matrix hoch 2010

21.06.2010, 21:54

bietz

matrix hoch 2010

Meine Frage:
kann mir jemand sagen wie ich eine matrix hoch 2010 rechne.

gibt es da irgendeine formel und das zu berechnen?

Meine Ideen:
ich würd die potenz gerne ''aufteilen'' hab aber gerade keine idee wie ich da vorgehen kann

21.06.2010, 21:55

Iorek

Auf diesen Beitrag antworten »

Mit viel Zeit und Geduld Lehrer

Idealerweise diagonalisiert man die Matrix wenn möglich, dann ist das schnell getan.

21.06.2010, 22:02

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Iorek
Mit viel Zeit und Geduld

Und viel Papier. Big Laugh

21.06.2010, 22:04

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich habe die matrix

\begin{pmatrix} -7 & -12 & 10 \\ -6 & -13 & 10 \\ 12 & -24 & 19 \end{pmatrix}

kann ich diese überhaupt diagonalisieren?

21.06.2010, 22:06

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -7 & -12 & 10 \\ -6 & -13 & 10 \\ 12 & -24 & 19 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.06.2010, 22:47

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dieser speziellen Matrix lohnt es sich, statt $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ besser $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ zu diagonalisieren - man kann ja genausogut $\begin{eqnarray*} (A^2)^{1005} \end{eqnarray*}$ berechnen.

22.06.2010, 11:24

sunflower700

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: matrix hoch 2010
Hallo,
hast du vielleicht schon eine Lösung? Ich hab dasselbe Problem!

22.06.2010, 11:34

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

eine letzte frage hab ich jetzt noch. ich weiß nicht wie ich vorgehen muss wenn ich das charakteristische polynom die eigenwerte und die eigenvektoren berechnet habe.

wie kommt man von diesesn werten auf die diagonalisierte matrix?

@sunflower: ne noch nicht, außer du kannst mir sagen wie ich diagonalisiere??

22.06.2010, 12:08

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} D=S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ wobei D die diagonalmatrix ist, die auf ihrer diagonalen die eigenwerte von A hat und S ist die aus den eigenvektoren bestehende matrix.

22.06.2010, 12:27

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ich doch die eigenwerte habe habe ich doch eigentlich schon D?!

D= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 241 & 0 \\ 0 & 0 & 241 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und S= $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 5 & 1 & 0 \\ 6 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das so richtig???

also ich habe von A^2 die diagonalisierte matrix berechnet!

22.06.2010, 12:30

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

wenn ja weiß ich immernoch nicht was mir das dann bringt weil auch diese matrix hoch 1005 geht nicht wirklich gut unglücklich

22.06.2010, 12:32

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

ist richtig, wenn du die eigenwerte hast, dann hast du D, wenn du die Eigenvektoren hast, dann hast du S.
wenn man $\begin{eqnarray*} D=S^{-1}AS \end{eqnarray*}$ von links mit S und von rechts mit dem inversen von S multipliziert so erhält man $\begin{eqnarray*} A=SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ .
nun kann man problemlos beliebige potenzen von A errechnen.

edit:

Zitat:

Original von bietz
wenn ja weiß ich immernoch nicht was mir das dann bringt weil auch diese matrix hoch 1005 geht nicht wirklich gut unglücklich

wie sehen denn die potenzen von $\begin{eqnarray*} A=SDS^{-1} \end{eqnarray*}$ aus?

22.06.2010, 12:35

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

sorry, aber muss ich dann A^2 nehmen ja oder? weil davon hab ich ja die eigenwerte usw. berechnet

22.06.2010, 12:38

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

dann nenne wir eben B=A^2 und haben dann analog $\begin{eqnarray*} B=PD_1P^{-1} \end{eqnarray*}$ . wobei nun D_1 die diagonalmatrix ist mit den eigenwerten von A^2 und P die Matrix, deren spaltenvektoren die eigenvektoren von B sind.

das beantwortet aber nicht die frage, wie denn nun die potenzen von, nun ist es B, aussehen....

22.06.2010, 12:42

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

da überleg ich auch imemrnoch, versteh nicht ganz was du meinst?!

22.06.2010, 12:45

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Potenzier doch mal beide seiten der gleichung....

es ist $\begin{eqnarray*} B^n=PD^nP^{-1} \end{eqnarray*}$ .

diese beziehung sollte eigentlich bekannt sein.

22.06.2010, 12:48

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

ja diese gelichung ist mir bekannt smile

ich guck mal wie ich da jetzt weiter komme, danke schonmal für diene hilfe. vielleicht komm ich gleich nochmal druaf zurück

22.06.2010, 12:51

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

naja, jetzt beschränkt sich die Aufgabe ja auf das potenzieren einer diagonalmatrix, das ist recht simpel, einfach die diagonalelemente potenzieren Augenzwinkern

falls noch probleme auftreten, einfach melden....

22.06.2010, 12:52

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

für n kann ich ja dann jetzt eine beliebige potenz einsetzen? oder hab ich auch das falsch verstanden und steh gerade völlig auf dem schlauch?

weil wenn ich jetzt sagen n=1005 dann steh ich vor dem gleichen porbelm wie ich es vorher hatte mit 2010 verwirrt

22.06.2010, 12:57

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von bietz
traurig

dann schildere dein problem doch mal, du hast jetzt eine diagonalmatrix errechnet, auf der diagonalen stehen die eigenwerte von A^2.
du hast die matrix P, deren spalten die eigenvektoren von A^2 sind errechnet.
nun bestimmst du P^(-1) und potenzierst die diagonalmatrix.

dann führst du die multiplikation $\begin{eqnarray*} PD^{1005}P^{-1} \end{eqnarray*}$ durch und hast deine Matrix mit 2010 potenziert.

22.06.2010, 13:03

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

genau... habe ich auch versucht.

Hab jetzt P D und P^-1... alles vorhaben smile

nur wenn ich D^1005 rechne kommen da zahlen die ich nicht auf ein blatt bekomme!

22.06.2010, 13:06

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

das kann mitunter bei so hohen potenzen vorkommen....

22.06.2010, 13:08

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

da es aber ein übungsblatt für die vorlesung ist hab ich irgendwie das gefühl, dass das irgendie nicht sein kann

22.06.2010, 13:11

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

845527598421333073677499138060709777867845845274415143132631906567561909302
291522267466953205758997447797688322683694671122978791958036800758263814945
115255583818238007652053946102305891937462943041826017227402390386057788657
952229991220729781522531874672954894469961138977643443327988999981479982880
713242006235470831577570608618624396359407073398390647102799704836095464459
712378491023816217114993296679688195814799954928244830745366797656472645074
541901801216023706709001116071962976401577714873399831217048879152959365220
147892417924532349497012366461206189015856896566727783489637460453585959688
759199660808298086324580505758297743716276754321157289551869652829458897314
122392746564535498066900321224197967750724163100983880217390816086674033751
047838332359409271015418199923898289362080007698111690948038342061572220349
189424285329180668140125718949102212743699511922026413986182895885608829313
357274169062642971210263785801034258206223228716697239957494883476409231762
679394205490123804313755838294735043086407206854700199379166506018793658730
389917677618768557562900535195097273061122065150761677312900354859896507781
301346929311107844898364416737869834597752291532838327558425109633855433693
565093823997480923823131295544434303306769662230095175794189182294572184949
074700556202786590257644909103577139371910259946297184651537488965680402796
006702657540201154981794913288144723446663139721916751032232883669189861101
909246930402926708186812649504455320847688819275514610200225593300594764251
521030010814283634150025767439880277452337898287375442471377822524767391374
281366098787649742671325992523251921113571966664172268238823360120127930418
213644402142891607989630047866272143940544234352863891253234119544691569445
835222811229030581375186364830088823597527144500581245413171038809185123322
403956900227998944846132029711539699381976606538568865730679750094617992260
603951343329049075230999966456911728648386697632990261084040573068133682051
626605933781432719915475460409157331134680880117744795062789288978082833416
656827726517297310008567368856956887963883949973589683528240489716580524032
187021914603470077626148077102135101956804392470575352786190925726632916161
907341203843886402138342272651982382838123170181187967529007060076290276753
151864634905530493530663308889732454002056831121345962256714877242753715670
771835406748639430335953666254415067950669765141611545685235777457201

das wäre 241^1005 verwirrt

22.06.2010, 13:11

Auf diesen Beitrag antworten »

Es bleiben dir drei Möglichkeiten:

(1) Genau ausrechnen und aufschreiben. Ist aus ökologischer Sicht nicht vertretbar, da ca. 2400 Stellen lange Zahlen herauskommen, was auf Papiervergeudung hinausläuft.

(2) Runden.

(3) Einfach das $\begin{eqnarray*} 241^{1005} \end{eqnarray*}$ unausgerechnet als Term durch die noch nachfolgenden Berechnungen durchschleifen.

Der Praktiker nimmt Variante (2), der Mathematiker die (3) - und Nummer (1) nehmen wohl nur verrückte Fanatiker. Big Laugh

22.06.2010, 13:15

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

wieso nicht?
einige professoren haben stets ein oder zwei reine fleißaufgaben dazwischen, damit jeder die notwendigen punkte erreichen kann.

wir hatten in analysis 1 auch so einen prof, da sollten wir das taylorpolynom vom grad 15 irgendeiner trigonometrischen funktion ausrechnen, mit restglied.
langwierige und langweilige aufgabe......

der sinn einer solchen aufgabe ist sicherlich fragwürdig, um zu sehen, dass man damit rechnen kann hätte auch die 7te potenz oder so gereicht.

22.06.2010, 13:17

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

arthur dent: wenn ich irgendeinen rechner hätte der das mit durchzieht wär mir geholfen smile

22.06.2010, 13:44

Auf diesen Beitrag antworten »

Tja. da darf man eben nicht nur auf den TR glotzen und kapitulieren, wenn da "Error" steht - schließlich gab es ja sowas wie Logarithmenrechnung in der Schule. Und mit

$\begin{eqnarray*} \lg\left(241^{1005}\right) = 1005\cdot \lg(241) \approx 2393.92713 \end{eqnarray*}$

erhält man eben

$\begin{eqnarray*} 241^{1005} \approx 10^{2393.92713} = 10^{0.92713} \cdot 10^{2393} \approx 8.4553 \cdot 10^{2393} \end{eqnarray*}$ ,

ganz ohne "Überlauf" und mit einem normalen TR.

Vielleicht ist es ja auch das, was der Prof austesten wollte... smile

23.06.2010, 18:03

Geolin

Auf diesen Beitrag antworten »

ich habe die gleiche aufgabe und ist die aufgabe nicht damit schon gelöst?:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} (-7)(-7)^{2009}+(-12)(-6)^{2009}+10*12^{2009} & (-7)(-12)^{2009}+(-12)(-13)^{2009}+10(-24)^{2009} & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ich hoffe es ist klar was ich meine und ich brauche jetzt nicht alle zahlen aufzuzählen Augenzwinkern

23.06.2010, 19:34

Auf diesen Beitrag antworten »

@Geolin

Das völlige Fehlen dieser $\begin{eqnarray*} 241^{1005} \end{eqnarray*}$ -Terme zeigt ziemlich deutlich, dass deine Lösung falsch ist - oder dass du eigentlich doch eine andere Aufgabe zu lösen hast, zumindest mit einer andere Matrix als bietz.

24.06.2010, 16:04

bietz

Auf diesen Beitrag antworten »

@ geolin: weißt du ob deine lösung richtig sein könnte. logisch ist es ja schon. bei mir ist das alles sehr "unschön" also lösung und rechenweg?!

24.06.2010, 16:12

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Arthur Dent
@Geolin

Das völlige Fehlen dieser $\begin{eqnarray*} 241^{1005} \end{eqnarray*}$ -Terme zeigt ziemlich deutlich, dass deine Lösung falsch ist - oder dass du eigentlich doch eine andere Aufgabe zu lösen hast, zumindest mit einer andere Matrix als bietz.

was ist denn logisch?

25.06.2010, 12:19

Reneee

Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es eigentlich noch eine andere Möglichkeit diese Matrix zu potenzieren?
Denn diagonalisieren hatten wir in der Vorlesung nicht.
( Ist auch meistens bei den ÜA so , dass wir die erst bearbeiten und ne Woche später in der Vorlesung sehen wir die Techniken, wmot wir diese ÜA hätten leichter lösen können , eine Gemeinheit smile

)

25.06.2010, 12:28

lgrizu

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Reneee
Gibt es eigentlich noch eine andere Möglichkeit diese Matrix zu potenzieren?

viel papier und geduld Augenzwinkern

25.06.2010, 12:34

Geolin

Auf diesen Beitrag antworten »

also ich betrachte einfach mal nur a1 (die erste stelle, der ersten zeile):

nach der hier erklärten matrizenmultiplikation http://de.wikipedia.org/wiki/Matrizenmul...nmultiplikation müsste a1 wie folgt aussehen:

in A ist die Stelle a1=(-7)
in A^2: a1=(-7)(-7) + (-12)(-6) + 10*12
in A^3: a1=(-7)((-7)^2) + (-12)((-6)^2) + 10*((12)^2)
in A^n: a1=(-7)((-7)^n-1) + (-12)((-6)^n-1) + 10*((12)^n-1)
in A^2010: a1= (-7)((-7)^2010) + (-12)((-6)^2010) + 10*((12)^2010)

natürlich ist das recht simpel gelöst aber ich sehe keinen fehler. Da wir, wie Reneee schon gesagt hat, noch kein diagonalisieren in der VL gelernt haben denke ich würde das reichen, sofern es richtig ist.

