0^0 = 1 bewiesen !

20.06.2010, 23:10

Mathelover

0^0 = 1 bewiesen !

Hallo liebe Baordies,

schaut euch das mal an und sagt bitte was dazu.
Ich denke so könnte man beweisen, dass 0^0 = 1 ist.

20.06.2010, 23:18

IfindU

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4. Bedingung versteh ich nicht ganz. 0 erfüllt genauso wie 1 die Bedingung.

20.06.2010, 23:19

Mathelover

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Es bezieht sich aber auf die Basis also a.

20.06.2010, 23:21

Airblader

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IfindU hat recht - a=0 erfüllt dies genauso. Also wäre 0^0 = 0 nach dieser Logik. Ich würde dich aber erstmal darum bitten, den Ausdruck "^0" sauber zu definieren und Schritt 1 zu beweisen.

air

20.06.2010, 23:21

wisili

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RE: 0^0 = 1 bewiesen !
Das ist kein Beweis, sondern der Einsatz des Permanenzprinzips (welches seine guten Dienste bekanntlich nur in nicht definierten Fällen tun kann).
In diesem Fall ist es leider weniger erfolgreich: Je nach Wahl des geltenden Gesetzes führt dessen Permanenz zu verschiedenen, sich widersprechenden Resultaten. Deshalb ist 0^0 undefiniert (sehr zum Aerger der Reihentheoretiker).

20.06.2010, 23:39

Mathelover

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RE: 0^0 = 1 bewiesen !
@ IfindU und Airblader
Wieso soll denn 0^0 = 0 ergeben?

20.06.2010, 23:43

Airblader

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Du hast doch a = a^y und sagst, dies gilt nur für a=1. Das ist aber falsch. 0^y = 0 ist doch ebenso korrekt.

air

20.06.2010, 23:47

Mathelover

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Dann müsste ja 2^y auch 2 ergeben.
also n^y = n
Das stimmt ja wiederum nicht?

20.06.2010, 23:50

Airblader

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Zitat:

Original von Mathelover
Dann müsste ja 2^y auch 2 ergeben.

Wie kommst du auf den Müll? Nur weil neben der '1' auch die '0' eine Gleichung erfüllt muss noch lange nicht jede Zahl sie erfüllen.
Aber ich mache dir gerne mal für verschiedene 'y' Beispiele:

$\begin{eqnarray*} a \stackrel{!}{=} a^y ~\Leftrightarrow~ 0 \stackrel{!}{=} a^y - a =: f(a) \end{eqnarray*}$

Willst du jetzt immer noch abstreiten, dass die Null diese Gleichung auch erfüllt verwirrt

Ist letztlich ja aber auch egal. Dein "Beweis" ist dennoch kein Beweis. Augenzwinkern

air

20.06.2010, 23:52

GastMathematiker

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RE: 0^0 = 1 bewiesen !

Zitat:

Original von wisili
Das ist kein Beweis, sondern der Einsatz des Permanenzprinzips (welches seine guten Dienste bekanntlich nur in nicht definierten Fällen tun kann).
In diesem Fall ist es leider weniger erfolgreich: Je nach Wahl des geltenden Gesetzes führt dessen Permanenz zu verschiedenen, sich widersprechenden Resultaten. Deshalb ist 0^0 undefiniert (sehr zum Aerger der Reihentheoretiker).

Auch wenn man es nicht beweisen kann, da das Definitionssache ist, wird das in der Analysis (bzw wenn diese angewand wird) fast immer als 1 definiert, da man sonst z.B. bei jeder Potenzreihe sagen müsste, was diese im Entwicklungspunkt für einen Wert hat.

(Ich habe fast gesagt, da ich zwar kein Ana-Lehrbuch kenne, welches 0^0 undefiniert lässt, aber ich natürlich längst nicht alle kennen kann)

21.06.2010, 01:47

Kwerdenkerr

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also mein Cas (Voyage 200) sagt
O^0 = 1 (wenn Taschenrechner das sagt dann stimmt das auch.)
ist ja auch logisch

21.06.2010, 08:17

Airblader

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Der Taschenrechner sagt aber auch $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 = 1.4142135624 \end{eqnarray*}$ und deswegen "stimmt" das trotzdem nicht ...

air

21.06.2010, 08:27

Kwerdenkerr

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warum stimmt das nicht?
also nicht genau aber fast

21.06.2010, 08:30

Airblader

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Ungefähr interessiert den Mathematiker aber nicht. Es ist eben schlicht und ergreifend nicht richtig.

Zu sagen, dass etwas gilt, weil es der Taschenrechner sagt, ist, beim besten Willen, Blödsinn. Ein Taschenrechner sagt nämlich nur, was ihm mal jemand einprogrammiert hat. "Richtig" muss das noch lange nicht sein.

air

21.06.2010, 08:35

Mystic

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Zitat:

Original von Kwerdenkerr
also mein Cas (Voyage 200) sagt
O^0 = 1 (wenn Taschenrechner das sagt dann stimmt das auch.)
ist ja auch logisch

Bitte nicht vergessen: Ein Taschenrechner ist auch nur ein Mensch (genauer der Programmierer, der seine mathematischen Grundfunktionen programmiert hat!) und somit fehlbar... Das allein wäre also sicher noch kein Argument...

Aber es gibt sehr gute Gründe, warum man üblicherweise $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ definiert... Einen hat Gastmathematiker schon genannt: Man könnte sonst eine Potenzreihe (und natürlich dann auch eines Polynoms) in der Summendarstellung an der Stelle x=0 nicht auswerten...

Man denke sich dazu folgendes Beispiel. Ein Student braucht den cos x an der Stelle x=0, aber weiß ihn nicht auswendig, was jetzt zwar sehr traurig ist, aber doch immer wieder iim mathematischen Alltag vorkommt... Er schaut im Formelheft nach und da naht Rettung in Gestalt der Reihe

$\begin{eqnarray*} \cos x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

Er setzt frohgemut an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ ein, aber nun droht neues Ungemach: Er weiß nicht, dass $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ ist, und kann somit auch mit dieser Formel absolut nichts anfangen...Das Ganze bekommt somit die Dimension einer griechischen Tragödie!... Big Laugh

Auch die oft verwendete binomische Fprmel

$\begin{eqnarray*} (a+b)^n = \sum_{k=0}^n \binom nka^kb^{n-k} \end{eqnarray*}$

hätte ohne diese Definition für a=0 oder b=0 am Anfang und am Ende ein Riesenloch...

Und falls das noch immer nicht klar sein sollte: Dem Wesen nach handelt es sich bei $\begin{eqnarray*} 0^0=1 \end{eqnarray*}$ um eine Definition (und wie obige Beispiele zeigen, sehr sinnvolle!), beweisen kann man in diesem Zusammenhang also rein gar nichts!...

21.06.2010, 08:48

jester.

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Man sollte jedoch nicht versäumen zu erwähnen, dass auch mit dieser Definition Vorsicht geboten ist:

Es gilt zwar $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0}\exp(-1/x)=0,~\lim_{x\downarrow 0}x=0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0} (\exp(-1/x))^x=e^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Trotzdem stimme ich Mystic zu, was Potenzreihen und Polynome angeht.

21.06.2010, 09:01

Mystic

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Zitat:

Original von jester.
Man sollte jedoch nicht versäumen zu erwähnen, dass auch mit dieser Definition Vorsicht geboten ist:

Es gilt zwar $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0}\exp(-1/x)=0,~\lim_{x\downarrow 0}x=0 \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x\downarrow 0} (\exp(-1/x))^x=e^{-1} \end{eqnarray*}$ .

Trotzdem stimme ich Mystic zu, was Potenzreihen und Polynome angeht.

Ja, tatächlich sind das in meinen Augen auch die einzigen ernsthaften Bedenken gegen die Festsetzung $\begin{eqnarray*} 0^0:=1 \end{eqnarray*}$ , nämlich dass die Leute das mit unbestimmten Formen vom Typ $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ , also eigentlich Grenzwerten, die beim einfachen Einsetzen auf $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ führen würden, durcheinanderbringen...

21.06.2010, 10:27

wisili

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Zitat:

Original von Kwerdenkerr
also mein Cas (Voyage 200) sagt
O^0 = 1 (wenn Taschenrechner das sagt dann stimmt das auch.)
ist ja auch logisch

also mein TI-nspire CAS (auch Texas Instruments, aber jünger) sagt
0^0 undef (wenn Taschenrechner das sagt dann stimmt das auch ...)
Ist ja auch logisch?

Für a=b=0 lautet die Folge $\begin{eqnarray*} f_n = (a+b)^n \end{eqnarray*}$ so:
0, 0, 0, 0, 0, ...
Da ist es mir lieber, wenn $\begin{eqnarray*} (a+b)^0 \end{eqnarray*}$ undefiniert bleibt, und nicht 1 wird.

Uebrigens schreiben Formelsammlungen oft nicht $\begin{eqnarray*} \cos x = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

sondern sehr wohlüberlegt $\begin{eqnarray*} \cos x = 1+ \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k}}{(2k)!} \end{eqnarray*}$

21.06.2010, 11:59

papahuhn

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Falls ich meine Sichtweise zum Thema abgeben darf:

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ist undefiniert, weil man dem Exponenten nicht ansieht, ob es sich um eine natürliche oder reelle Null handelt. Natürlich ist es das gleiche, aber eben auch nicht.
In jedem Kontext den ich vor Augen habe und in dem $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, handelt es sich beim Exponenten um die natürliche Zahl Null, während die Basis, obwohl als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ notiert, dies nicht sein muss. Man denke an beliebige Körper mit ihren eigenen Nullelementen oder an die Nullmatrix.
In der Analysis ist allerdings die reelle Null gemeint, wenn es um Grenzwertbetrachtungen oder dergleichen geht.

21.06.2010, 16:10

GastMathematiker

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Zitat:

Original von papahuhn
Falls ich meine Sichtweise zum Thema abgeben darf:

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ ist undefiniert, weil man dem Exponenten nicht ansieht, ob es sich um eine natürliche oder reelle Null handelt. Natürlich ist es das gleiche, aber eben auch nicht.
In jedem Kontext den ich vor Augen habe und in dem $\begin{eqnarray*} 0^0 = 1 \end{eqnarray*}$ gilt, handelt es sich beim Exponenten um die natürliche Zahl Null, während die Basis, obwohl als $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ notiert, dies nicht sein muss. Man denke an beliebige Körper mit ihren eigenen Nullelementen oder an die Nullmatrix.
In der Analysis ist allerdings die reelle Null gemeint, wenn es um Grenzwertbetrachtungen oder dergleichen geht.

Ich habe bisher kein Analysis Buch gelesen, was $\begin{eqnarray*} 0^0 \end{eqnarray*}$ undefiniert lässt, allerdings darf man natürlich nicht einfach sagen, dass eine Funktion, in der ein solcher Ausdruck vorkommt stetig ist, aber wieso sollte jede solche Funktion stetig sein?

Wenn man also die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto 0^x \end{eqnarray*}$ , so ist diese halt bei 0 stetig, da f(0)=1, aber es muss ja auch nicht jede Funktion stetig sein.

21.06.2010, 16:13

GastMathematiker

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Zitat:

Original von GastMathematiker
Wenn man also die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto 0^x \end{eqnarray*}$ , so ist diese halt bei 0 stetig, da f(0)=1, aber es muss ja auch nicht jede Funktion stetig sein.

Meinte natürlich nicht stetig in 0

21.06.2010, 16:13

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Zitat:

Original von GastMathematiker
Wenn man also die Funktion
$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto 0^x \end{eqnarray*}$ , so ist diese halt bei 0 stetig

Die nun gerade nicht, wenn du $\begin{eqnarray*} f(0):=1 \end{eqnarray*}$ setzt. Augenzwinkern

Anscheinend meinst du

$\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}_+\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto x^0 \end{eqnarray*}$ .

EDIT: ... Achso - die Korrektur kam zu spät. Big Laugh

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