Stochastische Konvergenz

21.06.2010, 09:33

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

Stochastische Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,
ich komme bei dieser Aufgabe nicht weiter:
Zeigen sie, dass diese Folge stochastisch gegen eine Zufallsvariable X konvergiert und geben sie diese an.

Das Ganze ist eine Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$

Hier die Folge:

$\begin{eqnarray*} \omega \rightarrow X_n (\omega) <br /> <br /> = 1 \text{ fuer } \omega \in [0,\frac{1}{n}]<br /> = 0 \text{ fuer } \omega \in (\frac{1}{n},1] \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ein Tipp ist, dass wir eine intuitive Grenzvariable raten sollen...

Stochastische konvergenz bedeutet ja wenn

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{P(|Y_n - Y| \geq \epsilon)} = 0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$

Das hilft mir aber nicht richtig weiter.. mir fehlt halt ein Ansatz... Hilfe unglücklich

unglücklich

21.06.2010, 12:33

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum Verständnis hat mir gerade dieser Link etwas weitergeholfen, jetzt weiß ich wenigstens was die Definition von Stochastischer Konvergenz bedeutet.

Dort steht man kann diese Nachweisen in dem man dieses nachweist:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_\Omega min(1, |X_n - X|) dP = 0 \end{eqnarray*}$

In meinem Fall ist $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ .

Also sieht das Integral so aus:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \int_0^1 min(1, |X_n - X|) dP = 0 \end{eqnarray*}$

Leider habe ich keine Idee wie man so ein Integral mit einer unhandlichen min Funktion lösen kann.

21.06.2010, 13:27

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

ganz vergessen, das ist der link:
wapedia.mobi/de/Konvergenz_(Stochastik)

21.06.2010, 14:58

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist die betreffende Zuvallsvariable in deiner Folge genau Eins auf $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$ und Null sonst.
Was passiert nun mit dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ immer grösser wird?
Was wäre dann eine vernünftige Vermutung über die Grenzzufallsvariable $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ ?

21.06.2010, 15:28

AD

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathefix
Das Ganze ist eine Gleichverteilung auf $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$

Ich übersetze mal: Der Wahrscheinlichkeitsraum ist das Intervall [0,1], und das zugehörige Wahrscheinlichkeitsmaß die Gleichverteilung darauf.

Mag sein, dass es auch kürzer geht, aber "das ganze" ist mit Sicherheit zu kurz, um die Rahmenbedingungen dieser Problemstellung angemessen zu erläutern.

21.06.2010, 18:21

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von system-agent
Für jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ist die betreffende Zuvallsvariable in deiner Folge genau Eins auf $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$ und Null sonst.
Was passiert nun mit dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[0,\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ immer grösser wird?
Was wäre dann eine vernünftige Vermutung über die Grenzzufallsvariable $\begin{eqnarray*} X(\omega) \end{eqnarray*}$ ?

Hi, danke für die Antworten!

Es klingt für mich pausibel, dass die "Grenzvariable" dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, ab da nimmt der wert ja immer 0 an.

Arthur hat natürlich recht, das war etwas zu stark abgekürzt von mir. So sieht der vollständige W-Raum aus:

$\begin{eqnarray*} (\Omega, A, P) = ([0,1],B[0,1],R[0,1]) \end{eqnarray*}$

Gibt es denn noch einen einfacheren Weg als, das über dieses Integral nachzuweisen. Ich kommt damit nicht so recht weiter..

Anzeige

21.06.2010, 23:19

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathefix
Es klingt für mich pausibel, dass die "Grenzvariable" dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ist, ab da nimmt der wert ja immer 0 an.

Soso, die Grenzvariable ist bei dir die rechte Intervallgrenze bis wohin jedes Folgenglied ungleich Null ist?

Was hieltest du von der Funktion
$\begin{eqnarray*} X(\omega)=\begin{cases}1\quad\omega=0\\0\quad\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$ ?

22.06.2010, 08:10

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt wo ich es so sehe, macht es sinn..

Habe leider immernoch keine Idee wie ich jetzt die Konvergenz zeigen könnte.

22.06.2010, 08:53

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Sei $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ .
Nun rechne doch einfach mal:
$\begin{eqnarray*} |X_n(\omega)-X(\omega)|=|?| \end{eqnarray*}$ .