25.06.2010, 12:50

Geolin

Auf diesen Beitrag antworten »

es müsste natürlich heissen:
in A^2010: a1= (-7)((-7)^2009) + (-12)((-6)^2009) + 10*((12)^2009)

25.06.2010, 13:09

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Geolin
in A ist die Stelle a1=(-7)
in A^2: a1=(-7)(-7) + (-12)(-6) + 10*12

Bis hierhin stimmt's - was dann aber folgt

Zitat:

Original von Geolin
in A^3: a1=(-7)((-7)^2) + (-12)((-6)^2) + 10*((12)^2)
in A^n: a1=(-7)((-7)^n-1) + (-12)((-6)^n-1) + 10*((12)^n-1)
in A^2010: a1= (-7)((-7)^2010) + (-12)((-6)^2010) + 10*((12)^2010)

sind unbewiesene, und traurigerweise auch am Beispiel völlig ungeprüfte falsche Verallgemeinerungen. Dazu muss man nur mal

$\begin{eqnarray*} A^3 = A^2 \cdot A = \begin{pmatrix} -1687 & -2892 & 2410 \\ -1686 & -2893 & 2410 \\ 2604 & -5496 & 4579 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ausrechnen. Augenzwinkern

-----------------------------------------------

Um mal noch absurderen Rechnungen den Wind aus den Segeln zu nehmen, bringen wir mal die obige Rechnung zum Abschluss:

Es ist

$\begin{eqnarray*} A^2 = \begin{pmatrix} 241 & 0 & 0 \\ 240 & 1 & 0 \\ 288 & -288 & 241 \end{pmatrix} = UDU^{-1} \end{eqnarray*}$

mit Diagonalmatrix $\begin{eqnarray*} D = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 241 & 0 \\ 0 & 0 & 241 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie Eigenvektormatrix $\begin{eqnarray*} U = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \frac{5}{6} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und deren Inversen $\begin{eqnarray*} U^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 6 & -6 & 5 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Das ergibt dann die oben schon erwähnten

$\begin{eqnarray*} A^{2010} = U\cdot D^{1005} \cdot U^{-1} = \frac{1}{5} ~ \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \frac{5}{6} & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 241^{1005} & 0 \\ 0 & 0 & 241^{1005} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -6 & 6 & 0 \\ 6 & -6 & 5 \\ 5 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ,

was man nun natürlich noch ausmultiplizieren kann.

25.06.2010, 13:35

Geolin

Auf diesen Beitrag antworten »

ach ja klar is das schwachsinn was ich geschrieben habe^^:

in A^3 müsste
a1=((-7)(-7)+(-12)(-6)+10*12)*(-7) + ((-7)(-7)+(-12)(-6)+10*12)*(-6)+((-7)(-7)+(-12)(-6)+10*12)*12 sein.

Da kommt für A^2010 natürlich eine lustige Zahl raus oO. Das heisst ich muss diagonalisieren oder gibts noch eine andere möglichkeit? Denn wie gesagt, diagonalisieren hab ich noch nie gemacht und war auch noch nicht stoff der VL.

25.06.2010, 13:46

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Geolin
oder gibts noch eine andere möglichkeit?

Bei ganz speziell strukturierten Matrizen gibt es im Einzelfall zu noch genauer zu spezifizierende Alternativen, allerdings kann zumindest ich hier nichts derartiges entdecken - was nicht heißen soll, dass es sowas hier nicht doch gibt. Aber ehe ich stundenlang danach suche, ziehe ich doch lieber die Diagonalisierung in ein paar Minuten durch (s.o.) - wozu hat man CAS. Big Laugh

25.06.2010, 13:49

Reneee

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Rechnung in allen Ehren Arthur , allerdings hatten wir folgende Dinge noch nicht in der Vorlesung :

Diagonalisieren
Eigenvektormatrix
Inverse von Matrizen

Also genau die 3 Dinge die du benutzt , haben wir ALLE noch nicht gehabt.
Also irgendwas stimmt doch da nicht. Dieser Proff macht aber auch immer was er will. :/
Wie bereits erwähnt machen wir das wahrscheinlich erst nächste Woche in der Vorlesung , da wir solche Techniken immer im Nachhinein in der Vorlesung kennen lernen. Er möchtei wohl , dass wir uns erstmal mit diesem Problem auseinandersetzen.

12 nächste Seite »

Neue Frage »

Antworten »

matrix hoch 2010

Verwandte Themen