1} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Minst du etwa, dass ich diese 4 Matrizen erstellen soll und diese dann auf l.u. prüfe?

Genau das meine ich.

20.06.2010, 23:39

Pfirsichtee

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Alles klar ich habs geschafft. smile

Sie sind linear unabhängig. ^^

Ich wäre ja never ever in my whole life auf diese Idee mit den Matrizen gekommen. O_O

Danke auf jedenfall dafür!

20.06.2010, 23:40

tigerbine

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Freut mich. Wink