Was ist also diese Differenz [da kann man auch eine charakteristische Funktion als Schreibweise nutzen]? Was macht der Betrag daraus?

22.06.2010, 09:33

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \epsilon \geq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Gar nicht so einfach das Ganze :/

$\begin{eqnarray*} |X_n(\omega)-X(\omega)|=\begin{cases}0\quad X_n(\omega) \rightarrow X(\omega) \\1\quad\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Der Betrag sorgt halt dafür, dass nicht $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ herauskommen kann...

22.06.2010, 10:11

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige, du sollst doch bloss einsetzen unglücklich

unglücklich

.

Wenn du dir die Definition ansiehst, dann muss es $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ sein.

Die Zeile

Zitat:

$\begin{eqnarray*} |X_n(\omega)-X(\omega)|=\begin{cases}0\quad X_n(\omega) \rightarrow X(\omega) \\1\quad\text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

ist schlicht Unsinn.

Nun überlege dir doch mal ordentlich welche Werte die Differenz $\begin{eqnarray*} X_n(\omega)-X(\omega) \end{eqnarray*}$ hat.
Das $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ habe ich dir oben schon geschrieben.
Was passiert für $\begin{eqnarray*} \omega\in\left[0,\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$ ? Was für andere $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ ?

22.06.2010, 10:50

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn $\begin{eqnarray*} \omega \in [0, \frac{1}{n}] \end{eqnarray*}$ dann ist der Betrag $\begin{eqnarray*} X_n (\omega) \end{eqnarray*}$ sonst $\begin{eqnarray*} X_n (\omega) -1 \end{eqnarray*}$ ...

22.06.2010, 11:21

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

unglücklich

$\begin{eqnarray*} X_n(0)-X(0)=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)-X(\omega)=? \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in\left(0,\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} X_n(\omega)-X(\omega)=? \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in\left(\frac{1}{n},1\right] \end{eqnarray*}$ .

Und für die Fragezeichen lieferst du mir jetzt bitte jeweils eine Zahl.

22.06.2010, 11:34

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} |X_n(0)-X(0)| = |1 - 1| = |0| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |X_n(\omega)-X(\omega)| = |1 - 0| = |1| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in\left[0,\frac{1}{n}\right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |X_n(\omega)-X(\omega)| = |0 - 1| = |-1| \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \omega\in\left(\frac{1}{n},1\right] \end{eqnarray*}$

?

22.06.2010, 11:46

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden stimmen, das dritte musst du nochmal anschauen.

22.06.2010, 13:08

Mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

|0| ? also 0 - 0...

22.06.2010, 13:18

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Aber das musst du nicht raten, denn genau so sind schliesslich $\begin{eqnarray*} X_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ definiert für diese $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ .

Nun also hast du
$\begin{eqnarray*} |X_n(\omega)-X(\omega)|=\begin{cases}0\quad\omega=0\\ 1\quad\omega\in\left(0,\frac{1}{n}\right] \\ 0 \quad\omega\in \left(\frac{1}{n},1\right]<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

Das kann man mit der charakteristischen Funktion $\begin{eqnarray*} \chi \end{eqnarray*}$ auch ein bischen kompakter schreiben:
$\begin{eqnarray*} |X_n-X|=\chi_{\left(0,\frac{1}{n}\right]} \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du nur noch die Wahrscheinlichkeit ausrechnen und danach $\begin{eqnarray*} n\to\infty \end{eqnarray*}$ betrachten.

$\begin{eqnarray*} P(|X_n-X|)=P(\chi_{\left(0,\frac{1}{n}\right]})=? \end{eqnarray*}$

22.06.2010, 14:54

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

Meiner Meinung nach ist $\begin{eqnarray*} P(\chi_{\left(0,\frac{1}{n}\right]})= \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ konvergiert $\begin{eqnarray*} P(\chi_{\left(0,\frac{1}{n}\right]}) \end{eqnarray*}$ gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$

22.06.2010, 15:15

system-agent

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sieht ganz danach aus. Nun musst du es nur noch alles ordentlich aufschreiben und die Aufgabe ist gelöst.

22.06.2010, 15:17

mathefix

Auf diesen Beitrag antworten »

Supi! Dann werd ich das demnächst mal machen. Ich schreibs dann hier nochmal hin, nicht das sich doch noch ein Fehler eingeschlichen hat..

Vielen Dank (für die Geduld mit mir smile

smile

) soweit!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »