Z/pZ und Quadrate

21.06.2010, 21:35

gonnabphd

Z/pZ und Quadrate

Hallo,

Es sei p eine Primzahl und es seien $\begin{eqnarray*} 2 + p\mathbb{Z}, 3 + p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ keine Quadrate in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} /p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Wieso muss dann $\begin{eqnarray*} 6 + p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ein Quadrat in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} /p \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sein?

Das soll anscheinend daraus folgen, dass $\begin{eqnarray*} \{\overline{x}^2| \overline{x} \in \mathbb{Z}_p^\times \} \leq \mathbb{Z}_p^{\times} \end{eqnarray*}$ den Index 2 hat.

Danke schonmal.

22.06.2010, 00:12

Mystic

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RE: Z/pZ und Quadrate

Zitat:

Original von gonnabphd
Das soll anscheinend daraus folgen, dass $\begin{eqnarray*} \{\overline{x}^2| \overline{x} \in \mathbb{Z}_p^\times \} \leq \mathbb{Z}_p^{\times} \end{eqnarray*}$ den Index 2 hat.

Naja, wenn du eine abelsche Gruppe G hast und die Menge der Qauadrate von G eine Untergruppe H vom Index 2 bilden, so besteht die Faktorgruppe G/H aus den 2 Nebenklassen H und gH für irgendein $\begin{eqnarray*} g \not \in H \end{eqnarray*}$ ... Sind dann a und b zwei Nichtquadrate von G, so gilt

$\begin{eqnarray*} ab \in (gH)(gH) = g^2H=H \end{eqnarray*}$

also ist zumindestens diese Folgerung trivial...

24.06.2010, 15:42

gonnabphd

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Danke dir!

24.06.2010, 20:08

Manus

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Wahlweise geht das auch über die Multiplikativität des Legendre-Symbols.

24.06.2010, 20:13

gonnabphd

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Wenn man das kennen würde, vermutlich schon Augenzwinkern

24.06.2010, 23:31

Mystic

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Das eigentliche Problem sehe ich darin, zu zeigen, dass die Untergruppe aller Quadrate im vorgegebenen Fall wirklich den Index 2 hat...Der einzige Beweis, der mir dazu einfällt, verwendet ein relativ schweres Geschütz, nämlich dass die Gruppe $\begin{eqnarray*} G=\mathbb{Z}_p^\ast \end{eqnarray*}$ zyklisch ist...

25.06.2010, 00:21

gonnabphd

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Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{p}^\times \end{eqnarray*}$ für jede ungerade Primzahlp zyklisch ist, wurde zwar auch schon bewiesen, aber die Behauptung folgt doch ganz einfach daraus, dass

$\begin{eqnarray*} \varphi: \left\{ \begin{array}{clr} \mathbb{Z}_{p}^\times & \rightarrow & \mathbb{Z}_{p}^\times \\ && \\ \overline{x} & \mapsto & \overline{x}^2 \end{array} \right. \in End(\mathbb{Z}_{p}^\times) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Ker( \varphi) = \{\overline{1}, \overline{-1} \} \end{eqnarray*}$

Also insgesamt

$\begin{eqnarray*} \{\overline{x}^2| \overline{x} \in \mathbb{Z}_p^\times \} = \varphi(\mathbb{Z}_p^\times) \cong \mathbb{Z}_p^\times / Ker(\varphi) \end{eqnarray*}$

Und die rechte Seite hat die Ordnung $\begin{eqnarray*} \frac{(p-1)}{2} \end{eqnarray*}$ und den Index 2.

25.06.2010, 07:34

Mystic

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Hm, ja danke... Dieses einfache Argument habe ich dann wohl glatt übersehen... unglücklich

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