Eigenwerte orthogonaler Matrizen

Neue Frage »

helpless_second Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenwerte orthogonaler Matrizen
Meine Frage:
Hallo,
ich habe folgendes Problem : ich soll zeigen :
als EWe orthogonaler Matrizen kommen nur 1 und -1 vor

Meine Ideen:
ich hab überhaupt keine Ahnung
Ich weiß nur dass eine Matrix orthogonal ist, wenn die Spalten oder Zeilen eine Orthonormalbasis bilden.
Ich weiß auch dass der EW 1 eine Drehung beschreibt und -1 eine spiegelung
Hilfe
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Mal vorweg die Aussage stimmt nicht: Alle reelen Eigenwerte haben diese Form. Es kann auch komplexe Eigenwerte geben die eine andere Form haben, für diese gilt dann allerdings, dass sie betragsmäßig gleich 1 sind (Sie haben also die Form exp(ix)).

Nun zu deinem Beweis:
Wie nennt man denn die Abbildungen, welche durch orthogonale Matrizen beschrieben werden? Sind diese normal? Wie sehen die Eigenwerte und Räume der adjungierten Abbildung einer normalen Abbildung aus?
helpless_second Auf diesen Beitrag antworten »

ich studiere nur nicht vertieft und das alles sagt mir nicht all zu viel ... leider, aus meiner vorlesung kann ich im mom auch nicht viel ziehen

also orthogonale matrizen beschreiben orthogonale endomorphismen und das sind- so wie ich das verstanden habe im R2 Drehungen und im R3 Drehungen und Drehspiegelungen.
Aber was hat das dann mit Eigenwerten zu tun ?
Felix Auf diesen Beitrag antworten »

Orthogonale Matrizen entsprechen bijektiven Isometrien. Dass sind Isomorphismen, für die gilt: . Es gilt, dass (für eine Isometrische Bijektion) zu f immer f^{-1} adjungiert ist. Insbesondere folgt daraus, dass diese kommutieren (man sagt dann , dass f normal ist). Für eine normale Abbildung f in einem anisotropen Vektorraum (womit wir bei einer weiteren Voraussetztung wären die bei dir nicht gegeben ist, aber ich nehm mal an, dass es bei dir um einen unitären oder euklidischen VR geht) ist jeder Eigenvektor zu einem Eigenwert t bezüglich f ein Eigenvektor zu bezüglich der Adjungierten zu f (in diesem Fall ist omega wahrscheinlich die Konjugation bzw. die Identität).

Sei nun ein Eigenvektor zu Es gilt (Bei der letzten Umformung wurde die Andjungierte verwendet):



also . Was bei Omega gleich Konjugation,Identität bedeutet, dass .
chris0806 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Felix,
ich helfe mal schnell mit, weil ich, wenn ich mir die Aufgabe so ansehe, wahrscheinlich an der selben Uni die selbe Vorlesung besuche. Daher kenne ich mich natürlich besser aus, wie man hier argumentieren könnte, weil ich ja weiss, was wir schon gemacht haben und was nichtAugenzwinkern


hi helpless_second,

fangen wir doch mal so an: Wir beginnen anschaulich im R^2 und R^3 und versuchen dann den allgemeinen Fall zu erfassen.

Welche orthogonalen Matrizen kennst du denn im R^2 und R^3?
Drehungen und Drehspiegelungen hast Du schon genannt; Spiegelungen gibts natürlich auch noch, ich denke, die hast Du vorhin einfach nur vergessen.

Kannst Du denn die EWe der Spiegelungen (Spiegelungsmatrix) und die der Drehungen (Drehmatrix) im R^2 angeben? Oder besser gesagt die charakteristischen Polynome dieser Matrizen?
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

@Felix
Du hast dein gesamtes Wissen zu diesem Sachverhalt präsentiert und alle Fachbegriffe zur Anwendung gebracht, die es in diesem Zusammenhang gibt. Wie du gelesen hast, konnte der Fragesteller, der offenbar Anfänger ist, damit nix anfangen. Ich würde vermeiden, einfache Fragen in komplizierte zu verwandeln. Man sollte das Umgekehrte anstreben.

Satz:
Die Eigenwerte reeller, orthogonaler Matrizen haben den Betrag 1.
Beachte: Die Eigenwerte können auch komplex sein!)

Beweis:
Per Definition sind orthogonale Matrizen M solche quadratische Matrizen mit dem Rang n, deren Zeilen untereinander senkrecht stehen und die gleichzeitig auf 1 normiert sind, also

__________(1)

E ist die Einheitsmatrix. Die Eigenwertgleichung lautet

__________(2)

Quadriert man beide Seiten, erhält man

__________(3)

Für das Skalarprodukt habe ich das Symbol (...|...) verwendet. Auf der linken Seite "schieben" wir die Matrix M vom linken Faktor auf den rechten Faktor des Skalarproduktes. Weiterhin ziehen wir die Faktoren vor das Skalarprodukt

__________(4)

Hierbei bezeichnet die komplex konjugierte Zahl zu . Wegen (1) vereinfacht sich die linke Seite. Aus (4) wird also

__________(5)

Vergleich beider Seiten ergibt . Das bedeutet, dass den Betrag 1 hat, w.z.b.w.

Die Eigenwerte orthogonaler Matrizen sind also in der gaußschen Zahlenebene darstellbar als mit beliebigem Winkel .
 
 
helpless_second Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, hier bin ich wieder. Erstmal danke für all eure Antworten. Ihr habt mir hier schon oft geholfen und es ist ja auch nicht selbstverständlich, dass man einem so hilft (auch wenn ich glaube, dass die Leute in Mathefakultäten ganz gut zusammenhelfen)

@Felix : sorry, aber ich bin halt nicht-vertieft und das was du geschrieben hast kenne ich so halt einfach nicht

@Ehos : also nachdem ich nochmal meine Definitionen und Lemmata durchgegangen bin, habe ich deine Lösung ganz gut verstanden

Vielen herzlichen Dank und ich werde mich bestimmt bald wieder mal melden ;P
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Mal nur als kurze Anmerkung: Betrachtet man eine lineare Abbildung über einem -Vektorraum, so gibt es auch nur reelle Eigenwerte, und keine komplexen. D.h. man betrachtet diese in dem Fall nicht.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »